12.（2018 浙江杭州，第 22 题，12 分）
设二次函数 y=ax2+bx﹣（a+b）（a，b 是常数，a≠0）． （1）判断该二次函数图象与 x 轴的交点的个数，说明理由．
（2）若该二次函数图象经过 A（﹣1，4），B（0，﹣1），C（1，1）三个点中的其中两个点， 求该二次函数的表达式．
（3）若 a+b＜0，点 P（2，m）（m＞0）在该二次函数图象上，求证：a＞0． 【解答】解：（1） 由题意△=b2﹣4?a[﹣（a+b）]=b2+4ab+4a2=（2a+b）
2
≥0
∴二次函数图象与 x 轴的交点的个数有两个或一个 （2）当 x=1 时，y=a+b﹣（a+b）=0 ∴抛物线不经过点 C
把点 A（﹣1，4），B（0，﹣1）分别代入得
解得
∴抛物线解析式为 y=3x2﹣2x﹣1
（3）当 x=2 时 m=4a+2b﹣（a+b）=3a+b＞0① ∵a+b＜0 ∴﹣a﹣b＞0②
15
①②相加得： 2a＞0 ∴a＞0
13.（2018 浙江嘉兴，第 23 题，12 分）
（1）?点 M 坐棕是 (b,4b ?1) ,
?把 x ? b 代入 y ? 4x ?1,得 y ? 4b ?1,
?点 M 在直线 y ? 4x ?1上.
（2）如图 1, ?直线 y ? mx ? 5 与 y 轴交于点内 B ,?点 B 坐杯为 (0,5) . 又
? B (0,5) 在抛物线上,
? 5 ? ?(0 ? b)2 ? 4b ?1,解得 b ? 2 ,
?二次函数的表达式为 y ? ?(x ? 2)2 ? 9 ,
?当 y ? 0 时,得 x1 ? 5, x2 ? ?1.? A(5,0) 双察图象可得,当 mx ? 5 ? ?(x ? b)2 ? 4b ?1时, x 的取值范围为 x ? 0 或 x ? 5
（3）如图 2, ?直线 y ? 4x ?1与直线 AB 交于点 E ,与 y 轴交于点 F , 而直线 AB 表达式为 y ? ?x ? 5 ,
? 4 解方程组 ?4x ? 1?? 得 ?? y ? ?x ? 5 ? ?
y ? 5 ?点 E( 4 , 21), F (0,1) ?5 5 ?? y ? 21
5
点 M 在 ?AOB 内,?0 ? b ? 4
.
5
当点 C, D 关于抛物线对称轴（直线 x ? b ）对称时,
b ? 1 ? 3 ? b,?b ? 1
4 4 2
且二次函数图象的开口向下,顶点 M 在直线 y ? 4x ?1上,
16
综上:①当一?0 ? b ??
1 2
时. y1 ? y2
②当 b ??
1 2
时， y1 ? y2 ;
③当 ? b ??
1 2
4 5
时， y1 ? y2
14. （2018 浙江杭州，第 23 题，12 分）
巳知,点 M 为二次函数 y ? ?(x ? b)? 4b ?1图象的顶点,直线 y ? mx ? 5 分别交 x
2
轴, y 轴于点 A, B
（1）判断顶点 M 是否在直线 y ? 4x ?1上,并说明理由.
（2）如图 1.若二次函数图象也经过点 A, B .且 mx ? 5 ? ?(x ? b)? 4b ?1.根据图象, 写
2
出 x 的取值范围.
（3）如图 2.点 A 坐标为 (5,0) ,点 M 在 ?A0B 内,若点 C(, y ) , D( , y ) 都在二次函数图象
1 3
4 上，试比较 y1 与 y2 的大小.
1 4
2
【解答】解：（1）点 M 为二次函数 y=﹣（x﹣b）2+4b+1 图象的顶点， ∴M 的坐标是（b，4b+1）， 把 x=b 代入 y=4x+1，得 y=4b+1， ∴点 M 在直线 y=4x+1 上；
17
（2）如图 1
直线 y=mx+5 交 y 轴于点 B，
∴B 点坐标为（0，5）又 B 在抛物线上， ∴5=﹣（0﹣b）2+4b+1=5，解得 b=2， 二次函数的解析是为 y=﹣（x﹣2）2+9，
当 y=0 时，﹣（x﹣2）2+9=0，解得 x1=5，x2=﹣1， ∴A（5，0）． 由图象，得
当 mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1 时，x 的取值范围是 x＜0 或 x＞5； （3）如图 2，
∵直线 y=4x+1 与直线 AB 交于点 E，与 y 轴交于 F， A（5，0），B（0，5）得 直线 AB 的解析式为 y=﹣x+5， 联立 EF，AB 得 方程组
，
，
解得
，
∴点 ，1）．
），F（0，
点 M 在△AOB 内，
1＜4b+1＜
∴0＜b＜．
当点 C，D 关于抛物线的对称轴对称时，b﹣ = ﹣b，∴b= ，
18
且二次函数图象开口向下，顶点 M 在直线 y=4x+1 上， 综上：①当 时，y1＞y2， ②当 时，y1=y2， ③当＜b＜时，y1＜y2．
15. （2018 浙江宁波，第 22 题，10 分） 已知抛物线 x2+bx+c ）． （1）求该抛物线的函数表达式；
（2）将抛物线 x2+bx+c 平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平 移后的函数表达式．
【解答】解：（1）把（1，0），（0，）代入抛物线解析式得： 解得：
，
，
则抛物线解析式为 x2﹣x+；
（2）抛物线解析式为 x2﹣x+=﹣（x+1）2+2， 将抛物线向右平移一个单位，向下平移 2 个单位，解析式变为 x2． 16.（2018 浙江舟山，第 23 题，10 分）
已知，点 M 为二次函数 y=﹣（x﹣b）2+4b+1 图象的顶点，直线 y=mx+5 分别交 x 轴正半轴， y 轴于点 A，B．
（1）判断顶点 M 是否在直线 y=4x+1 上，并说明理由．
（2）如图 1，若二次函数图象也经过点 A，B，且 mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1，根据图象， 写出 x 的取值范围．
（3）如图 2，点 A 坐标为（5，0），点 M 在△AOB 内，若点 ，y1），D（，y2）都 在二次函数图象上，试比较 y1 与 y2 的大小．
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