2018年初中数学竞赛辅导专题讲义
由于
1?a?b?2212?≥c?c?a??a?b???221?，下证即可，此等价于
?a?b??c?a??b?c?2?a2?b?c??a2?bc?ab?ca??b??c?2，由于c???b?c?222?b2?c?2bc?a?2bc?a?bc2，又
b???c??b?a?b，两式相加即得结论．?c?abac
17.1.53★★★点D、E、F分别在BC、CA、AB上，若分别记S△AEF、S△BFD、S△CED为S1、S2、S3，证明：S△DEF≥2S1?S2?S3，当且仅当AD、BE、CF共点时等号成立．
S△ABCAFEBDC
解析设
AFBDCE??1，??2，??3，则 BFCDAE?1S1?S，
?1??1??1??3?△ABCS2?S3??2?1??2??1??1??3S△ABC， S△ABC，
?1??2??1??3?所以
S△DEF?S△ABC?S1?S2?S3
??S△ABC????1??1??1??2??1??3???1??2??1??1??3??2??1??1??3?? 1??1??1???1??2??3?1??1?2?3S．
?1??1??1??2??1??3?△ABC又有
S1S2S3?1?2?3?， 2322S△?1??1??1??2??1??3?ABC223?S△DEF?S△S△DEF?S△ABCABC故 ????S1S2S3SSSS123?△ABC???1??1?2?3??1?2?32≥4，
26
2018年初中数学竞赛辅导专题讲义
于是命题得证．仅当?1?2?3?1时取等号，由塞瓦逆定理知，此时必有AD、BE、CF共点． OY两边于M、N，17.1.54★★★已知定角∠XOY????内有一定点P，动直线l过P，交∠X求OM?ON之最小值(假定∠POX??，∠POY??，PO?d)． 解O析如图Nn?，由O??面积得
S△MON?S△MOP?S△NOP，即
?Ms??OisM?iO，此式可化为n?P??Xsin?sin?sin?O??N?O．P ONOMdMKOPβαNY
用柯西不等式(或展开后用平均不等式)，可得
sin??sin?sin????OM?ON????OM?ON?? dOM??ON≥?sin??sin??，
2故OM?ON的最小值为sin?sin?sin???ONOMdON?dsin??sin??sin??2．等号成立，仅当得
OM?dsin?OMsin??．其与ONsin?联立，可解
?sin?sin??sin??，
ddsin?sin??sin?．又作PK∥OY，与OX交于K，则OK??sin?，
sin?sin?OK?OM，这样的M、N的确存在．
17.1.55★★★★已知锐角三角形ABC，D、E、F分别是BC、CA、AB上的动点，求证：
??DE2?EF2?FD2达到最小时，满足GD?BC、GE?AC、GF?AB，及等价的
ABACBC，此处G为△DEF重心，并用△ABC三边及面积表示这个最小值． ??GFGEGD1EF2．当MD达最2小时，应有MD?BC，如对三边作处理，便有GD?BC、GE?AC、GF?AB，此时
解析如图，先设E、F固定，M为EF中点，则DE2?DF2?2MD2?S△GFD?S△GED，FG?sin∠FGD?GE?sin∠EGD，故FG?sinB?GE?sinC，
FGGE，?sinCsinB同理此值为
GDABACBC，此即． ??sinAGFGEGD 27
2018年初中数学竞赛辅导专题讲义
AFMEGBDC
下证此时的△DEF确实达到三边之平方和最小．先求此值，设GF?k?AB，GE?k?AC，GD?k?BC，则kAB2?BC2?CA2?2S△ABC．
??又DE2?GE2?GD2?2GE?GD?cosC
?k2?AC2?BC2?2AC?BCcosC?
?k2?2AC2?2BC2?AB2?，
同理有另两式，加之，得
DE2?EF2?FD2?3k2?AB2?BC2?CA2?
212S△ABC?． 2AB?BC2?CA2下证对于一般的△DEF，有
?DE2?EF2?FD2??AB2?BC2?CA2?
2≥12S△ABC．
找到△DEF重心G，由中线长，易知有
?DE2?EF2?FD2??AB2?BC2?CA2?
?3?FG2?GD2?GE2??AB2?BC2?CA2?
≥3?FG?AB?GD?BC?GE?CA?
2≥12S△ABC．
2评注这里用到柯西不等式，不难得出等号成立之条件．此题还包含了另一个问题：三角形内求一点至三边距离平方和最小．
CE交于O，CO、△EDO、17.1.56★★★已知△ABC，记△AD、E分别在BC、AB上，AD、△BED的面积分别是S1、S2、S3，求S3的最小值(假定s1、s2已知，用S1、S2表示之)．
解析如图，若设S△AEO?S，S△ODC?S′，则由简单的比例知S?S′?S1?S2，又
28