圆柱螺线r(t)?(acost,asint,bt)?(?)??(32)r?(t)?(?asint,acost,b)?(t)??(?2)1a2?b2(?asint,acost,b)?(?2)?(?)?(0)?(0)??(32)圆柱螺线的切线象当然，s不一定是切线象的弧长参数. 切线象???(s)的弧长元素为 所以
ds?|?(s)|ds??(s)ds. (3.4)
ds?s， (3.5) ds即曲率?是切线象的弧长元素与曲线的弧长元素之比. ??由|?(s)|?1可知?(s)??(s)?0. 所以曲率向量?(s)是曲线的一个法向量场. 如果在一点
s处?(s)?0，则向量?(s)?|?(s)|?1?(s)???1(s)?(s)称为曲线在该点的主法向量场. 于是
在该点有
(. ) ?(s)??(s)?s (3.6)
在?(s)?0处，令 ?(s)??(s)??(s). (3.7)
它是曲线的第二个法向量场，称为在该点的次法向量场(副法向量场). 这样，在正则曲线上?(s)?0的点，有一个完全确定的正交标架r(s);?(s),?(s),?(s)，称为曲线在该点的Frenet标架(见图2-2). 它的确定不受曲线的保持定向的参数变换的影响.
注意. 如果在一点s0处?(s0)?0，则一般来说无法定义在该点的Frenet标架. 1. 若?(s)?0，则C是直线，可以定义它的Frenet标架. 2. 若s0是?的孤立零点, 则在s0的两侧都有Frenet标架. 如果??(s0)???(s0)，则可以将Frenet标架延拓到s0点.
3. 在其他的情况下将曲线分成若干段来考察.
切线、主法线和次法线，法平面、从切平面和密切平面，以及它们的方程.
?? 11
次法线从切平面切线 ?(s)?(s)?(s) 法平面 主法线 r(s)密切平面
切线：?(u)?r(s)?u?(s)；主法线：?(u)?r(s)?u?(s)；次法线：?(u)?r(s)?u?(s) 法平面：[X?r(s)]?(s)?0；从切平面：[X?r(s)]?(s)?0；密切平面：[X?r(s)]?(s)?0
在一般参数t下，曲率?和Frenet标架的计算方法.
???(t)?|r?(t)?r??(t)|r?(t)r?(t)?r??(t)????，，，?????. (3.13)
|r?(t)|3|r?(t)||r?(t)?r??(t)|证明. 设s?s(t)为弧长参数，t?t(s)为其反函数. 则由(2.4)，
s?(t)?故
ds?|r?(t)|. dtr?(t)?dr(s(t))ds(t)r?(t)?|r?(t)|?(s(t))?(s??)(t),?(t):??(s(t))?. (3.12)
dsdt|r?(t)|由曲率?的定义，??|?|?0，可知主法向量???满足????. 上式再对t求导，得 |?|d?d?dsr???s????s??s????s??s????s?2??.
dtdsdt于是
r??r???(s??)?(s????s?2??)?s?3?????s?3???|r??r??|?s?3?.
|r?(t)?r??(t)||r?(t)?r??(t)|r?(t)?r??(t)???所以??. 代入上式得. □
|r?(t)?r??(t)|s?3|r?(t)|3例3.1 求圆柱螺线r(t)?(acost,asint,bt),(t?R)的曲率和Frenet标架，其中a?0. 解. r?(t)?(?asint,acost,b)，r??(t)??(acost,asint,0)，|r?(t)|?a2?b2，
r??r???(absint,?abcost,a2)?a(bsint,?bcost,a)，|r??r??|?aa2?b2. 所以
??
1|r?(t)?r??(t)|a?(t)?(?asint,acost,b)， ?，
22|r?(t)|3a2?b2a?b12
??r?(t)?r??(t)1?(bsint,?bcost,a)， 22|r?(t)?r??(t)|a?b??????(?cost,?sint,0). □ 维维安尼(Viviani)曲线一般方程222??x?y?z?1,?22??x?y?x.z参数方程?x?cos2t,??y?costsint,t?[0,?]?z?sint.?xy 222??x?y?z?1,例3.2 求维维安尼(Viviani)曲线?2在(0,0,1)点处的曲率和Frenet标架. 2??x?y?x解法1. 将曲线写成参数方程，r(t)?(cost,costsint,sint)，t?R. 点(0,0,1)对应的参数为t??22?2k?，其中k为整数. 不妨设t??/2. r?(t)?(?2sintcost,cos2t?sin2t,cost)?(?sin2t,cos2t,cost)， r??(t)?(?2cos2t,?2sin2t,?sint). 于是当t??/2时， r?(0,0,1),r??(0,?1,0),r???(2,0,?1)，|r?|?1,r??r???(1,0,2)， ??(0,?1,0)，??所以在(0,0,1)点处的曲率??15(1,0,2)，??????15(2,0,?1). 155，Frenet标架为r?(0,0,1)，??(0,?1,0)，??(2,0,?1)，
??15(1,0,2). □ 对
解法2. 设曲线的弧长参数方程为x?x(s),y?y(s),z?z(s)，s?(??,?)，点(0,0,1)应的参数为s?0. 则有 r(0)?(x(0),y(0),z(0))?(0,0,1)， (1)
以及
?x2(s)?y2(s)?z2(s)?1,?22?x(s)?y(s)?x(s)?0,?s?(??,?). (3.14) ?222?x(s)?y(s)?z(s)?1,求导得到
?x(s)x(s)?y(s)y(s)?z(s)z(s)?0,??2x(s)x(s)?2y(s)y(s)?x(s)?0, (3.15) ?x(s)x(s)?y(s)y(s)?z(s)z(s)?0.?令s?0，由(1)和上述方程组得到x(0)?z(0)?0，y(0)??1. 通过改变曲线的正方向，可设y(0)?1，于是
?(0)?(x(0),y(0),z(0))?(0,1,0). (3.16)
13
对(3.15)前两式再求导，利用(3.14)得
?x(s)x(s)?y(s)y(s)?z(s)z(s)??1, (3.17) ?22?2x(s)x(s)?2x(s)?2y(s)y(s)?2y(s)?x(s)?0.令s?0，由(3.15)和(3.16)得y(0)?0；由(1)和(3.17)第1式得z(0)??1；再由(3.17)第2式得x(0)?2. 所以
?(0)?r(0)?(x(0),y(0),z(0))?(2,0,?1).
由此得r(0)?(0,0,1)处的曲率?(0)?|?(0)|?5，Frenet标架为：r(0)?(0,0,1)；
1?(0)?(0,1,0)，?(0)??(0)?(0)?15(2,0,?1)，?(0)??(0)??(0)?15(?1,0,?2). □
课外作业：习题1(2,4)，4，7
§ 2.4 曲线的挠率和Frenet公式
密切平面对弧长s的变化率为|?|，它刻画了曲面偏离密切平面的程度，即曲线的扭曲程度. 定义4.1 函数??????，即?(s)???(s)??(s)称为曲线的挠率. 注. 由????0，????????????(??)?0可知?//?. 因此可设
?????， (4.1)
从而|?|?|?|，即挠率的绝对值刻画了曲线的扭曲程度.
定理4.1 设曲线C不是直线，则C是平面曲线的充分必要条件是它的挠率??0. 证明. 设曲线C的弧长参数方程为r?r(s)，s?[0,L]. 因为C不是直线，??0(见定理3.2 )，存在Frenet标架r;?,?,?.
“?” 设C是平面曲线，在平面?:(X?a)n?0上，其中a是平面上一个定点的位置向
量，n是平面的法向量，a和n均为常向量. 则有
(r(s)?a)n?0,?s?[0,L].
求导得
???(s)n?0,?(s)?(s)n?0??(s)n?0,?s.
于是?(s)//n, 由于|?(s)|?|n|?1，所以?(s)??n是常向量，从而??0，|?|?|?|?0. 即有??0.
“?”设??0. 由(4.1)得??????0. 所以?(s)?c?0是常向量. 由
d(r(s)c)?r(s)c??(s)?(s)?0 ds可知r(s)c是一个常数，即r(s)c?r(s0)c，其中s0?[0,L]是固定的. 于是曲线C上的点满足平面方程[r(s)?r(s0)]c?0，其中r(s0)是平面上一个定点的位置向量，c是平面的法向量. □
设正则曲线C上存在Frenet标架. 对Frenet标架进行求导，得到Frenet公式
?r??,???,??? (4.8) ????,??????????.???上式中的后三式可以写成矩阵的形式
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????0?????????????????0??作为Frenet公式的一个应用，现在来证明
0???????. (4.9)
0?????????0??????定理4.2 设曲线r?r(s)的曲率?(s)和挠率?(s)都不为零，s是弧长参数. 如果该曲线落
在一个球面上，则有
?1??1d?1??2????a， (4.10) ?????????ds????其中a为常数.
证明. 由条件，设曲线所在的球面半径是a，球心是r0，即有
22?r(s)?r0?求导得到
这说明r(s)?r0垂直于?(s)，可设
2?a2. (4.11)
?r(s)?r0??(s)?0.
r(s)?r0??(s)?(s)??(s)?(s). (4.12)
再求导，利用Frenet公式得
?(s)??(s)?(s)??(s)[??(s)?(s)??(s)?(s)]??(s)?(s)??(s)?(s)?(s).
比较两边?,?,?的系数，得
????1，????，?????， (4.13)
其中略去了自变量s. 所以
?1d?1d?1?1?????，?????. (4.14)
??ds?ds????将(4.12)两边平方可得?????r?r0??a，再将(4.14)代入其中，即得(4.10). □
2222注记 由证明过程中的(4.13)第3式还可得
?d?1d?1????????0. (4.16) ?ds??ds????在一般参数下挠率的计算公式.
??证明. 因为s?(t)?(r?,r??,r???). (4.18)
|r??r??|2ds?|r?(t)|，利用Frenet公式，有 dtdsdrr?(t)??s?(t)?(s(t))，
dtdsr??(t)?s??(t)?(s(t))?s?2(t)?(s(t))?(s(t))，
d?(s(t))r???(t)?s???(t)?(s(t))?3s?(t)s??(t)?(s(t))?(s(t))?s?2(t)?(s(t)) dt?s?3(t)?(s(t))[??(s(t))?(s(t))??(s(t))?(s(t))].3于是r?(t)?r??(t)?s?(t)?(s(t))?(s(t))，从而
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