sk(k)n?2(k)r1(s)?r2(s)????o(s). ?r(0)?r(0)12??k?1k!n?1sn?1n?2(n?1)(n?1)?o(s)，所以 充分性. 由(6.10)，r1(s)?r2(s)???r(0)?r(0)12??(n?1)!1o(sn?2)|p1p2|r1(s)?r2(s)(n?1)(n?1)lim?lim?lim|s|?n?1?0， ?r1(0)?r2(0)???nn?s?0s?0s?0(n?1)!s?ss1o(sn?2)|p1p2|r1(s)?r2(s)(n?1)(n?1)lim?lim?lim?n?1?0. ?r1(0)?r2(0)???n?1?s?0?sn?1s?0s?0(n?1)!ss即C1,C2在s?0处有n阶切触.
必要性. 由条件，C1,C2在s?0处有n阶切触，则n?1. 如果r1?(0)?r2?(0)，则
?s?0lim|p1p2|r(s)?r2(s)?lim1?r1?(0)?r2?(0)?0， s?0?ss|p1p2|?0，矛盾. 设m?1是满足
?s?0?snr1(k)(0)?r2(k)(0)，k?1,2,,m，r1(m?1)(0)?r2(m?1)(0)
的正整数. 由充分性，C1,C2在s?0处有m阶切触. 由条件得m?n，故(6.10)成立. □
从而lim推论 (1) 一条曲线与它在一点的Taylor展开式中的前n?1项之和(即略去(?s)的高阶无穷小)至少有n阶切触；与它在一点的切线至少有1阶切触；与它在一点的近似曲线至少有2阶切触.
(2) 两条相交曲线在交点处有二阶以上切触的充分必要条件是这两条曲线在该点处相切，且有相同的有向密切平面和相同的曲率.
曲率圆(密切圆)：在弧长参数曲线C:r?r(s)上一点r(s)处的密切平面上，以曲率中心
nr(s)?11?(s)为圆心，以曲率半径R?为半径的圆. 它的方程是： ?(s)?(s)11X(t)?r(s)??(s)?cost?(s)?sint?(s)?. ??(s)?(s)曲线与曲面的切触阶，密切球面，曲率轴. (略) 课外作业：习题2，3
§2.7 存在对应关系的曲线偶
设两条正则参数曲线C1:r1?r1(t),C2:r2?r2(u)之间存在一个一一对应关系t?u?(t)，
u?(t)?0. 对曲线C2作参数变换，可设C2:r2?r2(t)，从而C1,C2之间的一一对应就是参数相
同的点之间的一一对应.
定义7.1 如果两条互不重合的曲线C1,C2之间存在一个一一对应，使得它们在对应点有公共的主法线，则称这两条曲线为Bertrand曲线偶，其中每一条曲线称为另一条曲线的侣线，或共
轭曲线.
21
nC1C2C2?C1? 注 在平面上，每一条正则曲线C:r?r(s)??x(s),y(s)?都有侣线，构成Bertrand曲线偶. 证明 设s是C的弧长参数，?(s)??x(s),y(s)?是C的单位切向量场，?(s)是C的曲率.令n(s)???y(s),x(s)?. 取充分小的非零实数?使得|??(s)|?1,?s?[0,b]. 则 C1:r1(s)?r(s)??n(s) 是曲线C的侣线. 事实上，因为n?n?x?y?????1，所以nn?0，n?n. 另一方面由n??0可知
22??n. 因此n//?. 设n??r?. 于是C的曲率
?(s)?|?(s)|?|?x(s),y(s)?|?x2(s)?y2(s)?|n(s)|?|?r|.
当常数?充分小时，
r1?(s)?[1???r(s)]?(s)?0，
所以C1是正则参数曲线. 因为??0，所以曲线C和C1不重合.
现在来证明在对应点C和C1有相同的主法线. 在相同的参数s点处，C的主法线l是过
r(s)(的终)点且垂直于?(s)的直线，所以l的方程为
X(u)?r(s)?un(s)，u?R.
?同理，在相同的参数s点处，C1的主法线l1是过r1(s)//?(s)的直线. 所以1(s)点且垂直于rl//l1(因为它们都垂直于?(s)). 由定义可知r1(s)在直线l上，所以l与l1重合. □
下面考虑空间挠曲线，即挠率??0的曲线.
定理7.1 设C1和C2是Bertrand曲线偶. 则C1和C2在对应点的距离是常数，并且C1和C2在对应点的切线成定角.
证明 设曲线C1的弧长参数方程为r1?r1(s)，Frenet标架为r1(s);?1(s),?1(s),?1(s)，曲率和挠率分别为?1(s)和?1(s). 因为C1和C2之间存在一一对应，设C2上与r1(s)对应的点是
??r2?r2(s)，s是C2的一般参数，C2的Frenet标架为r2(s);?2(s),?2(s),?2(s)，曲率和挠率分
别为?2(s)和?2(s). 再设C2的弧长参数为s?s(s).
由条件，r2(s)在曲线C1上的点r1(s)?u?1(s)上，所以1(s)处的主法线X(u)?r???r2(s)?r1(s)?//?1(s)，并且?1(s)???2(s). 因此可设
r2(s)?r1(s)??(s)?1(s)，?2(s)???1(s)， (7.3)
22
其中???1是常数，?(s)??1(s)?r2(s)?r1(s)?是可微函数.
将(7.3)两边对s求导，利用Frenet公式，得
s?(s)?2(s)??1(s)???(s)?1(s)??(s)[??(s)?1(s)??(s)?1(s)]
?[1??(s)?(s)]?1(s)???(s)?1(s)??(s)?(s)?1(s). (7.4)
以?2???1分别与上式两边作内积，可得??(s)?0，?(s)?c是常数. 再由(7.3)得
|r2(s)?r1(s)|?|?(s)?1(s)|?|c|，
即C1和C2在对应点的距离是常数|c|(?0，因为C1和C2不重合).
设?(s)??(?1(s),?2(s))，则?1(s)?2(s)?cos??(s)?. 因为
d??1?2???1?1?2??2s??1?2???1?2?2???2s??1?1?0， ds所以cos??(s)?是常数，从而?(s)是常数. □
定理7.2 设正则曲线C的曲率?和挠率?都不为零. 则C是Bertrand曲线的充分必要条件是：存在常数?,?，且??0，使得??????1.
证明 必要性. 设曲线C有侣线C1，它们的参数方程分别是r(s)和r1(s)，其中s是C的弧长参数. 如同定理7.1的证明过程一样，设r(s);?(s),?(s),?(s)和r1(s);?1(s),?1(s),?1(s)(7.4)分别成为
????分别是C和C1的Frenet标架，?1,?1分别是C1的曲率和挠率，s是C1的弧长参数. 现在(7.3)和
r1(s)?r(s)???(s)，?1(s)???(s)， (7.3)
s?(s)?1(s)?[1???(s)]?(s)???(s)?(s). (7.5) 其中??0是常数. 因此由??0得
|s?(s)|?[1???(s)]2?[??(s)]2?0，s?(s)??1[1???(s)]2?[??(s)]2，
其中?1??1也是一个常数.
由定理7.1，?(s)?1(s)?c是常数. 用?(s)与(7.5)两边作内积，得
c?1[1???(s)]2?[??(s)]2?1???(s)?(1?c2)[1???(s)]2?c2[??(s)]2.
由??(s)?0可知(1?c)?0，从而
21???(s)??c?:??
2?(s)1?c是常数. 这就是说，存在常数??0,?，使得??????1.
充分性. 设正则弧长参数曲线C:r?r(s)的曲率?和挠率?满足??????1，其中?,?是常数，且??0. 令r1(s)?r(s)???(s)，则
?r1(s)?[1???(s)]?(s)???(s)?(s)??(s)[??(s)???(s)]?0.
所以由参数方程r1?r1(s)定义的曲线C1是正则曲线，并且与曲线C不重合(因为??0).由于
22?r1?|?|???，曲线C1的单位切向量场
?1(s)??[sin??(s)?cos??(s)]，
其中??arctan(?/?)是常数，满足
sin??????22，cos??????22.
设s是C1的弧长参数，利用Frenet公式，有
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dsd?1???(sin???cos??)?. dsds如果sin???cos???0，则有?1???，从而曲线C1是C的侣线，C1和C是Bertrand曲线偶(在参数s相同的点，C1和C得主法线有相同方向，并且r1(s)在r(s)处的主法线上).
如果sin???cos???0，则?????. 结合??????1可知?和?都是非零常数，C是
?1?1圆柱螺线，从而是Bertrand曲线. □
定义7.2 如果两条曲线C1,C2之间存在一个一一对应，使得曲线C1在任意一点的切线正好是C2在对应点的法线(即垂直于C2在该点的切线)，则称曲线C2是C1的渐伸线. 同时称曲线C1是C2的渐缩线.
C2s?0C1s?cs?l 定理7.3 设C:r?r(s)是正则弧长参数曲线. 则C的渐伸线的参数方程为
r1(s)?r(s)?(c?s)?(s). (7.7)
证明 设渐伸线C1上与r(s)对应的点为r1(s). 则r1(s)在曲线C上r(s)点处的切线上，故有函数???(s)使得
r1(s)?r(s)??(s)?(s). (7.8)
?由渐伸线的定义，r1(s)??(s)，所以
???0?r1(s)?(s)?[?(s)??(s)?(s)??(s)?(s)?(s)]?(s)?1??(s). 由此得??(s)??1，?(s)?c?s. 代入(7.8)即得(7.7). □
曲线C的渐伸线可以看作是该曲线的切线族的一条正交轨线，位于C的切线曲面?上. 定理7.4设C:r?r(s)是正则弧长参数曲线. 则C的渐缩线的参数方程为
r1(s)?r(s)?11?(s)?tan??(s)ds?(s). (7.10) ?(s)?(s)??证明 设渐缩线C1上与r(s)对应的点为r1(s)?r(s)]?r(s)??(s)，可设 1(s). 由定义，[rr1(s)?r(s)??(s)?(s)??(s)?(s). (7.11)
求导得
???r1(s)??(s)??(s)?(s)??(s)[??(s)?(s)??(s)?(s)]??(s)?(s)??(s)?(s)?(s)
?[1??(s)?(s)]?(s)?[??(s)??(s)?(s)]?(s)?[??(s)??(s)?(s)]?(s).
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??因为r所以r1(s)//[r1(s)?r(s)]??(s)?(s)??(s)?(s)，1(s)?[?(s)?(s)??(s)?(s)]?0，
即有
?(s)?(s)?1，?(s)[??(s)??(s)?(s)]??(s)[??(s)??(s)?(s)]. (7.12)
所以?(s)?1/?(s)，且由(7.12)第2式得
????????????(???)?，??arctan????，??(s)???(s)tan??(s)ds. ???22??所以有(7.10). □
课外作业：习题4，8
§2.8 平面曲线
本节研究平面曲线的特殊性质.
一、平面曲线的Frenet标架
在平面E2上取定一个正交标架(右手直角标架)O;i,j. 则平面曲线C的弧长参数方程为 r(s)?(x(s),y(s))， s?[a,b. ] (8.1)
它的单位切向量为 其中?(s)????(s)??x(s),y(s)???cos(?(s)),sin(?(s))?， (8.2)
(i,?(s))是由i到?(s)的有向角(允许相差2?的整数倍)，逆时针方向为正. 当区
间[a,b]是闭区间时，函数?(s)可以成为定义在整个[a,b]上的连续可微函数.
将?(s)右旋?/2，得到与?(s)正交的单位向量?(s)，
??(s)??cos(?(s)??2),sin(?(s)?2)????sin(?(s)),cos(?(s))????y(s),x(s)?. (8.3)
这样，得到沿曲线C的(平面)Frenet标架r(s);?(s),?(s).
??yC?(s)i?x,f(x)?s?0s?lO二、平面曲线的Frenet公式
?(s)x
由于?(s)是单位切向量场，有????0，故?//?，可设
?(s)??r(s)?(s)， (7.4)
其中
?r(s)??(s)??(s)??x(s),y(s)????y(s),x(s)??x(s)y(s)x(s)y(s) (7.5)
称为曲线C的相对曲率. 曲线C的曲率为?(s)?|?r(s)|. ?r(s)的符号的几何意义见图2-8.
利用(7.4)得到平面曲线的Frenet公式
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?r??,?? ????r?, (7.6)
???????r?.?1因此曲线C的曲率中心为r(s)??r(s)?(s)，这也是的渐缩线方程.
三、相对曲率的几何意义
由(7.2)，(7.3)和(7.4)可得
?r(s)?(s)??(s)???sin(?(s)),cos(?(s))?因此
?r(s)?即相对曲率是有向角?(s)对弧长的变化率.
d?(s)d?(s)??(s). dsdsd?(s)， (7.7) ds四、平面曲线论基本定理
定理 (平面曲线论基本定理) 设?r(s)是区间[a,b]上的连续可微函数. 则在不计E2的一个刚体运动的情况下，存在唯一的平面曲线C:r?r(s)，s?[a,b]，它以s为弧长参数，以给定的函数?r(s)为相对曲率.
证明 存在性. 取s0?[a,b]. 令
?(s)???r(?)d?，s?[a,b].
s0s再令
x(s)??cos??(?)?d?，y(s)??sin??(?)?d?，s?[a,b].
s0s0ss则平面曲线C:r(s)??x(s),y(s)?，s?[a,b]满足：以s为弧长参数，以?r(s)为相对曲率.
s唯一性. 设另有一条平面曲线C1:r以?r(s)为相对1(s)??x1(s),y1(s)?也以为弧长参数，
?(s)?曲率. 令r1;?1,?1为C1的Frenet标架，1??(i,?1(s)). 通过E2的一个刚体运动，可设
?1(s0)?0，x1(s0)?0，y1(s0)?0.
由?1??r??及?1(s0)?0??(s0)可知?1(s)??(s). 从而
r1??1??cos?1,sin?1???cos?,sin????x,y??r.
再由r1(s0)?(0,0)?r(s0)得到r1(s)?r(s)，?s?[a,b]. □
五、旋转指标定理
虽然有向角?(s)?(i,?(s))允许相差2?的整数倍，但是有向角的总变差?(b)??(a)是
不变的. 事实上，若?(s)也是由i到?(s)的有向角，则?(s)??(s)?2k(s)?. 由于?(s)和
?(s)都是连续函数，k?k(s)必为常数(因为闭区间[a,b]是连通的). 从而
?(b)??(a)??(b)??(a)，
即总变差与有向角函数?(s)连续分支的取法无关. 由(7.7)可知总变差为
?(b)??(a)?
?ba?r(s)ds. (7.9)
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