2018年初中数学竞赛辅导专题讲义
由PN≤AP?AN等知△MNP的周长≤AB?BC?CA?3，达到最大值时M、N、P分别落在△ABC的三个顶点上．
又作?BAC的平分线AST，PT、NS分别与AST垂直于T、S，由于?PAS??NAS?30?，1?AP?AN?2PT?2SN≤2PN，故PN≥1，取等号时PN?AS，且P、N是AB、AC213的中点，同理有PM，MN≥，故△MNP的周长≥，取等号仅当M、N、P为各边之
22中点时．
17.1.38★★已知面积为T的梯形ABCD满足AB∥CD，E为边AB上一点，且满足EC∥AD，直线AC、BD、DE交出的三角形面积为t．当
tAB最大时，求． TCD解析如图，设DE与AC交于M，BD与AC交于N，则S△MND?t．
AEBMNDC设CD?x，AB?y(≥x)，
S?ADCES梯形ABCD
2x2xTxT?，即S?ADCE?，S△DMC?，又设
x?y2(x?y)x?yy?xAB?CDAN??CN?pqq?，解出
pqpAM?CM?p，MN?q，则t?S△DMN?y?y?x，即xy?xxT(y?x)xT(y?x)xk?1??．于是要达到最大，即达最大，其中y?x2(x?y)2(x?y)2(k?1)2(x?y)221k?1y?1??S?≤?，?S?2S令则k?≥1．
k?1(k?1)2x?2??21?2S1(?2?S)12?2?S?1?S1≤????，2?2?82仅当2S?1?2S时达到最大，此时k?3．
17.1.39★★已知△ABC的边AB、AC上分别有点D、E，F在DE上，求证： 8S△DFB?S△EFC≤S△ABC，
并求等号成立的条件． 解析如图，连结CD、AF．设
ADAEDF?k1，?k2，?k3，则 DBCEEFADFEBC
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S△EFCS△EFCS△AFCS△ADC11k??????． S△ABCS△AFCS△ADCS△ABC1?k21?k31?k1同理
S△DFBkk1??3?2． S△ABC1?k11?k31?k2于是
S△EFC?S△DFBk3k1k21111???≤???． 2222S△ABC(1?k1)(1?k2)(1?k3)44464开方即得结论．取等号时k1?k2?k3?1，即DE是中位线，F为DE中点．
17.1.40★★已知Rt△ABC中，?C?90?，CD?AB于D，?B的平分线交CD于E，交CAG是EF的中点，FG、△BED、△BFC的周长分别为C1、于F，连结CG，设△C求C2、C3．
C1?C2的最大值． C3CEFGABD
1解析易知?CFB?90???ABC??BED??CEF，可得CE?CF，则CG平分?ECF，而
2?ECF?90???BCD??ABC，所以?FCG??ECG??CBF??ABF，可推得△CFG∽
CCCFBE△BFC∽△BED．因此1?，2?．
C3BFC3BFCF2CF设，所以 ?x，因为BE?BF?2GF，GF?BFBFBEGF?CF?2?1?2??1?2????1?2x． BFBF?BF?C?C2C1C2CFBE1?991?因此，1?????x?(1?2x2)??2?x???≤，所以，当x?，
C3C3C3BFBF4?884?C1?C29有最大值． C3817.1.41★★BE、CF是△ABC的中线，且BE?CF，设AC?b，AB?c(c?b)．
22即4CF?BF时，
（1）求BC之长（用b、c表示）；
b的范围． c解析（1）设BE交CF于G，则G为△ABC的重心，故2GF?GC，2GE?BG，设GE?x，GF?y，因△FGB、△EGC、△GBC为直角三角形，于是有：
（2）若△ABC存在，求
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AFGEBC
12?22x?4y?b,①?4?12?22y?4x?c,② ?4??4x2?4y2?BC2.③??1由①+②得5(x2?y2)?(b2?c2)，
4由③得 即
1BC2?(b2?c2)，
5BC?15(b2?c2)． 5（2）如果△ABC存在，则 AB?AC?BC?AB?AC， 于是有：
1?c?b?5(b2?c2),??5 ?1?c?b?5(b2?c2).(c?b?0)?5?12?22(c?b)?(b?c),④??5 ?1?(c?b)2?(b2?c2).⑤?5?从而
不等式④恒成立；由不等式⑤得： ?b??b?4???10???4?0， ?c??c?2解之得：
1b??2． 2c由于c?b?0，结合不等式⑤的解，得： 1b??1． 2c1b??1时，△ABC存在． 2c17.1.42★★△ABC中，点D、E、F分别在BC、CA、AB上，求证：
所以，当
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1min(S△AFE,S△BFD,S△CED)≤S△ABC，
4并求等号成立的条件．
SSSAF?AEBF?BDCD?CEAF?BFBD?CDCE?EA?????解析如图，△AFE?△BFD?△DCE?．
S△ABCS△ABCS△ABCAB?ACAB?BCBC?CAAB2BC2AC2AFEBDC
易知
AF?BFAF?BF1BD?CDCE?EA1?≤，仅当F为AB中点时取等号，同理，≤，22AB(AF?BF)4BC2AC24于是记min(S△AFE,S△BFD,S△CED)?S，则
S33S△ABC≤S△AFES△BFDS△DCE1??≤． S△ABCS△ABCS△ABC641所以S≤S△ABC，取等号时仅当D、E、F为各边中点．
417.1.43★★★已知：锐角△ABC中，角平分线AD、中线BM、高CH交于一点P，证明：?BAC?45?． 解析如图，若?BAC≤45?，则由于?ACB?90?，得?ABC?45?，故AC?BC，AH?BH．
ANHPBDCQM
作边AB上的中线CN，交BM于Q，易知N在AH内，于是
AHHPNQ1???，故在直ACCPQC2角三角形AHC中，?BAC?60?，矛盾，于是?BAC?45?．
17.1.44★★★证明托勒密定理和托勒密不等式：对于凸四边形ABCD，AB?CD?AD?BC≥AC?BD，等号成立仅当A、B、C、D共圆．
解析如图，今在AB或延长线上取一点M，在AD或延长线上取一点N，使
MC、NC、MN． AB?AM?A2C?AD?，连结ANACAC易知△ABC∽△ACM，故MC?BC?，同理，NC?CD?，又△ABD∽△ANM，
ABAD故
AMBDAC2． MN?BD???ADADAB由于MN≤CM?CN，上几式代入，得
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BDAC2ACAC， ?≤BC??CD?ADABABAD去分母，即得托勒密不等式．等式成立的条件是M、C、N共线，此时 ?ABC??ADC??ACM??ACN?180?， 即A、B、C、D共圆．
ABMCDN
17.1.45★★★边长为1的正方形内部或边界上有n个点，则必有两点距离≤6?2(n?3)，1(n?4)．
解析如图(a)，先说明一个结果：△ABC中AD为角平分线，AA?是AD的反向延长，则由?A?AB??A?AC?90?，得A?B?AB，A?C?AC．
A'ABD(a)C
先考虑n?3的情形，假定P、Q、R三点在正方形ABCD（边长1）内或边上．若P在内，则可用?QPR角平分线反向延长，交到正方形某边或顶点为P?，这样△P?QR的每边都不小于△PQR的相应边．于是P、Q、R三点最终都被“调”到正方形ABCD的边或顶点上．再通过平移，必能使某点落在正方形的顶点上，其余点若在正方形内，再按上述办法继续调，最终三个顶点都落在正方形边界上，且其中至少有一个点的正方形的顶点．
不妨设P落在A的位置，若Q在AD或AB上，则PQ≤1?6?2，于是由对称性，可设Q在CD上，而R在BC上．如图(b)．若AQ?6?2，则
ADQBR(b)C
DQ?AQ2?AD2?(6?2)2?1?2?3，
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