是b?(t)?0，b(t)?c是常向量.
(3) 设向量函数a(t)与某个固定的方向垂直，那么有单位常向量e1使得a(t)?e1?0. 求导得到a?(t)?e1?0，a??(t)?e1?0. 从而a(t),a?(t),a??(t)共面，?a(t),a?(t),a??(t)??0.
反之，设?a(t),a?(t),a??(t)??0. 令b(t)?a(t)?a?(t). 由条件，b(t)处处非零. 且
b?(t)?a(t)?a??(t)连续. 根据二重外积公式，
b(t)?b?(t)??a(t)?a?(t)???a(t)?a??(t)???a(t),a(t),a??(t)?a?(t)??a?(t),a(t),a??(t)?a(t) ??a(t),a?(t),a??(t)?a(t)?0.根据已经证明的(2)，b(t)的方向不变. 设这个方向为e1. 则b(t)?|b(t)|e1. 用a(t)作内积，得
|b(t)|a(t)?e1?a(t)?b(t)?a(t)??a(t)?a?(t)??0.
由于b(t)处处非零，得到a(t)?e1?0，即a(t)与固定方向e1垂直. □
课外作业： 1. 证明定理2.1.
3332. 设?:E?E为等距变换. 在E中取定一个正交标架O;i,j,k. 令R为E中全33体向量构成的向量空间. 定义映射A:R?R:AB是线性映射.
33???(A)?(B). 如果?(O)?O，证明A
(k)3. 设向量函数r(t)有任意阶导(函)数. 用r(t)表示r(t)的k阶导数，并设
r(k)(t)?r(k?1)(t)处处非零. 试求r(k)(t),r(k?1)(t),r(k?2)(t)?0的充要条件.
??第二章 曲线论
本章内容：弧长，曲率，挠率；Frenet标架，Frenet公式；曲线论基本定理 计划学时：14学时，含习题课3学时. 难点：曲线论基本定理的证明
§ 2.1 参数曲线
3三维欧氏空间E中的一条曲线C是一个连续映射p:[a,b]?E，称为参数曲线. 几何上，
3参数曲线C是映射p的象.
取定正交标架O;i,j,k，则曲线上的点p(t)(t?[a,b])与它的位置向量Op(t)一一对应. 令r(t)?Op(t). 则
??r(t)?x(t)i?y(t)j?z(t)k?(x(t),y(t),z(t))，t?[a,b]， (1.3) 其中t为曲线的参数，(1.3)称为曲线的参数方程.
由定义可知
1?r(t??t)?r(t)???x?(t),y?(t),z?(t)?，t?(a,b). (1.4)
?t?0?t如果坐标函数x(t),y(t),z(t)是连续可微的，则称曲线r(t)是连续可微的. 此概念与标架的取法
r?(t)?lim
6
无关. (为什么？)
导数r?(t)的几何意义：割线的极限位置就是曲线的切线.
zr?(t)X(u)r(t)r(t??t)Ox图2-1 y 如果r?(t)?0，则r?(t)是该曲线在r(t)处的切线的方向向量，称为该曲线的切向量. 这样的点称为曲线的正则点. 曲线在正则点的切线方程为 X(u)?r(t)?ur?(t)， (1.5) 其中t是固定的，u是切线上点的参数，X(u)是切线上参数为u的点的位置向量. 定义. 如果r(t)是至少三次以上的连续可微向量函数，并且处处是正则点，即对任意的t，
r?(t)?0，则称曲线r(t)是正则参数曲线. 将参数增大的方向称为曲线的正向.
上述定义与E3中直角坐标系的选取无关. 正则曲线：正则参数曲线的等价类.
曲线的参数方程中参数的选择不是唯一的. 在进行参数变换时，要求参数变换t?t(u)满足：(1) t(u)是u的三次连续可微函数；(2) t?(u)处处不为零. 这样的参数变换称为可允许的参数变换. 当t?(u)?0时，称为保持定向的参数变换.
dd根据复合函数的求导法则，dur(t(u))??dtr(t)?t?t(u)?t?(u).
这种可允许的参数变换在所有正则参数曲线之间建立了一种等价关系. 等价的正则参数曲线看作是同一条曲线，称为一条正则曲线. 以下总假定r(t)是正则曲线.
如果一条正则参数曲线只允许作保持定向的参数变换，则这样的正则参数曲线的等价类被称为是一条有向正则曲线. (返回Frenet标架)
7
z??r(t)?Obtyt图2-2 AQx 例1.1 圆柱螺线r(t)?(acost,asint,bt),(t?R)，其中a,b是常数，a?0.
r?(t)???asint,acost,b?，|r?(t)|?a2?b2?0?r?(t)?0
所以圆柱螺线是正则曲线.
yxO图2-3 例1.2 半三次曲线r(t)?(t,t),(t?R).
32r?(t)?(3t2,2t)，r?(0)?0.
这条曲线不是正则曲线.
连续可微性和曲线的正则性（光滑性）是不同的概念. （与数学分析中的结论比较） 平面曲线的一般方程y?f(x)和隐式方程F(x,y)?0. 空间曲线的一般方程
y?f(x),和隐式方程
z?g(x) (1.6)
?F(x,y,z)?0, (1.8) ??G(x,y,z)?0.这些方程可以化为参数方程. (习题4：正则曲线总可以用一般方程表示)
曲线(1.8)的切线方向，正则性.
8
课外作业：习题2，5
§ 2.2 曲线的弧长
设E3中一条正则曲线C的方程为r?r(t),t?[a,b]. 则
s??|r?(t)|dt (2.1)
ab是该曲线的一个不变量，即它与正交标架的选取无关，也与曲线的可允许参数变换无关.
不变量s的几何意义是该曲线的弧长，因为
ns??|r?(t)|dt?limabmax|?ti|?0?|r(ti?1i?1)?r(ti)|.
其中a?t0?t1??tn?b是区间[a,b]的任意一个分割，?ti?ti?1?ti，??max??ti|i?1,
2,,n?. (为什么？)
tn?btn?1tit1ti?1a?t0图2-4 O 令
s(t)??|r?(?)|d?. (2.4)
at则s?s(t)是曲线C的保持定向的可允许参数变换，称为弧长参数. 它是由曲线本身确定的，至
多相差一个常数，与曲线的坐标表示和参数选择都是无关的. 因此任何正则曲线都可以采用弧长s作为参数，当然，允许相差一个常数.
注意ds?|r?(t)|dt也是曲线的不变量，称为曲线的弧长元素(或称弧微分).
虽然理论上任何正则曲线都可以采用弧长参数s，但是具体的例子中，曲线都是用一般的参数t给出的. 由(2.4)，即使|r?(t)|是初等函数，s(t)也不一定是初等函数. 下面的定理给出了判别一般参数是否是弧长参数的方法.
定理2.1 设r?r(t),t?[a,b]是E中一条正则曲线，则t是它的弧长参数的充分必要条件是|r?(t)|?1. 即t是弧长参数当且仅当(沿着曲线C)切向量场是单位切向量场.
证明. “?”由(2.4)可知，s?t?a. “?”如果t是弧长参数，则s?t，从而
3|r?(t)|?
ds?1. □ dt9
以下用“﹒”表示对弧长参数s的导数，如r(s)，r(s)等等，或简记为r,r等等. 而“'”则用来表示对一般参数t的导数.
课堂练习：4
课外作业：习题1，2(1)，3.
§ 2.3 曲线的曲率和Frenet标架
设曲线C的方程为r?r(s)，其中s是曲线的弧长参数. 令
?(s)?r(s). (3.1)
对于给定的s，令??是?(s)与?(s??s)之间的夹角，其中?s?0是s的增量.
s?Lr(s)?(s)?(s)r(s??s)???(s??s)??(s)?(s??s)s?0?(s??s)O图2-5
定理3.1 设?(s)是曲线r?r(s)的单位切向量场，s是弧长参数. 用??表示向量
?(s??s)与?(s)之间的夹角，则
?s?0lim???s?|?(s)|. (3.2)
d???1?lim?lim??(s??s)??(s)? ?s?0?s?0ds?s?s2sin??2??sin??2???????lim?lim ?lim， ???s?0?s?0?s?0?s|?s|?s2证明. |?|?因为???arccos[?(s)?(s??s)]，所以lim???0. □
?s?0定义 称函数???(s):?|?(s)|为曲线r?r(s)在s(即r(s))点处的曲率，称?(s)为该曲
线的曲率向量.
把曲线C的单位切向量?(s)平移到原点，其端点所描出的曲线称为曲线的切线象. 其方程就是
???(s). (3.3)
例如圆柱螺线的切线象是单位球面上的一个圆.
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