?r??,?? ????r?, (7.6)
???????r?.?1因此曲线C的曲率中心为r(s)??r(s)?(s)，这也是的渐缩线方程.
三、相对曲率的几何意义
由(7.2)，(7.3)和(7.4)可得
?r(s)?(s)??(s)???sin(?(s)),cos(?(s))?因此
?r(s)?即相对曲率是有向角?(s)对弧长的变化率.
d?(s)d?(s)??(s). dsdsd?(s)， (7.7) ds四、平面曲线论基本定理
定理 (平面曲线论基本定理) 设?r(s)是区间[a,b]上的连续可微函数. 则在不计E2的一个刚体运动的情况下，存在唯一的平面曲线C:r?r(s)，s?[a,b]，它以s为弧长参数，以给定的函数?r(s)为相对曲率.
证明 存在性. 取s0?[a,b]. 令
?(s)???r(?)d?，s?[a,b].
s0s再令
x(s)??cos??(?)?d?，y(s)??sin??(?)?d?，s?[a,b].
s0s0ss则平面曲线C:r(s)??x(s),y(s)?，s?[a,b]满足：以s为弧长参数，以?r(s)为相对曲率.
s唯一性. 设另有一条平面曲线C1:r以?r(s)为相对1(s)??x1(s),y1(s)?也以为弧长参数，
?(s)?曲率. 令r1;?1,?1为C1的Frenet标架，1??(i,?1(s)). 通过E2的一个刚体运动，可设
?1(s0)?0，x1(s0)?0，y1(s0)?0.
由?1??r??及?1(s0)?0??(s0)可知?1(s)??(s). 从而
r1??1??cos?1,sin?1???cos?,sin????x,y??r.
再由r1(s0)?(0,0)?r(s0)得到r1(s)?r(s)，?s?[a,b]. □
五、旋转指标定理
虽然有向角?(s)?(i,?(s))允许相差2?的整数倍，但是有向角的总变差?(b)??(a)是
不变的. 事实上，若?(s)也是由i到?(s)的有向角，则?(s)??(s)?2k(s)?. 由于?(s)和
?(s)都是连续函数，k?k(s)必为常数(因为闭区间[a,b]是连通的). 从而
?(b)??(a)??(b)??(a)，
即总变差与有向角函数?(s)连续分支的取法无关. 由(7.7)可知总变差为
?(b)??(a)?
?ba?r(s)ds. (7.9)
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