2逆变器数学模型分析 2.1引言
逆变器是实现将直流电变换为交流电的一种电力变换装置，根据其直流电源的结构，逆变电源大概分为电压源型逆变器以及电流源型逆变器两大类。如果根据逆变器输出电压的特性来分，则可以分为恒压恒频逆变器和变压变频逆变器。本文的研究内容都是以恒频恒压的电压型逆变器作为研究对象而展开的。
逆变装置的控制是通过对开关管的开通、关断来实现的，所以就整个时间段来看，逆变器是一个非线性的系统，但是在开关管保持开通或者关断的时间段中，逆变器却是个线性系统。基于这点，状态空间平均法[15-16,22]成为逆变器理论研究和工程应用最广泛的研究方法之一。本章首先通过状态空间平均法建立了控制对象不同坐标系下的数学模型，为后面控制策略的研究建立理论基础，同时对旋转坐标系下dq轴之间的耦合进行了分析。 2.2三相电压源型逆变器的常用拓扑及其数学模型 2.2.1三相电压源型逆变器常用电路拓扑
图2.1是三相组合式逆变器的电路拓扑图，可以看出它是由三个互相独立的单相逆变单元组合而成，其优点是它们相互独立，在控制方式的选择上更加灵活，可以采用三相统一控制，也可以采用三个单相独立控制，当三相独立控制时，带不平衡负载的能力较三相全桥型逆变器有明显的优势。缺点是采用的开关管数目比较多，成本较高，体积较大，可靠性降低、功率密度下降。图2.2是三相全桥逆变器的电路拓扑图，其优点是开关管的数目减少了一半，
可以降低成本，缩小体积，提高功率密度，缺点是带不平衡负载的能力较差。
图2.1组合式三相电压源型逆变器主电路拓扑
图2.2三相桥式电压源型逆变器主电路拓扑
由以上对逆变器两种拓扑结构的优缺点分析可知，在工程项目中应根据项目的设计需求来选择比较合适的方案，对于大功率场合且对带不平衡负载能力要求高时逆变器的拓扑结构应优先采用三相组合式的拓扑结构；对于体积，成本要求较高而对于带不平衡负载的能力方面要求不高的场合逆变器拓扑结构应该优先采用三相全桥式的拓扑结构。
图2.3三相电压源型逆变器变压器的两种常见位置
在实际应用中，为了实现输入侧与输出侧的电气隔离以及交流侧电压等级较高的情况下往往会在输入和输出侧之间加一个工频变压器，如图2.3所示，变压器放置的常见位置有两种，一种是放在滤波电容前端，另一种是放在滤波电容后端。当变压器放置在滤波器前端时，逆变器工作过程中高频谐波电流将全部经过变压器，谐波电流流过变压器，使得其铁损较大由此导致温升也较大，因此在对变压器进行设计时，会使其体积重量增加以满足温升条件，另外由于控制时是对滤波电容上的电压进行控制，而变压器一般等效为一个电感，这样被控系统的阶数由原来的二阶系统变为三阶系统[18]，控制器的设计难度增加。当变压器放置在滤波器后端时，逆变器工作过程中产生的高频谐波电流大部分会流入电容器中，因此变压器的铁损会减少，在设计变压器时可以将其体积，重量设计的更小，有利于逆变器功率密度的提高。同时变压器可以等效于一个滤波电感，使输出波形的谐波含量进一步降低。在控制方面，
由于控制的是逆变器滤波电容上的电压，控制对象为二阶系统，控制器设计相对简单。但由于变压器漏感的存在，输出电压的幅值会低于指令值，需要提高指令值或者采用输出电压均值外环对电容电压的指令值加以控制，使得输出满足给定条件。 2.2.2三相电压源型逆变器的数学模型
下文以基于状态空间平均法得到三相逆变器在不同坐标系下的数学模型。 (1)在静止abc坐标系下的数学模型
图2.4三相桥式电压源型逆变器电路拓扑
如图2.4所示：Ud为直流电压源，T1~T6为IGBT开关管，r是综合开关管死区效应、线路杂散电阻、电感寄生电阻、开关管通态压降等因素的等效电阻，L为滤波电感，C为滤波电容，、、是三相电感电流，、、是三相电容电压，、、是三相负载电流。 由图2.4可以得到如下方程组：
(2.1) (2.2)
由式(2.1)、(2.2)可以写出其状态空间模型为：
当三相全桥式电路存在中线时，可以看成由三个独立的半桥结构组合而成，三相之间相互独立。当无中线时由++=0可见，电路中是不可能存在零序电流的，输出电容电压中也不会含有零序分量，故++=0。这样以来在上述式中只有4个方程相互独立。如取、、、作为状态变量，则状态空间模型为：
(2.4)
(2.3)
由以上方程可知，当逆变器结构为三相组合式或者三相全桥结构的逆变器存在中线时，可以由三个分别位于abc坐标系下的单相逆变器的控制器进行控制。 (2)静止αβ坐标系下三相逆变器的数学模型
静止abc坐标系下的矩阵方程通过CLARKE变换矩阵可以得到αβ坐标系下的矩阵方程。CLARKE变换矩阵和其逆变换矩阵如下：
(2.5)
对式(2.3)作CLARKE变换可以得到αβ坐标系下的状态空间模型为：
(2.6)
由上式可知，αβ坐标系下α、β轴之间相互独立并不存在耦合关系，只需要对α、β轴分别进行控制即可，控制器的设计也可按照单相逆变器进行设计。其被控对象在S域下的被控框图如图如图2.5所示：
图2.5αβ坐标系下LC型逆变器控制对象框图 (3)dq坐标系下的数学模型
令d-q系统中d轴、q轴分量Xd、Xq的合成矢量与αβ坐标系下的α、β轴的合成矢量相同，dq轴分量与αβ轴分量之间的相互转换可以通过PARK变换及其反变换来实现，PARK变换矩阵和其逆变换矩阵如下：
(2.7)
对式(2.6)作PARK变换，可以得到dq坐标系下的状态空间模型为：
(2.8)
根据状态空间模型可以画出S域下控制对象框图为：
图2.6dq坐标系下LC型逆变器控制对象框图
如图2.6所示旋转坐标系下，dq轴控制量之间存在耦合，在dq轴下对系统进行控制时，就必须研究耦合对系统控制的影响与解耦方法[19]。 2.3三相逆变器dq坐标系下的解耦 2.3.1逆变器解耦的必要性
由上小节对dq坐标系下的状态方程可见，和耦合到了d轴上，同样和分量耦合到了q轴上，只观察d轴，这时可以把和与一样视为扰动分量，则d轴控制系统可以认为是一个四输入单输出的系统。在d、q轴下对逆变器进行控制时需要在d、q轴下分别设置一个控制器对其实现控制，在设计控制器时需要考虑耦合对控制效果带来的不利影响。下面将从两个不同的角度对dq轴的耦合[20-21]进行理论分析，并给出仿真结果作为验证。
图2.7三相电压源型逆变器d轴控制对象框图 由图2.7可知:
(2.9)
其中对的传递函数为
(2.10)
其中对的传递函数为
(2.11)
如图2.8所示实线代表的是与的传递函数的频率特性曲线，虚线代表的是与的传递函数的频率特性曲线，从图像可以得到以下结论：
(1)、对的作用主要存在于中低频段，且耦合作用不是很强。 (2)耦合作用最强发生在谐振频率附近。