极坐标与参数方程
环节1 明晰高考要求
高考对极坐标与参数方程考查主要突出其工具性的作用，突出极坐标以及参数方程的几何用法，考查学生能根据实际问题的几何背景选择恰当的方法解决问题的能力，命题考查形式以极坐标与直角坐标的互化，参数方程的消参以及极坐标的几何意义与参数方程的参数的几何意义的综合应用。 主要考查四类题型：
① 极坐标系中，极坐标的几何意义的应用
真题示例
题1 (2017年全国Ⅱ)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐
标方程为?cos??4.
(1) M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足OM?OP?16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程； (2) 设点A的极坐标为?2,?????,点B在曲线C2上,求?OAB面积的最大值. 3?2【解析】(1)设M??0,?0?,P??,??,则OM??0,OP??,依题意??0?16,?0cos?0?4,???0,
2解得??4cos?,化为直角坐标系方程为?x?2??y?4?x?0?.
222常规方法:曲线C1:x?4,设P?x,y?,M?4,t?,则tx?4y且x?y?t?16?16, 2将x2?y2?4x(x?0),即点P的轨迹C2的直角坐标方程为?x?2??y?4?x?0?.
2(2)连接AC2,易知?AOC2为正三角形,OA为定值. 所以当边AO上的高最大时,S△AOB面积最大,
如图,过圆心C2作AO垂线,交AO于H点,交圆C于B点,此时S△AOB最大
Smax?11AO?HB?AO?HC?BC??3?2 22AHOC2 别解:设B??,??(??0),由题意知OA?2,??4cos?,
1??? 所以?OAB的面积S?OA??sin?AOB?4cos??sin????
23?? ?2sin?2??xB?????3?????2?3,当时,S取得最大值2?3, ?123?2所以?OAB面积的最大值为2?3.
题2 (2015年课标Ⅱ文理)选修4?4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,曲线C1:??x?tcos?,(t是参数,t?0),其中0????,在以O为极点,x轴正半轴为
?y?tsin?极轴的极坐标系中,曲线C2:??2sin?,C3:??23cos?. (Ⅰ) 求C2与C3的交点的直角坐标；
(Ⅱ) 若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求AB的最大值.
【解析】(Ⅰ)曲线C2的直角坐标方程为x?y?2y?0,曲线C3的直角坐标方程为x2?y2?23x?0.
22?22x???x?0???x?y?2y?0 联立?,解得?或?22??y?0?y??x?y?23x?0??所以C2与C3的交点的直角坐标为?0,0?和?32, 32?33??2,2??. ?? (Ⅱ)曲线C1的极坐标方程为???(??R,??0),其中0????. 因为A的极坐标为?2sin?,??,B的极坐标为23cos?,?, 所以AB?2sin??23cos??4sin?????????3??,当??5?时,AB取得最大值,且最大值为4. 6② 直角坐标系中，曲线参数方程的直接应用
真题示例
?x?3cos?,题1 (2017年全国Ⅰ)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为?(?为参数),直线l的参数方程为
?y?sin?,?x?a?4t, ?y?1?t,?(t为参数).
(1) 若a??1,求C与l的交点坐标；
(2) 若C上的点到l的距离的最大值为17,求a.
x2?y2?1, 【解析】(1)a??1时,直线l的方程为x?4y?3?0,曲线C的标准方程是921?x???x?4y?3?0?x?3???2?2124?25Cl联立方程?x,解得或,则与交点坐标是和3,0??????,?. 224y?0?2525???y???y?1?9?25?(2)直线l一般式方程是x?4y?4?a?0,设曲线C上点P?3cos?,sin??, 则P到l距离d?3cos??4sin??4?a17?5sin???????a?4?17,其中tan??3. 4当a?4?0即a??4时,dmax?当a?4?0即a??4时,dmax综上,a??16或a?8.
a?9?17,即a?9?17,解得a?8. 17?a?1??17,解得a??16.
17?x??8?t?题2 (2017年江苏)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参考方程为?(t为参数),曲线C的参数方程ty???22??x?2s为?(s为参数).设P为曲线C上的动点,求点P到直线l的距离的最小值. ??y?22s【解析】直线l的普通方程为x?2y?8?0,因为P在曲线C上,设P2s,22s,
?2? 故点P到直线l的距离d?2s?42s?812???2?22?2s?25??2?4,当s?2时,dmin?45. 545, 5 因此当P的坐标为?4,4?时,曲线C上的点P到直线l的距离取得最小值③ 直角坐标系中，直线参数方程的参数t几何意义的应用
真题示例
?x?2cosθ，xOyC中，曲线的参数方程为?（θ为参数），直线l的参数题1 【2018全国二卷22】在直角坐标系
y?4sinθ?方程为
?x?1?tcosα，（t为参数）． ?y?2?tsinα?（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．
x2y2??1． （1）曲线C的直角坐标方程为
416当cos??0时，l的直角坐标方程为y?tan??x?2?tan?， 当cos??0时，l的直角坐标方程为x?1．
（2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程
(1?3cos2?)t2?4(2cos??sin?)t?8?0．①
因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1?t2?0．
又由①得t1?t2??4(2cos??sin?)，故2cos??sin??0， 21?3cos?于是直线l的斜率k?tan???2
题2【2018全国三卷22】在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为?倾斜角为?的直线l与⊙O交于A，B两点．
（1）求?的取值范围；
（2）求AB中点P的轨迹的参数方程． （1）O的直角坐标方程为x2?y2?1．
当???x?cos?，（?为参数），过点0，?2且
?y?sin????时，l与O交于两点． 2当???2|?1，l与O交于两点当且仅当|时，记tan??k，则l的方程为y?kx?2．解得k??1221?k??42???)． 24或k?1，即??(,)或??(,综上，?的取值范围是(,???)． 44?????x?tcos?,(t为参数，???)． （2）l的参数方程为?44??y??2?tsin?设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP?tA?tB，且tA，tB满足t2?22tsin??1?0． 2??x?tPcos?,(x,y)于是tA?tB?22sin?，tP?2sin?．又点P的坐标满足?
y??2?tsin?.??P?2sin2?,?x??2?????y??2?2cos2?????(?为参数，4224)． 所以点P的轨迹的参数方程是?④ 通过互化或消参呈现几何背景，利用相关的几何法解决
真题示例
题5 【2018全国一卷22】在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y?k|x|?2.以坐标原点为极点，x轴正
2??2?cos??3?0. 半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为
（1）求C2的直角坐标方程；
（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程.
（1）由x??cos?，y??sin?得C2的直角坐标方程为(x?1)2?y2?4．
（2）由（1）知C2是圆心为A(?1,0)，半径为2的圆．
由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2．由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．
当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，所以|?k?2|4?2，故k??或k?0．
3k2?1经检验，当k?0时，l1与C2没有公共点；当k??4时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点． 3当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以经检验，当k?0时，l1与C2没有公共点；当k?综上，所求C1的方程为y??|k?2|k2?1?2，故k?0或k?4． 34时，l2与C2没有公共点． 34|x|?2． 3?2cos(???2t?x?题6 （2017年深圳二模）已知直线l的参数方程是?，圆C的极坐标方程为?2(t是参数)?2?y?t?42?2??4)．
（1）求圆心C的直角坐标；
（2）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值． 解析：（I）???2cos??2sin?，
??2?2?cos??2?sin?， …………（2分） ?圆C的直角坐标方程为x2?y2?2x?2y?0， …………（3分） 222222)?(y?)?1，?圆心直角坐标为(,?)．…………（5分） 2222（II）方法1：直线l上的点向圆C 引切线长是
即(x?(22222t?)?(t??42)2?1?t2?8t?40?(t?4)2?24?26， 2222 …………（8分） ∴直线l上的点向圆C引的切线长的最小值是26 …………（10分） 方法2：?直线l的普通方程为x?y?42?0， …………（8分）
|圆心C到直线l距离是
22??42|22?5，
2∴直线l上的点向圆C引的切线长的最小值是52?12?26
环节2 问题自主解决 1回归教材
题组1 人教A版选修4-4 P12 课本习题编选：
?13?25?11?),(4,),(4,?)表示的点有什么关系？你是如何刻画这些点的题1 在极坐标系中，(4,),(4,6666位置的？