qA2q,?1?A3S 3S 得
2qC???1S??qA??2?10?7C 3而
qB???2S??1?10?7C?2?
UA?EACdAC?(2)
?1dAC?2.3?103?0V
8-23 两个半径分别为R1和R2（R1＜R2)的同心薄金属球壳，现给内球壳带电+q，试计
算：?
(1)外球壳上的电荷分布及电势大小；?
(2)先把外球壳接地，然后断开接地线重新绝缘，此时外球壳的电荷分布及电势；? *(3)再使内球壳接地，此时内球壳上的电荷以及外球壳上的电势的改变量．?
解: (1)内球带电?q；球壳内表面带电则为?q,外表面带电为?q，且均匀分布，其电势
题8-23图
U???R2???E?dr??(2)外壳接地时，外表面电荷?q入地，外表面不带电，内表面电荷仍为?q．所以球壳电势由内球?q与内表面?q产生：
qdrq?R24π?r24π?0R 04π?0R24π?0R2
(3)设此时内球壳带电量为q?；则外壳内表面带电量为?q?，外壳外表面带电量为?q?q?(电荷守恒)，此时内球壳电势为零，且
U?q?q?0UA?q'4π?0R1?q'4π?0R2??q?q'?04π?0R2
q??得 外球壳上电势
R1qR2
q'4π?0R2??q?q'?R1?R2?q?24π?0R24π?0R2
d?3R处有
UB?q'4π?0R2?8-24 半径为R的金属球离地面很远，并用导线与地相联，在与球心相距为一点电荷+q，试求：金属球上的感应电荷的电量．
解: 如题8-24图所示，设金属球感应电荷为q?，则球接地时电势
UO?0
8-24图
由电势叠加原理有：
得
8-25 有三个大小相同的金属小球，小球1，2带有等量同号电荷，相距甚远，其间的库仑力为0．试求：
(1)用带绝缘柄的不带电小球3先后分别接触1，2后移去，小球1，2之间的库仑力； (2)小球3依次交替接触小球1，2很多次后移去，小球1，2之间的库仑力．?
q'q??0UO?4π?0R4π?03R
qq???3Fq2F0?4π?0r2 解: 由题意知
(1)小球3接触小球1后，小球3和小球1均带电
qq??2,
小球3再与小球2接触后，小球2与小球3均带电
3q???q4
∴ 此时小球1与小球2间相互作用力
32qq'q\38F1???F0228 4π?0r4π?0r2q(2)小球3依次交替接触小球1、2很多次后，每个小球带电量均为3.
22qq4F2?332?F04π?0r9 ∴ 小球1、2间的作用力
*8-26 如题8-26图所示，一平行板电容器两极板面积都是S，相距为d，分别维持电势
UA=U，UB=0不变．现把一块带有电量q的导体薄片平行地放在两极板正中间，片的面
积也是S，片的厚度略去不计．求导体薄片的电势．
?2，解: 依次设A,C,B从上到下的6个表面的面电荷密度分别为?1，?3，?4,?5,?6如图所示．由静电平衡条件，电荷守恒定律及维持UAB?U可得以下6个方程
题8-26图
?0UqA1?
?????CU?20?1
SSd
?
?????q
4
?3S?
?????qB???0U
6
?5Sd?????0
3?2
??4??5?0?
??1??2??3??4??5??6
q?1??6?2S 解得
?Uq?2???3?0?d2S ?Uq?4???5?0?d2S
?UqE2?4???0d2?0S 所以CB间电场
UC?UCB?E2UC?d1qd?(U?)222?0S
UUUC?2，若C片不带电，显然2 注意：因为C片带电，所以
8-27 在半径为R1的金属球之外包有一层外半径为R2的均匀电介质球壳，介质相对介电常
数为?r，金属球带电Q．试求： (1)电介质内、外的场强； (2)电介质层内、外的电势； (3)金属球的电势． 解: 利用有介质时的高斯定理
S???D?dS??q
(1)介质内(R1?r?R2)场强
???Qr?QrD?,E内?34πr4π?0?rr3;
介质外(r?R2)场强
??Qr?QrD?,E外?4πr34π?0r3 U??? (2)介质外(r?R2)电势
rU??
?r?????E内?dr??E外?drrQ4π?0r
介质内(R1?r?R2)电势
??E外?dr??11Q(?)?4π?0?rrR24π?0R2 Q1??1?(?r)4π?0?rrR2
R2q (3)金属球的电势
U??R1R2?????E内?dr??E外?drR2
??QdrR4π??r2R24π?r20r0 Q1??1?(?r)4π?0?rR1R2
???Qdr8-28 如题8-28图所示，在平行板电容器的一半容积内充入相对介电常数为?r的电介质．试
求：在有电介质部分和无电介质部分极板上自由电荷面密度的比值． 分别为?2与?1
??D?dS??q0由?得
??解: 如题8-28图所示，充满电介质部分场强为E2，真空部分场强为E1，自由电荷面密度
D1??1，D2??2
而
D1??0E1,D2??0?rE2
E1?E2?Ud
?2D2???r?D1∴ 1
题8-28图 题8-29图
8-29 两个同轴的圆柱面，长度均为l，半径分别为R1和R2(R2＞R1)，且l>>R2-R1，两柱面之间充有介电常数?的均匀电介质.当两圆柱面分别带等量异号电荷Q和-Q时，求： (1)在半径r处(R1＜r＜R2＝，厚度为dr，长为l的圆柱薄壳中任一点的电场能量密度和整个薄壳中的电场能量； (2)电介质中的总电场能量； (3)圆柱形电容器的电容． 解: 取半径为r的同轴圆柱面(S) 则 当(R1?r?R2)时，
(S)??D??dS?2πrlD
?q?Q
Q2πrl ∴
D2Q2w??2222?8π?rl (1)电场能量密度
D?Q2Q2drdW?wd??2222πrdrl?8π?rl4π?rl 薄壳中
(2)电介质中总电场能量
RQ2drQ2W??dW???ln2VR14π?rl4π?lR1
Q2W?2C (3)电容：∵
R2Q22π?lC??2Wln(R2/R1) ∴
*8-30 金属球壳A和B的中心相距为r，A和B原来都不带电．现在A的中心放一点电荷
q1，在B的中心放一点电荷q2，如题8-30图所示．试求：
(1) q1对q2作用的库仑力，q2有无加速度；
(2)去掉金属壳B，求q1作用在q2上的库仑力，此时q2有无加速度． 解: (1)q1作用在q2的库仑力仍满足库仑定律，即
F?1q1q24π?0r2
F?1q1q24π?0r2，但此时q2受合力不为零，
但q2处于金属球壳中心，它受合力为零，没有加速度．
q1作用在q2上的库仑力仍是(2)去掉金属壳B，
有加速度．
题8-30图 题8-31图
8-31 如题8-31图所示，C1=0.25?F，C2=0.15?F，C3=0.20?F ．C1上电压为50V．求：
UAB．
解: 电容C1上电量
Q1?C1U1
电容C2与其上电荷
C3并联C23?C2?C3
Q23?Q1
U2?∴
Q23C1U125?50??C23C2335