所以
?12cos2?4??sin??1,
2122?2sin2?42??2cos2??1,
cos2?sin2?52所以2?2?(?sin?)?(?cos2?)?
444?1?211
题3 在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线C:?sin2??2acos??a?0?,已知过
??x??2??点P??2,?4?的直线l的参数方程为:??y??4???(1)写出曲线C和直线l的普通方程;
2t2,直线与曲线分别交于M,N
lC2t2(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列,求a的值. (1)y2?2ax,y?x?2
(2)a?1
【解析】(1)对于直线l两式相减，直接可消去参数t得到其普通方程， 对于曲线C，两边同乘以
?,再利用?2?x2?y2,x??cos?,y??sin?可求得其普通方程.
（2）将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程可知，|PM||PN|?|t1t2|,|MN|?|t2?t1|,|t2?t1|2?|t1t2|,借助韦达定理可建立关于a的方程，求出a的值.
?2x?3?t,??2题4 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为?(t为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相
?y?5?2t??2同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为??25sin?． (Ⅰ)求圆C的直角坐标方程；
(Ⅱ)设圆C与直线l交于点A，B．若点P的坐标为(3，5)，求PA?PB与PA?PB． 解：(Ⅰ)由ρ=25sinθ，得ρ=25ρsinθ，∴x+y=25y,
2
2
2
所以x?(y?25y?5)?5?x?(y?5)?5．
(Ⅱ)直线的一般方程为x?3?y?5?x?y?5?3?0，容易知道P在直线上，又3?(5?5)?5，所以P在圆外，联立圆与直线方程可以得到：A(2,5?1),B(1,5?2)，所以|PA|+|PB|=|AB|+2|PA|=
2222222?22?32.
同理，可得PA?PB?
2．
题5 在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为??x?4cos?(?为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴
y?3sin??的极坐标系中．曲线C2的极坐标方程为?sin(???4)?52．
（Ⅰ）分别把曲线C1与C2化成普通方程和直角坐标方程；并说明它们分别表示什么曲线． （Ⅱ）在曲线C1上求一点Q，使点Q到曲线C2的距离最小，并求出最小距离．
，
题6 (2015年课标Ⅰ理)在直角坐标系xOy中,直线C1:x??2,圆C2:?x?1???y?2??1,以坐标原点为极点,
22x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(Ⅰ) 求C1,C2的极坐标方程；
(Ⅱ) 若直线C3的极坐标方程为???4(??R),设C2与C3的交点为M,N,求?C2MN的面积.
【解析】(Ⅰ)因为x??cos?,y??sin?,所以C1的极坐标方程为?cos???2. C2:x?y?2x?4y?4?0,对应极坐标方程为??2?cos??4?sin??4?0. (Ⅱ)将??222?4代入?2?2?cos??4?sin??4?0,得?2?32??4?0,
解得?1?22,?2?2,故?1??2?2,即MN?由于C2的半径为1,所以?C2MN的面积为
2, 1. 2环节4 规律总结
1. 2. 3. 4.
环节5 考题精选精做
题1 在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：
，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，
x轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．已知直线 l：ρ（2cosθ﹣sinθ）=6． （Ⅰ）试写出直线l的直角坐标方程和曲线C1的参数方程；
（Ⅱ）在曲线C1上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出此最大值．
【解答】解：（Ⅰ）曲线C1：设θ为参数，令x=
，
cosθ，y=2sinθ，
（θ为参数）；
则曲线C1的参数方程为
又直线 l：ρ（2cosθ﹣sinθ）=6， 即2ρcosθ﹣ρsinθ﹣6=0， 化为直角坐标方程是2x﹣y﹣6=0； （Ⅱ）在曲线C1上求一点P，设P（则P到直线l的距离为d=∴cos（θ+
）=﹣1，即P（﹣，1）时，
=2
．
cosθ，2sinθ），
=
，
点P到直线l的距离最大，最大值为
题2 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为
（α为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求直线l和曲线C的极坐标方程；
（Ⅱ）已知直线l上一点M的极坐标为（2，θ），其中极点的点N，求|MN|的值．
．射线OM与曲线C交于不同于
【解答】解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），
直线的普通方程为极坐标方程为曲线C的普通方程为
，
．
，极坐标方程为
…（5分）
（Ⅱ）∵点M在直线l上，且点M的极坐标为（2，θ） ∴∵
，
∴，
．
∴射线OM的极坐标方程为
联立，
解得ρ=3．
∴|MN|=|ρN﹣ρM|=1．
题3 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是x轴正半轴为极轴，建立极坐标系． （1）求曲线C的极坐标方程； （2）设积．
【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程是
（α为参数），
，
，若l1，l2与曲线C分别交于异于原点的A，B两点，求△AOB的面
（α为参数），以坐标原点O为极点，
∴将C的参数方程化为普通方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2=25， 即x2+y2﹣6x﹣8y=0． …（2分）
∴C的极坐标方程为ρ=6cosθ+8sinθ． …（4分） （2）把∴把∴∴S△AOB=
题4 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为（1）求C的普通方程和l的倾斜角；
（2）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|． 【解答】解：（1）由
消去参数α，得
代入ρ=6cosθ+8sinθ，得
． …（6分）
代入ρ=6cosθ+8sinθ，得
． …（8分）
=
，
，
=． …（10分）
（α为参数），在以原点为极点，x
．
即C的普通方程为由将
，得ρsinθ﹣ρcosθ①
代入①得y=x+2
．
所以直线l的斜率角为
（2）由（1）知，点P（0，2）在直线l上，可设直线l的参数方程为（t为参数）
即（t为参数），
代入并化简得
设A，B两点对应的参数分别为t1，t2． 则所以
题5 在直角坐标系xOy中，直线l经过点P（﹣2，0），其倾斜角为α，在以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中（取相同的长度单位），曲线C的极坐标方程为ρ﹣4cosθ=0． （Ⅰ）若直线l与曲线C有公共点，求倾斜角α的取值范围； （Ⅱ）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求
的取值范围．
，所以t1＜0，t2＜0 ．
【解答】解：（Ⅰ）由曲线C的极坐标方程得ρ2﹣4ρcosθ=0，又x=ρcosθ，y=ρsinθ， ∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣4x=0，即（x﹣2）2+y2=4…（1分） ∴曲线C是圆心为C（2，0），半径为2的圆．
∵直线l过点P（﹣2，0），当l的斜率不存在时，l的方程为x=﹣2与曲线C没有公共点， ∴直线l的斜率存在，设直线l：y=k（x+2），即kx﹣y+2k=0． 直线l与圆有公共点，则圆心C到直线l的距离得
α∈[0，π），
，
，