专题五 二次函数综合压轴题(不含解析类)
1.（2018 江苏南通，第 27 题, 12 分）
已知，正方形 ABCD，A(0，﹣4)，B(1，﹣4)，C(1，﹣5)，D(0，﹣5)，抛物线 y＝x2＋mx﹣ 2m﹣4(m 为常数)，顶点为 M． （1）抛物线经过定点坐标是 ，顶点 M 的坐标（用 m 的代数式表示）是 ；
（2）若抛物线 y＝x2＋mx﹣2m﹣4(m 为常数)与正方形 ABCD 的边有交点，求 m 的取值范围； （3）若∠ABM＝45°时，求 m 的值． 【解析】
m1
? （1）(2，0)，( ， ? m2 ? 2m ? 4 )； 2 4
1
（2） ? m ? 1 ；
2
（3） m ? 21 ? 5 或 29 ? 5 ．
2.（2018 江苏泰州，第 26 题, 14 分）
平面直角坐标系 xOy 中，横坐标为 a 的点 A 在反比例函数 y1 ? (x＞0)的图象，点 A′与点
k
x
A 关于点 O 对称，一次函数 y2 ? mx ? n 的图象经过点 A′．
（1）设 a＝2，点 B(4，2)在函数 y1 ， y2 的图像上．①分别求函数 y1 ， y2 的表达式；②直 接写出使 y1 ＞ y2 ＞0 成立的 x 的范围；
（2）如图①，设函数 y1 ， y2 的图像相交于点 B，点 B 的横坐标为 3a，△AA′B 的面积为 16，求 k 的值；
（3）设 m＝ ，如图②，过点 A 作 AD⊥x 轴，与函数 y 的图像相交于点 D，以 AD 为一 边向右侧作正方形 ADEF，试说明函数 y2 的图像与线段 EF 的交点 P 一定在函数 y1 的图像 上．
1 2 2
1
【解析】
（1）① y1 ? ， y2 ? x ? 2 ，②0＜x＜4；
8 x
（2）k 的值为 6；
a k 2 （3）设 A( a ， )，则 A′(﹣ a ，﹣ )，代入 y 得 n ? ? ，
k k
1 a k
∴ y2 ? x+ ? ，
2 2 a k
∴D( a ， a ? )
a 2k
∴AD＝ ? a ，
a
a 2k a 2k 2k
∴ xP ? a ??? a ??，代入 y2 得 yP ? ，即 P( ， ) a
a k a 2 a 2
将点 P 横坐标代入 y1 ? 得纵坐标为 ，可见点 P 一定在函数 y1 的图像上．
x 2
3. （2018 江苏无锡，第 28 题, ）
已知；如图，一次函数 y ? kx ?1的图象经过点 A（ 3
（m>0）,与 y 轴交于点 B，点 5 ，m）
a a 2 a
C，在线段 AB 上，且 BC=2AC，过点 C 作 x 轴的垂线，垂足为点 D，若 AC=CD，
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）已知一开口向下，以直线 CD 为对称轴的抛物线经过点 A，它的顶点为 P，若过点 P
且垂直于 AP 的直线与 x 轴 的交点为 Q（ ? 4 5 5
，0）求这条抛物线的函数表达式。
2
y A C x O B D 【解答】作 BE⊥CD，AF⊥BE，AM⊥CD 易证△BEC∽△BFA
∴ BC BA
??
BE BF
∵BC=2AC，A（ 2 5 ，m）
BE 2 ? 3 5 3
∴BE=2 5
C（2 5 ，2 5 k-1）
又∵ y ? kx ?1
2 易得 AC= 5 k ?1
2 ∵AC=CD，∴ 5 k ?1 =2 5 k-1
所以得到 k=
2 5
5
（3）设 y ? a(x ? 2 5 )2 ? h A（ 3 5 ，5）
h×（h-5）=（ 2 5 ?
h =7
4 5 ）×
5
5
y ? a(x ? 2 5 )2 ? 7
3
5a+7=5
2 2
a= ? 即 y ? ??(x ? 2 5 )2 ? 7
5 5
-1
4. （2018 江苏徐州 ，第 27 题,）
已知二次函数的图象以 A（－1，4）为顶点，且过点 B（2，－5） ①求该函数的关系式；
②求该函数图象与坐标轴的交点坐标；
③将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B 两点随图象移至 A′、B′， 求△O A′B′的面积. [解析]
解：（1） y ? ?x? 2x ? 3
2
（2） （0,3），（－3,0），（1,0） （3）略
y 5. （2018 江西 ，第 23 题） 小贤与小杰在探究某类二次函数问 题时，经历了如下过程： 求解体验
(1) 已知抛物线 经过点 (-1,0),则 = ， (2) 顶点坐标为 ， 该抛物线关于点(0,1）成中心 O 对称的抛物线的表达式是
. 抽象感悟
备用图
我们定义：对于抛物线 ,以 轴上的点 为中心，作该抛物线关
x
4
于点 对称的抛物线 ′ ,则我们又称抛物线 ′为抛物线 的“衍生抛物线”，点 为“衍生 中心”.
(2)已知抛物线 关于点 的衍生抛物线为 ′，若这两条抛物线有交点， 求 的取值范围. 问题解决
(3) 已知抛物线 ①若抛物线 的衍生抛物线为 ′
,两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求 ， 的值及衍生中心的坐标； ②若抛物线 关于点 的衍生抛物线为 ,其顶点为 ；关于点 的衍生抛 物线
为 ，其顶点为 ；…；关于点 的衍生抛物线为 ，其顶点为 ；…( 为 正整数).求 的长(用含 的式子表示). 【解析】
求解体验
(1)把(-1,0)代入 得
∴ －
y
∴顶点坐标是(-2,1)
∵(-2,1)关于(0,1)的对称点是(2,1) ∴成中心对称的抛物线表达式是： 即
(如右图)
★
★
抽象感悟
(2) ∵ ∴ 顶点是（-1,6）
∵ (-1,6)关于 的对称点是
∴ ′
1
xO
y
∵ 两抛物线有交点
∴ 有解 ∴ 有解 ∴ ∴ (如右图) ★★★ 问题解决
(3) ① ∵ =
∴ 顶点（-1， ）
代入 ′ 得：
∵
′
O
x
y
①
9 6 3
∴ 顶点（1， ）
5
O
x