特性曲线一致，相频特性曲线在高频处的滞后角度则比对应连续域中的滞后角度大，不利于系统的稳定性。所以从系统的稳定性方面看，应优先选择一阶后向差分法对谐振控制器进行差分。从稳态性能方面看，应选择频率特性曲线与连续域最接近的双线性变换法对谐振控制器进行差分。从稳定性角度出发，下文的控制器均采用一阶后向的差分方法进行差分。 4.4.3改进的复合控制器的稳定条件分析
由图4.12可以得知该复合控制器由三个部分构成，PI控制器、重复控制、二次谐振控制器表达式为GB(z)=GPI(z)+GRep(z)+G2R(z)，输出电压的表达式为：
图4.12加入谐振控制器的复合控制器控制原理图 将重复控制器GRep(z)的表达式代入到上式：
(4.31)
(4.30)
由表达式可以得到系统的特征方程为：
(4.32) (4.33)
由上一章中对重复控制器的稳定条件做过分析，可知要使改复合系统能够稳定运行，必须满足条件：
(4.34)
此时可以令等效控制对象为：
(4.35)
4.4.4设计实例
下面一台工频50kVA三相全桥式的逆变器为例，说明其设计过程。控制框图如图(4.13)所
示：
图4.13某型工频50kVA三相全桥式逆变器控制框图
控制对象的传递函数将其离散化可以得到其离散域的表达式如下：
(4.36)
由前面的小节中对谐振控制的介绍，可知谐振控制器主要影响其谐振频率处的相位和幅值，而对其它频率处的影响不大。所以在设计控制器时，先设计PI控制器。 PI控制器在连续域下的表达式如下：
(4.37)
通过后向差分得到离散域的表达式为：
(4.38)
其中TS为采样周期，具体数值参照参数表。由于系统是在dq轴下进行控制，dq轴下基波分量对应的是直流量，PI控制器可以实现无静差的控制。但控制对象本身具有低阻尼的特性，为了实现系统稳定，PI控制器要削去控制对象的谐振峰，所以要设计好转折频率和比例系数，设计好的PI控制器的表达式和波特图如下所示：
(4.39)
接下来对谐振控制器进行设计，根据前面的小节中对谐振控制器的介绍，主要是要确定这些参数：、、、。其中代表基波频率(以弧度表示)，k次谐波的频率为，是第k次谐波控制器的谐振系数，是第k次谐波控制器的阻尼项，是对第k次谐波的补偿角度。
下面就分别确定一下参数：首先这个谐振控制器的作用是用来提高控制器在带不平衡负载时对输出电压不平衡的抑制能力，而在正序旋转坐标系下负序分量
图4.14控制对象、PI控制器、及其组成的系统的bode图
表现为二次分量，所以谐振控制器的目的是提高二次分量处的增益。所以谐振控制器的谐振频率为基波的二倍频。主要作用是提高谐振频率周围部分的增益，当存在轻微的频率偏移时仍然能够有较高的增益。这里考虑到项目组的逆变器投入的具体环境并不需要考虑到频率偏移，；最后要考虑的是补偿的相位和根据稳定条件确定谐振系数的大小。
接下来首先确定补偿的相位角度，根据相关文献，补偿的角度应该为采用数字控制所产生的相位滞后与控制对象在对应频率处的相位之和。
由于采用数字控制，而计算过程需要占用一定的时间，所以数字控制通常采用滞后一拍，即采样值通过计算后得到的相关控制量在下一拍输出，这样就会产生一个纯滞后的环节，此时控制对象变为：
(4.40)
则控制量经过控制对象后输出所产生的相位滞后由两个部分组成，一个部分由于滞后一拍所产生的纯滞后环节引起，一部分则是由于逆变器的LC滤波器所引起的。首先计算纯滞后环节引起的角度滞后，可知角度滞后的度数为：
(4.41)
LC滤波器产生的相位滞后可以由其伯特图看出，可以看到三次谐波处的角度滞后为，综上可知补偿角度为。
图4.15LC滤波器bode图
确定好补偿的角度后，就要确定谐振系数，当谐振系数过大时可能会导致系统的不稳定，可以通过画出根轨迹图来确定谐振系数的大小。单独PI和二次R控制器时的开环传递函数为：
(4.42)
图4.16谐振系数的根轨迹图
可以求出其闭环传递函数的特征方程为：
(4.43)
可以得到二次谐振控制器增益为参数的等效开环传递函数为
(4.44)
可以画出其根轨迹图如图4.16所示，由根轨迹图可以得到使系统稳定的k3的范围是[00.407],综合考虑取k3=0.3。
最后确定重复控制器的相关参数，根据上一章中对重复控制器设计方法的介绍，可以得到一组重复控制器的设计参数如下：
将相关参数代入到稳定性条件(4.55)中，可以得到：
(4.45)
其伯特图如下所示：
图4.17的bode图
由bode图可以看出，函数的增益都在0dB以下，满足系统稳定的条件。
下面将加入二次谐振控制器与未加二次谐振控制器的系统开环传递函数的伯特图进行对比，由图4.18-4.19可以看到，加入谐振控制器后系统在二次频率处的增益提升明显，而其他频率处变化不大，所以加入谐振控制器的系统比未加谐振控制器的系统有着更好的抑制输出电压不平衡的能力。
图4.18PI与重复控制的复合控制器bode图
图4.19加入谐振控制器的三重复合控制器bode图 4.5仿真与实验结果 4.5.1仿真结果
根据本章的分析，加入谐振控制器的系统比原来单独用PI加重复控制器具有更好的抑制负载不平衡导致的输出电压不平衡的能力，用Matlab搭建逆变器仿真模型通过对稳态、动态和不平衡负载时波形的对比，验证分析结果的正确性。 1.平衡负载仿真结果
分别让逆变器模型带空载、半载和满载和不平衡负载并对其稳态输出电压波形和频谱进行对比分析。图4.22和4.23包括两个部分，左侧为稳态波形图，右侧为THD最大相的频谱分析。表4-2中的数据为三相输出电压稳态误差和THD最大值。
未加谐振控制器的稳态效果
图4.20PI加重复复合控制器的稳态输出波形图及其波形分析
表4-1未加谐振控制器时的稳态仿真结果 未加入谐振控制器 空载 半载 满载
加入谐振控制器的稳态效果
输出电压稳态误差
输出电压THD
-0.12% 0.42% -0.1% -0.1%
0.36% 0.40%