?r?(t),r??(t),r???(t)??r?(t)?r??(t)?r???(t)?s?3(t)?(s(t))?(s(t))?r???(t)?s?(t)?(s(t))?(s(t)).622由(3.13)可知s?(t)?(s(t))?|r?(t)?r??(t)|，代入上式即得(4.18). □
定理4.3 曲线r?r(t)是平面曲线的充要条件是(r?,r??,r???)?0. □ 例 求圆柱螺线r(t)?(acost,asint,bt)的挠率.
62
解. r?(t)?(?asint,acost,b)，r??(t)??(acost,asint,0)，|r?(t)|?a2?b2，
r??r???(absint,?abcost,a2)?a(bsint,?bcost,a)，|r??r??|?aa2?b2. r???(t)?a(sint,?cost,0) b2所以(r?,r??,r???)?ab，??2. □
a?b2课外作业：习题1(2, 4)，4，10
§ 2.5 曲线论基本定理
已经知道正则参数曲线的弧长、曲率、挠率是曲线的不变量，与坐标系取法及保持定向的参数无关，都是曲线本身的内在不变量. 在空间的刚体运动下，弧长、曲率、挠率保持不变(为什么？). 反之，这三个量也是曲线的完备不变量系统，对确定空间曲线的形状已经足够了，即有
定理5.1 (唯一性定理) 设C1:r1?r1(s),C2:r2?r2(s)是E3中两条以弧长s为参数的正则参数曲线，s?[0,l]. 如果它们的曲率处处不为零，且有相同的曲率函数和挠率函数，即
?1(s)??2(s)，?1(s)??2(s)，则有E3中的一个刚体运动?将C1变成C2.
证明 选取E中的刚体运动?将C2在s?0处的Frenet标架r2(0);?2(0),?2(0),?2(0)变
3???将C2变为正则曲为C1在s?0处的Frenet标架r1(0);?1(0),?1(0),?1(0). 则这个刚体运动
线C3. 设C3的弧长参数方程为r3?r3(s). 由于在刚体运动下，弧长、曲率、挠率保持不变，C1与C3也有相同的曲率和挠率函数：
?1(s)??3(s)，?1(s)??3(s).
且在s?0处它们有相同的Frenet标架：
??r1(0)?r3(0),?1(0)??3(0),?1(0)??3(0),?1(0)??3(0).
令r1(s);?1(s),?1(s),?1(s)和r3(s);?3(s),?3(s),?3(s)分别为C1和C3的Frenet标架. 则它们都满足一阶线性常微分方程组初值问题
?????r(0)?r1(0),??(0)??(0),???,?1 (5.6) ? (5.7)
???????,??(0)??1(0),???(0)??1(0).????.根据解的唯一性(见附录定理1.1)，有r1(s)?r3(s)，即C1与C3重合. □
注 常微分方程组(5.6)中，共有12个未知函数：
?r???????????,r(s)??x(s),y(s),z(s)?，?(s)???1(s),?2(s),?3(s)?，
?(s)???1(s),?2(s),?3(s)?，?(s)???1(s),?2(s),?3(s)?.
16
初始条件为：
?x(0),y(0),z(0)??r1(0)?(a1,a2,a3)，??1(0),?2(0),?3(0)??(a11,a12,a13)，
??1(0),?2(0),?3(0)??(a21,a22,a23)，??1(0),?2(0),?3(0)??(a31,a32,a33).
定理5.2设C1:r1?r1(t),C2:r2?r2(u)是E3中两条正则参数曲线，它们的曲率处处不为零. 如果存在三次以上的连续可微函数u??(t)(t?[a,b])，??(t)?0，使得这两条曲线的弧长函数、曲率函数和挠率函数之间满足
s1(t)?s2(?(t)),?1(t)??2(?(t)),?1(t)??2(?(t))， (5.4) 则有E3中的一个刚体运动?将C1变成C2.
证明 不妨设??(t)?0. 对C2作可允许参数变换u??(t)，可将C2的参数方程写成
r3(t)?r2(?(t)). 则C1的弧长为s1(t)??|r1?(?)|d?，C2的弧长为
ats3(t)??|r3?(?)|d???at由条件，可取s?s1(t)?s3(t)?s2?(t)dr2|??(?)|d???r2?(?)d??s2(?(t)). adu?(a)?(t)作为C1和C2的弧长参数. 因为s1(t)?s3(t)有相同的反t?1?1?1?1?1?1s2函数t??(s)，即??s1?s3?(s2?)??，???s2. 于是
?1?1(s)??1s1?1(s)??1?(s)??2??(s)??2s2(s)??2(s).
同理，?2(s)??1(s) 根据定理5.1，有E中的一个刚体运动?将C1变成C2. □
3s1[a,b]?1R[0,l]s2??[a1,b1]?2
定理5.3 (存在性定理) 设?(s),?(s)是定义在区间[a,b]上的任意二个给定的连续可微函数，并且?(s)?0. 则除了相差一个刚体运动之外，存在唯一的E中的正则曲线C:r?r(s)，
3s?[a,b]，使得s是C的弧长参数，且分别以给定的函数?(s)和?(s)为它的曲率和挠率.
证明 唯一性由定理5.1即得. 只要证明存在性.
考虑含有12个未知函数的一阶线性常微分方程组初值问题(5.6)，(5.7).：
?dr?ds??d??ds??d??ds?d???ds??,?r(0)?r0,???,??(0)??,?0 (5.6) ? (5.7)
??(0)??0,???????,???(0)??0.????.根据解的唯一存在定理(见附录定理1.1)，对任意给定的初始条件(5.7)，(5.6)都有定义在区间[a,b]上的解. 取(5.6)的满足初始条件
r(0)?0,?(0)?i,?(0)?j,?(0)?k (5.7)’
的解，其中O;i,j,k是一个正交标架(即右手单位直角标架). 为了使用求和号，记
??e1??,e2??,e3??,gij?eiej, (5.9)
17
?a11a12a13??0?0??a21a22a23?????0??. (5.5) ?aaa??0??0???313233??因为r,e1,e2,e3是(5.6)的解，所以r?r(s)是三阶连续可微的. 下面来证明r?r(s)就是所要求的曲线. 由(5.6)可得
dr?e1,ds首先来证明
3dei??aijej,i?1,2,3 (5.6)’ dsj?1gij(s)??ij,i,j?1,2,3. (5.10)
由(5.6)得
dgijds?d(eiej)ds333dejdei?ej?ei??aikekej??ajkeiek??(aikgkj?ajkgki)， dsdsk?1k?1k?1由初始条件(5.7)’可知有gij(0)?ei(0)ej(0)??ij，i,j?1,2,3. 这说明9个函数gij(s)满足一阶线性常微分方程组初值问题
dFijds??(aikFkj?ajkFki)，Fij(0)??ij，i,j?1,2,3.
k?13另一方面由(5.5)可知aij??aji，i,j?1,2,3. 于是9个函数Fij(s)??ij也满足上面的一阶线性常微分方程组初值问题. 由解的唯一性，必有gij(s)?Fij(s)??ij.
因此e1(s),e2(s),e3(s)是两两正交的单位向量. 从而混合积?e1(s),e2(s),e3(s)???1. 但是函数f(s)??e?是连续的，并且由初始条件得f(0)??e1(0),e2(0),e3(0)??1. 1(s),e2(s),e3(s)所以e1(s),e2(s),e3(s)构成右手系.
dr?e1?1. 所以r?r(s)是正则曲线，并且s是C:r?r(s)的弧长ds参数，?(s)?e1(s)是C的单位切向量场. 由(5.6)第2式及?(s)?0可知C的曲率为?(s)，主
现在，由(5.6)’可知
法向量场为?(s)?e2(s). 最后，因为e1(s),e2(s),e3(s)是右手单位正交基，所以?(s)?e3(s)是次法向量场. 再由(5.6)第3式可知C的挠率为??(s)?(s)??(s). □
例 求曲率和挠率分别是常数?0?0，?0的曲线C的参数方程.
解 我们已经知道圆柱螺线r(t)?(acost,asint,bt)的曲率和挠率都是常数，分别为
abab和. 根据定理5.1，曲线一定是圆柱螺线. 由和????0解C0a2?b2a2?b2a2?b2a2?b2??出a?202，b?202. 因此所求曲线C的参数方程为
?0??0?0??01r(t)?2?cost,?0sint,?0t?. 2?0?0??0t2222因为C的弧长参数s?a?bt?，将上式中的t换成?0??0s就可得到C的弧长
22?0??0参数方程：
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r(s)?1?cos?02??020??22?0??0s,?0sin??2222?0??0s,?0?0??0s. □
??课外作业：习题1，4，6
§ 2.6 曲线参数方程在一点的标准展开
对于定义在区间[a,b]上的n次连续可微的函数f(x)，可以在区间(a,b)内任意一点x0邻近展开为Taylor展式：
f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?12!f??(x0)(x?x0)2?12!?1n!f(n)(x0)(x?x0)n?o(x?x0)n.
同样，对于一条三次连续可微的弧长参数曲线r?r(s),s?(??,?)，可在s?0处展开为
r(s)?r(0)?sr(0)?其中o(s)是一个向量函数，满足
3s2r(0)?13!s3r(0)?o(s3)， (6.1)
o(s3)lim3?0. (6.2) s?0s由Frenet公式可得
r(0)??(0),r(0)??(0)?(0),代入(6.1)得
r(0)???2(0)?(0)??(0)?(0)??(0)?(0)?(0) (6.3)
2???0??????r(s)?r(0)??s?s3??(0)??0s2?0s3??(0)?00s3?(0)?o(s3)，
6?6?6?2?其中?0??(0),?0??(0),?0??(0).
以s?0处的Frenet标架r(0);?(0),?(0),?(0)建立右手直角坐标系，则曲线C在s?0附近的参数方程为
????0233x?s?s?o(s),1?6??02?03?3?y?s?s?o2(s), (6.4)
26??0?03?z?s?o3(s3).?6?上式称为曲线C:r?r(s)在s?0处的标准展开式.
在标架r(0);?(0),?(0),?(0)下，考虑C的近似曲线
??????????C1:r1(s)??s,0s2,00s3??r(0)?s?(0)?0s2?(0)?00s3?(0). (6.5)
626?2?近似曲线C1与原曲线C在s?0处有相同的Frenet标架r(0);?(0),?(0),?(0)，有相同的曲率
???0和相同的挠率?0. 这是因为s是C1的一般参数，并且r1(0)?(0,0,0)?r(0)，
??(0,?0,0)??0?(0)，r1?(0)???(0,0,?0?0)??0?0?(0)， r1?(0)?(1,0,0)??(0)，r1?(0)从而
??(0)?r1(0)?1，1r1?(0)?????(0)，r1(0)?r1(0)??(0)??0?(0)??0?(0)， ?r1(0)?? 19
???r1(0)?r1(0)??0，?1(0)??r1?(0)?r1?(0)r1?(0)3??0，?1(0)??r1?(0)?r1?(0)??(0)，
???r1(0)?r1(0)2?1(0)??1(0)??1(0)??(0)??(0)??(0)，?1(0)??r1?(0)?r1??(0)?r1??(0)r1?(0)?r1??(0)?02?0?2??0. ?0在s?0邻近，近似曲线C1的性状近似地反映了原曲线C的性状. 近似曲线C1的图形见下图，其在各坐标平面上的投影见书上图2-6.
?0?0?0?0r(0)?0 在密切平面上的投影是抛物线：x?s,y??02s2,z?0，在从切平面上的投影是三次曲线：
x?s,y?0,z??0?06s3，在法平面上的投影是半三次曲线：x?0,y??02s2,z??0?06s3.
定义 设两条弧长参数曲线C1:r1?r1(s),C2:r2?r2(s)相交于p0，Op0?r1(0)?r2(0). 取p1?C1,p2?C2，使得p0p1?p0p2??s. 若有正整数n使得
|p1p2||r1(?s)?r2(?s)||r1(?s)?r2(?s)|?lim?0lim?0， (6.9) ，nn?1?s?0?sn?s?0?s?0?s?slim则称C1与C2在p0处有n阶切触.
定理6.1 设两条弧长参数曲线C1:r1?r1(s),C2:r2?r2(s)在s?0处相交. 则它们在
s?0处有n阶切触的充分必要条件是
r1(k)(0)?r2(k)(0)，k?1,2,Taylor公式，
20
,n，r1(n?1)(0)?r2(n?1)(0). (6.10)
证明 在s?0处，有?s?s?0?s. 因为C1,C2在s?0处相交，所以r1(0)?r2(0). 根据