2018年初中数学竞赛辅导专题讲义
即 S△ACE?1S六边形ABCDEF+S△PQR? ?21≥S六边形ABCDEF. 21同理有 S△BDF≥S六边形ABCDEF.
2评注 不破除对称性，此题就比较复杂（当然不是所有的题目都能带给你好运）．另外，
用这种方法还能证明S△ACE?S△BDF.
17.1.14★★ 已知矩形ABCD，AB?3，BC?5，P是AD上一点，CP、BA延长后交于M，直线CQ垂直于BP，交BM于Q，若Q为MB中点，求AP.又条件同上，若BC的长度不固定，求BC的最小值．
MAQPDBC
解析
如图，设AP?x，由△MBC∽△CDP，得
BQAP5，BQ?x。 ?BCAB3MBCD15，代入得MB?。 ?BCPD5?x又△APB∽△BQC，得由MB?2BQ，得解得x?322?x，或2x?10x?9?0， 5?x35?7。 23y32xy?x，或，BQ?，故由MB?2BQ得
y?xy?x33若BC长度不固定，设其为y，MB?2x2?2yx?9?0，由?≥0得y≥32。BC可取的最小值是32，此时P为AD中点。
17.1.15★★ 设I为△ABC的内心，P是△ABC内部的一点，满足
?PBA??PCA??PBC??PCB.
求证：AP≥AI，并说明等号成立的充分必要条件是P?I.
APIBC
解析
易知
1??B??C???IBC??ICB， 26
?PBC??PCB?
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?BPC??BIC. 因此
故B、C、I、P四点共圆，即点P在△BCI的外接圆?上。
?的中点，记△ABC的外接圆为?，则?的中心M为?的BC即为?A的平分线AI与?的交
点。
在△APM中，有
AP?PM≥AM?AI?IM?AI?PM， 故 AP≥AI.
等号成立的充分必要条件是点P位于线段AI上，即P?I.
17.1.16★★ 延长一凸四边形形的四边和对角线，得六条直线，任两条直线有一个不大于90?的夹角（这些线无两条平行），求这些夹角中最小的一个的最大值．
A12B5E34C6F
解析 如图，标好各角，则?1??2??3??4??5??6??1??2??ACB??ABC?180?，故总有一角≤30?，当△ABC为正三角形，DB?AB、DC?AC时最小角达到最大值30? 17.1.17★★ 凸四边形ABCD中，点M、P分别是BC、CD的中点，若AM?AP?a，求证：
1S四边形ABCD
2ADPBMC
解析
如图，连结AC、MP，易知
11S△AMP?S△BDC?S四边形AMCP?S四边形ABCD．
42又 S△AMP?
S△BDC?S四边形ABCD，
1AM?APsin?MAP 21(AM?AP)212≤AM?AP≤?a， 288111因此 S四边形ABCD?S四边形ABCD?a2，
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1S四边形ABCD?a2．
217.1.18★★★在三角形ABC中，AC?4，BC?6，?BAC?2?ABC．P是平面上任意一点，求3PA?2PB?PC的最小值．
即
DA4B6C
解析因为
U?3PA?2PB?PC
?2(PA?PB)?(PA?PC) ≥2AB?AC?2AB?4．
下面来求AB．
延长BA至D，使得DA?AC，连结CD，则 1?D??DCA??BAC??ABC，
2所以△DCA∽△DBC，故
DCDA)，故AB?5．，所以DC2?DA?DB，即36?4(4?AB ?BDDC所以，所求的最小值为14．
17.1.19★★在锐角三角形ABC中，求证： cosB?cosC≤2sinA． 2A．下面不妨设AB?AC． 2A解析当?B??C时，显然有cosB?cosC?2sinFBEHGDC
F?AC．在AB上取点F，使A作角平分线AE、高AD，则AE垂直平分CF．又作FH?ADACFFGCGFHCD于H，AD与CF交于G，则2sin??????cosB?cosC．
2ACFAACFAAC17.1.20★★△ABC中，点D为BC之中点，点E、F分别在AC、AB上，求证： 2S△DEF?S△ABC?S△AEF．
解析如图，连结BE、CF，则由BD?CD，得 2S△DEF?S△BEF?S△CEF．
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AFEBDC
而S△BEF?S△BCF，故S△BEF?S△CEF?S△BCF?S△CEF?S△ABC?S△AEF．于是结论成立． 17.1.21★★设a、b、c为三角形三边长，则对任意实数x、y、z，有
a2(x?y)(x?z)?b2(y?z)(y?x)?c2(z?x)(z?y)≥0．
解析设x?y?p，y?z?q，则x?z?p?q， 原式?a2p(p?q)?b2qp?c2(p?q)q
?a2p2?(a2?b2?c2)pq?c2q2?f(p)．
它的判别式 ??(a2?b2?c2)2q2?4a2c2q2
?[(a?c)2?b2][(a?c)2?b2]q2
≤0．
f(p)≥0．
于是
17.1.22★已知图中窗框总材料一定，问何时窗的面积最大？（图中6个矩形全等）
CAB
解析设AB?x，AC?y，则总材料为l?10x?9y?πx（l为常数），面积为S?6xy?是 y?2ll?(10?π)x?20π?，代入，得S?x????x2．
39?36?π2于x．2这个二次函数在x?2l时取到极大值，此时x、y均有实际意义．取得窗的最大面积为40?π2l2．
120?3π17.1.23★★ABCD和EFGH都是边长为1的正方形，且AB∥EF．两个正方形重叠部分的
1面积为，求两个正方形中心距离的最小值．
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解析如图，设ABCD的中心为I，EFGH的中心为J，过I、J分别作IK∥AB，JK∥BC，
IK、JK交于K．又设两正方形重叠部分为矩形BMHN，HM?x，HN?y，则xy?IK?1?1????x??1?x，同理JK?1?y， 2?2?EANHIDCBMKGJF1，16
所以
IJ2?(1?x)2?(1?y)2 ?x2?y2?2(x?y)?2
?(x?y)2?2(x?y)?2?2?77?(x?y?1)2?≥．
881 16所以， 当x?IJ≥14． 42?32?314，y?时等号成立．故所求的最小值为． 44417.1.24★★在锐角△ABC的边BC、CA、AB上各有一动点D、E、F，求证：△DEF的
周长达到最小当且仅当AD、BE、CF为△ABC的三条高．
解析如图，设D关于AB、AC的对称点分别为G、H，GD与AB交于M，DH与AC交
N△D于，则的周长
4S△ABC?GF?≥2F?E2≥2E???BACHs? GAD???inHBCsin?BAC?2S△ABC． RAGMBDFENCHM
这里AD?为△ABC的高，R为△ABC的外接圆半径．又由对称性，除了AD?BC外，BE、CF也分别必须垂直于AC、AB时方能达到．
17.1.25★★直角三角形内切圆半径为1，求其面积的最小值．
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