(3)由正入射变为斜入射时，因正入射时asin??k?；斜入射时，a(sin??sin?)?k??，保持a，?不变，则应有k??k或k??k．即原来的k级条纹现为k?级．
13-7 单缝衍射暗条纹条件与双缝干涉明条纹的条件在形式上类似，两者是否矛盾?怎样 说明?
答：不矛盾．单缝衍射暗纹条件为asin??k??2k?，是用半波带法分析(子波叠加问2题)．相邻两半波带上对应点向?方向发出的光波在屏上会聚点一一相消，而半波带为偶数，故形成暗纹；而双缝干涉明纹条件为dsin??k?，描述的是两路相干波叠加问题，其波程差为波长的整数倍，相干加强为明纹．
13-8 光栅衍射与单缝衍射有何区别?为何光栅衍射的明条纹特别明亮而暗区很宽?
答：光栅衍射是多光束干涉和单缝衍射的总效果．其明条纹主要取决于多光束干涉．光强与缝数N2成正比，所以明纹很亮；又因为在相邻明纹间有(N?1)个暗纹，而一般很大，故实际上在两相邻明纹间形成一片黑暗背景．
13-9 试指出当衍射光栅的光栅常数为下述三种情况时，哪些级次的衍射明条纹缺级?(1) a+b=2a;(2)a+b=3a;(3)a+b=4a.
解：由光栅明纹条件和单缝衍射暗纹条件同时满足时，出现缺级．即
?(a?b)sin???k?(k?0,1,2,?) ???(k?1,2?)?asin???k?a?bk?时明纹缺级． a(1)a?b?2a时，k?2,4,6,???偶数级缺级； (2)a?b?3a时，k?3,6,9,???级次缺级； (3)a?b?4a，k?4,8,12,???级次缺级．
可知，当k?13-10 若以白光垂直入射光栅，不同波长的光将会有不同的衍射角．问(1)零级明条纹能 否分开不同波长的光?(2)在可见光中哪种颜色的光衍射角最大?不同波长的光分开程度与什 么因素有关? 解：(1)零级明纹不会分开不同波长的光．因为各种波长的光在零级明纹处均各自相干加强． (2)可见光中红光的衍射角最大，因为由(a?b)sin??k?，对同一k值，衍射角???． 13-11 一单色平行光垂直照射一单缝，若其第三级明条纹位置正好与6000A的单色平行光的第二级明条纹位置重合，求前一种单色光的波长． 解：单缝衍射的明纹公式为
οasin??(2k?1)o? 2当??6000A时，k?2 ???x时，k?3 重合时?角相同，所以有
asin??(2?2?1)?6000?(2?3?1)x 22o5得 ?x??6000?4286A
713-12 单缝宽0.10mm，透镜焦距为50cm，用??5000A的绿光垂直照射单缝．求：(1)位于透镜焦平面处的屏幕上中央明条纹的宽度和半角宽度各为多少?(2)若把此装置浸入水中(n=1.33)，中央明条纹的半角宽度又为多少? 解：中央明纹的宽度为?x?2o?naf
?1半角宽度为??sin? na5000?10?10?3?x?2?0.5??5.0?10m ?30.10?10?10?15000?10??sin?5.0?10?3 rad ?30.10?10
(1)空气中，n?1，所以
(2)浸入水中，n?1.33，所以有
5000?10?10?3?x?2?0.50??3.76?10 m ?31.33?0.10?105000?10?10?1??sin?3.76?10?3 rad ?31.33?0.1?1013-13 用橙黄色的平行光垂直照射一宽为a=0.60mm的单缝，缝后凸透镜的焦距f=40.0cm，观察屏幕上形成的衍射条纹．若屏上离中央明条纹中心1.40mm处的P点为一明条纹；求：(1)入射光的波长；(2)P点处条纹的级数；(3)从P点看，对该光波而言，狭缝处的波面可分成几个半波带?
解：(1)由于P点是明纹，故有asin??(2k?1)?2，k?1,2,3???
x1.4??3.5?10?3?tan??sin? f4002asin?2?0.6??3.5?10?3 故??2k?12k?11??4.2?10?3mm 2k?1由
当 k?3，得?3?6000A
ook?4，得?4?4700A
(2)若?3?6000A，则P点是第3级明纹； 若?4?4700A，则P点是第4级明纹． (3)由asin??(2k?1)oo?2可知，
当k?3时，单缝处的波面可分成2k?1?7个半波带； 当k?4时，单缝处的波面可分成2k?1?9个半波带．
13-14 用??5900A的钠黄光垂直入射到每毫米有500条刻痕的光栅上，问最多能看到第几级明条纹?
o1?3?4解：a?b?mm?2.0?10 mm?2.0?10A
500o由(a?b)sin??k?知，最多见到的条纹级数kmax对应的??所以有kmax??2,
a?b?2.0?104??3.39，即实际见到的最高级次为kmax?3.
5900o13-15 波长为5000A的平行单色光垂直照射到每毫米有200条刻痕的光栅上，光栅后的透镜焦距为60cm． 求：(1)屏幕上中央明条纹与第一级明条纹的间距；(2)当光线与光栅法
线成
30°斜入射时，中央明条纹的位移为多少? 解：a?b?1?5.0?10?3 mm5.0?10?6m 200(1)由光栅衍射明纹公式
(a?b)sin??k?，因k?1,又sin??tan??所以有(a?b)x fx1?? f5000?10?10?60?10?2?即 x1? ?6a?b5.0?10?6.0?10?2m?6 cm
(2)对应中央明纹，有k?0
正入射时，(a?b)sin??0，所以sin????0
斜入射时，(a?b)(sin??sin?)?0，即sin??sin??0
x1?? 因??30?，∴sin??tan??f211?2?2故x?f??60?10?30?10m?30 cm
22?f这就是中央明条纹的位移值．
13-16 波长??6000A的单色光垂直入射到一光栅上，第二、第三级明条纹分别出现在
?sin??0.20与sin??0.30处，第四级缺级．求：(1)光栅常数；(2)光栅上狭缝的宽度；(3)在90°＞?＞-90°范围内，实际呈现的全部级数． 解：(1)由(a?b)sin??k?式
对应于sin?1?0.20与sin?2?0.30处满足：
o0.20(a?b)?2?6000?10?10 0.30(a?b)?3?6000?10?10
?6得 a?b?6.0?10m
(2)因第四级缺级，故此须同时满足
(a?b)sin??k? asin??k?? a?bk??1.5?10?6k? 解得 a?4?6取k??1，得光栅狭缝的最小宽度为1.5?10m (3)由(a?b)sin??k?
(a?b)sin?k?
?当???2，对应k?kmax
6.0?10?6??10 ∴ kmax??6000?10?10??因?4，?8缺级，所以在?90???90范围内实际呈现的全部级数为
k?0,?1,?2,?3,?5,?6,?7,?9共15条明条纹(k??10在k??90?处看不到)．
a?b13-17 一双缝，两缝间距为0.1mm，每缝宽为0.02mm，用波长为4800A的平行单色光垂直入射双缝，双缝后放一焦距为50cm的透镜．试求：(1)透镜焦平面上单缝衍射中央明条纹的宽度；(2)单缝衍射的中央明条纹包迹内有多少条双缝衍射明条纹? 解：(1)中央明纹宽度为
o4800?10?7?50?10l0?2f?2?mm ?2.4cm
a0.02?(2)由缺级条件
asin??k??
(a?b)sin??k?
知
k?k?即k?5,10,15,???缺级．
a?b0.1?k??5k? k??1,2,??? a0.02中央明纹的边缘对应k??1，所以单缝衍射的中央明纹包迹内有k?0,?1,?2,?3,?4共9条
双缝衍射明条纹．
13-18 在夫琅禾费圆孔衍射中，设圆孔半径为0.10mm，透镜焦距为50cm，所用单色光波长为5000A，求在透镜焦平面处屏幕上呈现的爱里斑半径． 解：由爱里斑的半角宽度
o5000?10?7??1.22?1.22??30.5?10?4
D0.2?∴ 爱里斑半径
od?ftan??f??500?30.5?10?4?1.5mm 2-6
13-19 已知天空中两颗星相对于一望远镜的角距离为4.84×10rad，它们都发出波长为5500A的光，试问望远镜的口径至少要多大，才能分辨出这两颗星? 解：由最小分辨角公式
D?5.5?10?5?13.86cm ∴ D?1.22?1.22??6?4.84?1013-20 已知入射的X射线束含有从0.95～1.30A范围内的各种波长，晶体的晶格常数为2.75A，当X射线以45°角入射到晶体时，问对哪些波长的X射线能产生强反射?
解：由布喇格公式 2dsin??k? 得??oo??1.22?
2dsin?时满足干涉相长 k?o当k?1时， ??2?2.75?sin45?3.89A
o2?2.75?sin45?k?2时，???1.91A
2o3.89k?3时，???1.30A
3o3.89k?4时， ???0.97A
4故只有?3?1.30A和?4?0.97A的X射线能产生强反射．
oo
习题十四
14-1 自然光是否一定不是单色光?线偏振光是否一定是单色光?
答：自然光不能说一定不是单色光．因为它只强调存在大量的、各个方向的光矢量，并未要求各方向光矢量的频率不一样．线偏振光也不一定是单色光．因为它只要求光的振动方向同一，并未要求各光矢的频率相同．
14-2 用哪些方法可以获得线偏振光?怎样用实验来检验线偏振光、部分偏振光和自然光? 答：略．
14-3 一束光入射到两种透明介质的分界面上时，发现只有透射光而无反射光，试说明这束光是怎样入射的?其偏振状态如何?
答：这束光是以布儒斯特角入射的．其偏振态为平行入射面的线偏振光．
14-4 什么是光轴、主截面和主平面?什么是寻常光线和非常光线?它们的振动方向和各自的主平面有何关系? 答：略．
14-5 在单轴晶体中，e光是否总是以c/ne的速率传播?哪个方向以c/n0的速率传播? 答：e光沿不同方向传播速率不等，并不是以c/n0的速率传播．沿光轴方向以c/n0的速率传播．
14-6是否只有自然光入射晶体时才能产生O光和e光?
答：否．线偏振光不沿光轴入射晶体时，也能产生O光和e光．
14-7投射到起偏器的自然光强度为I0，开始时，起偏器和检偏器的透光轴方向平行．然后使检偏器绕入射光的传播方向转过130°，45°，60°，试分别求出在上述三种情况下，透过检偏器后光的强度是I0的几倍? 解：由马吕斯定律有
I03cos230o?I0 28I1I2?0cos245ο?I0
24I1I3?0cos260ο?I0
28311所以透过检偏器后光的强度分别是I0的,,倍．
848I1?14-8 使自然光通过两个偏振化方向夹角为60°的偏振片时，透射光强为I1，今在这两个偏振片之间再插入一偏振片，它的偏振化方向与前两个偏振片均成30°，问此时透射光I与I1之比为多少?
解：由马吕斯定律
I0Icos260ο?0 28I09I02ο2οI?cos30cos30?
232I9∴ ??2.25
I14I1?14-9 自然光入射到两个重叠的偏振片上．如果透射光强为，(1)透射光最大强度的三分之一，(2)入射光强的三分之一，则这两个偏振片透光轴方向间的夹角为多少? 解：（1） I1?I01cos2?1?Imax 23