2018年初中数学竞赛辅导专题讲义
第17章 几何不等式与极值问题
17.1.1★ 一个凸行边形的内角中，恰好有4个钝角，求n的最大值． 解析
考虑这个凸行边形的n个外角，有n?4个角≥90?，故有?n?4??90??360?（严格
小于是由于4个钝角的外角和大于0?），因此n?8，n的最大值是7．易构造这样的例子。 如果恰好有k个钝角，则n的最大值是k?3.
17.1.2★ 在△ABC中，AB?AC，P为BC边的高AD上的一点，求证：AB?AC?PB?PC.
APCBD
解析
易知AB?AC?PB?PC，
又AB2?AC2?BD2?CD2 ?PB2?PC2，
故有AB?AC?PB?PC．
评注 读者不妨考虑AD是角平分线与中线的情况．
17.1.3 已知四边形ABCD，AC、BD交于O，△ADO和△BCO的面积分别为3、12，求四边形ABCD面积的最小值．
ADOBC
解析
易知
S△ABOBOS△BCO??，故S△ABO?S△CDO?S△ADO?S△BCO?36. S△ADODOS△DCO从而S△ABO?S△CDO≥2S△ABO?S△CDO?12，
且当S△ABO?S△CDO（此时四边形ABCD为一梯形）时等号成立，所以此时四边形ABCD面积达到最小值27.
17.1.4★ 已知：直角三角形ABC中，斜边BC上的高h?6． （1）求证：BC?h?AB?AC； （2）求?BC?h?-?AB?AC?. 解析
22?BC?h?2??AB?AC?
2?BC2?h2?2BC?h?AB2?AC2?2AB?AC，
1
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由条件，知2BC?h?4S△ABC?2AB?AC，且AB2?AC2?BC2， 于是?BC?h???AB?AC??h2?36.
注意：这同时解决了（1）和（2）.
17.1.5★ 设矩形ABCD，BC=10，CD?7，动点F、E分别在BC、CD上，且BF?ED?4，求△AFE面积的最小值．
ADE22BFC
解析设 BF?x，
DE?y??4?x?，则
11S△ABF?S△ADE?S△ECF??7x?10y??10?x??7?y????70?xy?。 ??22由xy≤12?x?y??4。故 41S△AEF≥70???70?4??33.
2当BF?ED?2时达到最小值．
17.1.6★ 设P是定角?A内一定点，过P作动直线交两边于M、N，求证：△AMN面积最小时，P为MN的中点．
MPαAβN解析
如图，连结AP，设?MAP??，?NAP??，?????，由
S△AMP?S△ANP?S△MAN，得
AM?AP?sin??AN?AP?sin??AM?ANsin?。
又 左式≥2AP?AM?AN≥sin??sin?， 故 S△AMN
达到最小值时，须S△AMP?S△ANP，故P为MN之中点.
N、CA、AB上，BM?CN?AP?1，17.1.7★ 正三角形ABC的边长为1，P分别在BC、M、
2
12AP2sin?sin?。 ?AM?AN?sin?≥2sin?2018年初中数学竞赛辅导专题讲义
求△MNP的最大面积。
zAPN yBxMC
解析
如图，设BM?x，CN?y，AP?z，则0≤x，y，z≤1，x?y?z?1。
1S△APN?S△BPM?S△MNC??x?1?z??y?1?x??z?1?y???sin60?， 2?于是问题变为求x?1?z??y?1?x??z?1?y?的
最小值，展开后约去x?y?z??1?，即求xz?yx?zy的最大值． 由S△A不?P等
△NS式?xy?yz?zx≤S?P2M△9112?x?y?z??33知，当x?y?1z?时3，
△BS△MNP，此时的面积达到最大值。 SMNCABC13S△ABC?. 31217.1.8★ 设△ABC是边长为l的正三角形，过顶点A引直线l，顶点B、C到l的距离记为
?S△MNP?max?d1、d2，求d1?d2的最大值．
QAlBPlC
解析 l?BC.
如图，若l穿过BC，则由“直角边小于斜边”知d1?d2≤BC?1，取到等号时仅当
若l不经过BC，取BC中点P，作PQ?l，Q在l上，则d1?d2?2PQ≤2AP?3，取到等号仅当l∥BC.
综上所述，d1?d2的最大值为3。 17.1.9
在数1、
111111111、、、、、、、、中，若任找三个数能组成三角形2473568910的三边，则称这三个数是“好搭档”，则总共有多少组“好搭档”？
3
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解析 此题可分类讨论。 显然1不可能为边．
1116!?111111?由于??，故?，，，，，?中任三数可构成三角形的三边，一共有?2059103!3!?5678910?组。 当最大边为
1111时，次大边只能为，最小边为或，有2组。 2435111111111当最大边为时，次大边为或．次大边为时，最小边???，故可取~；
44341251035112111次大边为时，最小边???，可取与共有8组．
3515675当最大边为
1111时，次大边为、、．次大边 4756111111为时，最小边???，可取~；次
45206105大边为
111111时，最小边???，可取~； 6461271011131时，最小边???，可取 747288次大边为
1和。共有11组。 9综上所述，总共有41组． 17.1.10★ 设?XOY?60?，A、B是OX上的两个定点，P是OY上的一个动点，问当P在什么位置时，PA2?PB2最小？
XBA60°OPY解析
如图，设OA?a，OB?b，OP?x，不妨设a?b。则
PA2?a2?x2?ax， PB2?b2?x2?bx，
故 PA2?PB2?2x2??a?b?x?a2?b2
?a?b?a?b??22?2?x?。 ??a?b?48??22显然当x?a?b时，PA2?PB2最小。 4评注 容易验证，此时P为AB的中点在OY上的射影。 17.1.11★ 设直角△ABC中，?C?90?，求证：
4
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AB2. S△ABC≤4解析 如图，作A关于BC的对称点A?，连结A'B、A'C，则
BA'CA
1S△ABC?S△BAA'
2??1AB?A'B?sin?ABA' 411AB2sin2B≤AB2. 44取等号仅当△ABC为等腰直角三角形。 17.1.12★ X是△ABC的边AB上一点，P为△ACX的内心，Q是△BCX的内心，M是PQ的中点，求证：MC?MX.
解析
如图，连结XP、XQ、CP、CQ，则?QXP?90?，MX?1PQ，又211?PCQ??BCA?90?，故CM?PQ，于是结论成立。
22APMCXQB
评注 三角形某边上的中线分别大于、等于、小于该边的充要条件是该边所对内角为锐角、直角或钝角，这是一个常见的结论．
17.1.13★★ 已知凸六边形ABCDEF中，AF∥CD，AB∥ED，BC∥EF， 求证：S△ACE?S△BDF≥SABCDEF.
AFPREBQCD解析
如图，作□ABCD、□QCDE、□EFAR，于是出现三组全等三角形。这样便有
2?S△ACE?S△PQR??S△PQR?S六边形ABCDEF，
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