2018年初中数学竞赛辅导专题讲义
1解析设该直角三角形直角边长为a、b，则易知其内切圆半径为(a?b?a2?b2)?1，整
2理，得(a?b?2)2?a2?b2，或ab?2a?2b?2≥4ab?2，此即(ab?2)2≥2． 由于每条直角边均大于内切圆直径2，故ab?2，于是ab≥2?2，直角三角形最小面积为3?22，此时该三角形为等腰直角三角形．
17.1.26★★梯形ABCD高为d，上底AD?a，对角线交于P，求用a、d表示△APD与△BCP面积之和的最小值．
解析如图，作EPF与AD、BC垂直，垂足分别是E、F．设BC?x，则PE?PF?d，PEADa??PFBCx，解得PE?2ada?x，
PF?xda?x，于是
S△A?P△SD1a2?2a?Bd?xC12x?P?aA2?d1a2?d． ?2x?a?xxEPDBFC
a2?x2设则x2?yx?a2?ay?0有解，故?≥0，即y2≥4(a2?ay)，即y?2a≥22a，?y，
a?xy的最小值为2(2?1)a，故最小面积为(2?1)ad．此时x?(2?1)a．
17.1.27★★设D是△ABC的边BC的中点，E、F分别在边AB、AC上，DE?DF，试比较BE?CF与EF的大小关系．
D?CD，DP≌△CDF(SAS)，F?BP．解析如图，延长FD至P使DP?DF，由B知△B故C
AEBPFDC
又ED垂直平分PF，故EF?PE，易见EP?BE?BP，所以EF?BE?CF． 17.1.28★★一凸六边形ABCDEF每条边长均为1，求证：AD、BE、CF中至少有一个≤2． 解析如图，由于?A??B??C??D??E??F?720?，不妨设?A??F≤240?，作菱形ABGF，则?GFE≤60?，FG?FE?1，则GE是△FGE最小边，GE≤1，又BG?1，故BE≤BG?GE≤2．
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AFBEGDC
17.1.29★★在正△ABC内，P是一动点，求以P在三边上的射影为顶点的三角形面积的最大值．
解析如图，△ABC内一点P在BC、CA、AB的射影分别为D、E、F，则
AFPEBDC
S△DEF?S△EPF?S△FPD?S△DPE
1?(PD?PE?PE?PF?PF?PD)sin120? 2?3(PD?PE?PE?PF?PF?PD)． 41由熟知的不等式ab?bc?ca≤(a?b?c)2，及PD?PE?PF为常数（△ABC的高h），得
3S△DEF≤?3(PD?PE?PF)2 121321?h?S△ABC． 434等式成立，仅当PD?PE?PF，此时P为△ABC的中心． 17.1.30★★证明：四边形四边的平方和不小于对角线的平方和，等号成立仅当该四边形为平行四边形时．
解析如图，设BD中点为E，由中线长公式知
ADEBC
AB2?AD2BD2， AE??242 12
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BC2?CD2BD2． CE??24又由基本不等式，有
22(AE2?CE2)≥(AE?CE)2≥AC2，
故用中线长公式代入，即得四边形四边平方和的不等式．
等号成立时A、E、C共线，且E为AC中点，即AC、BD互相平分，于是四边形ABCD为一平行四边形．
评注又由托勒密不等式AD?BC?AB?CD≥AC?BD，知有
(AD?BC)2?(AB?CD)2≥(AC?BD)2，等号成立仅当四边形ABCD为矩形．
17.1.31★★设面积为1的锐角△ABC三条边分别是a、b、c，动点P在AC上，P在BC上的射影是Q，求△BPQ面积的最大值（用a、b、c表示）． 解析如图，作AR?BC于R．因为BQ?PQcotC?BC（常数），于是4BQ?PQ?cotC?
BC2?(BQ?CQ)2．
APBRQC
当BR≤RC，即AB≤AC或c≤b时，Q可为BC中点，此时BQ?CQ，从而S△BPQ可得最大值为
11a2sinC2 ?BQ?PQ??BCtanC?288cosCa?S△ABCa2??． 4bcosC2(a2?b2?c2)当BR?RC，即c?b时，BQ?CQ．当Q落在R上，BQ?CQ达到最小，BQ?PQ达到最c2ca2?c2?b2大．此时S△BPQ的最大值为S△ABR?sinBcosB?cosB?．
2a2a217.1.32★★设D为定线段AB上一定点，P为动点，PD的长度固定，求PA?PB之最大值．
解析由斯图沃特定理PA2?BD?PB2?AD?AD?BD?AB?PD2?AB，注意等式右端为定值．
PADB
又由柯西不等式（或展开后移项配方）有
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1??1222???(PA?BD?PB?AD)≥(PA?PB)， ?BDAD?故
(PA?PB)2
≤AB(AD?BD?AB?PD2?AB)
BD?AD2PD2?AB2， ?AB?BD?ADPD2PAAD于是PA?PB的最大值是AB1?，此时，PD为?APB的平分线． ?BD?ADPBBD17.1.33★★直角三角形ABC的直角顶点C在直角三角形DEF的斜边DF上，而E在
△ABC的斜边AB上，如AC、BC、DE、EF分别等于10、15、12、12，求凸四边形ABFD之面积的最大值． 解析如图，由四边形面积公式，知11S四边形ABFD?S四边形AECD?S四边形EBFC≤AC?DE?EF?BC?150．
22ADCFEB
取等号须AC?DE，EF?BC．此时若将点C位于DF中点，则由DE、EF的值易知E在
?ACB平分线上，BC垂直平分EF，AC垂直平分DE，进而由AC、BC之值可知E在AB上，满足要求．所以S四边形ABFD的最大值为150．
17.1.34★★凸四边形一内点到四个顶点的距离分别是1、2、3、4，求这样的四边形的最大面积．
解析设凸四边形ABCD内有一点P，
{PA，PB，PC，PD}?{1，2，3，4}， 则
S四边形ABCD?S△ABP?S△BCP?S△CDP?S△DAP
1111≤PA?PB?PB?PC?PC?PD?PD?PA 22221?(PA?PC)(PB?PD) 2125． ≤(PA?PC?PB?PD)2?82等号成立，必须PA?PC?PB?PD，比如PA?1，PC?4，PB?2，PD?3，且A、P、
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25． 217.1.35★★面积为1的三角形ABC中，三条边长a、b、c满足a≤b≤c，求a?b的最小值．
解析如图，过C作直线l∥AB，又作BE?l于E，延长一倍至D，连结CD．则C共线，B、P、D共线，AC?BD，此时，AC?BD?5，S四边形ABCD取最大值
a?b?AC?CD≥AD?c2?(2h)2．这里h?BE．
DCElAB
显然有c2?4h2≥2c2?4h2?4ch?8，于是a?b≥22．
仅当A、C、D共线，即a?b?2，且c?2h?2时取等号，此时△ABC为等腰直角三角形．
17.1.36★★三角形两边长分别等于10和15，证明：这两个边的夹角的角平分线小于12．
D∥AC，解析如图，不妨设AB?15，AC?10，AD为角平分线．今在AB上取一点E，使E则易知
EDBDAB153????， ACBCAB?AC255AEBDC
3故ED??10?6，又由?EAD??DAC??EDA知AE?ED?6，于是AD?AE?ED?12．
5显然12是最佳上界．
17.1.37★★正三角形ABC边长为1，M、N、P分别在BC、CA、AB上（含顶点），AP?AN?BP?BM?MC?CN，求△MNP的最大周长和最小周长． 解析如图，易知AP?AN?BP?BM?MC?CN?1．
ASPTNBMC
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