竖线下端数字表示支付的金额。上图表示4期内每年100元的普通年金。
（1）普通年金的终值
普通年金终值是指一定时期内每期期末等额收付款项的复利终值之和。例如，按图3的数据，假如i＝6%，第四期期末的普通年金终值的计算见图4。
0 1 2 3 4 100×（1＋6%）0 =100×1=100 100×（1＋6%）1＝100×1.06=106 100×（1＋6%）2＝100×1.1236=112.36 100×（1＋6%）3＝100×1.191=119.10 100×4.3746=437.46
图4 普通年金终值计算示意图
从4图可知，第一期期末的100元，有3个计息期，其复利终值为119.1元；第二期期末的100元，有2个计息期，其复利终值为112.36元；第三期期末的100元，有1个计息期，其复利终值为106元；而第四期期末的100元，没有利息，其终值仍为100元。将以上四项加总得437.46元，即为整个的年金终值。
从以上的计算可以看出，通过复利终值计算年金终值比较复杂，但存在一定的规律性，由此可以推导出普通年金终值的计算公式。
根据复利终值的方法计算年金终值F的公式为：
F?A?A??1?i??A??1?i?2?????A??1?i?n?1等式两边同乘（1+i），则有：
F??1?i??A??1?i??A??1?i?2?A??1?i?3?????A??1?i?n公式（2）－公式（1）：
(1)(2)
F??1?i??F?A??1?i??An
F ?i?A??1?i??1n??n?1?i??1F?A?
i公式中， ? 1 ?i??1通常称为“年金终值系数”，用符号（F/A，i，n）
n表示。
i年金终值系数可以通过查“年金终值系数表”获得。该表的第一行是利率i，第一列是计息期数n。相应的年金系数在其纵横交叉之处。例如，可以通过查表获得（F/A，6%，4）的年金终值系数为4.3746，即每年年末收付1元，按年利率为6%计算，到第4年年末，其年金终值为4.3746元。
例：某公司每年在银行存入4 000元，计划在10年后更新设备，银行存款利率5%，到第10年末公司能筹集的资金总额是多少？
n?1?i??1F?A?i10?1?5%??1?4000?5%?4000?12.578?50312（元）在年金终值的一般公式中有四个变量F，A，i，n，已知其中的任意三个变量都可以计算出第四个变量。
例：某公司计划在8年后改造厂房，预计需要400万元，假设银行存款利率为4%，该公司在这8年中每年年末要存入多少万元才能满足改造厂房的资金需要？
n?1?i??1F?A? i
8?1?4%??1400?A?4@0?A?9.214该公司A?43.41(万元)在银行存款利率为4%时，每年年末存入43.41
万元，8年后可以获得400万元用于改造厂房。
（2）普通年金的现值
普通年金现值是指一定时期内每期期末收付款项的复利现值之和。例如，按图3的数据，假如i＝6%，其普通年金现值的计算如图5。
0 1 2 3 4 100×（1＋6%）-1＝94.34 100×（1＋6%）-2＝89 100×（1＋6%）-3＝83.96 100×（1＋6%）-4＝79.21 346.51
图5 普通年金现值计算示意图
从图5可知，第一期期末的100元到第一期初，经历了1个计息期，其复利现值为94.34元；第二期期末的100元到第一期初，经历了2个计息期，其复利现值为89元；第三期期末的100元到第一期初，经历了3个计息期，其复利现值为83.96元；第四期期末的100元到第一期初，经历了4个计息期，其复利现值为79.21元。将以上四项加总得346.51元，即为四期的年金现值。
从以上计算可以看出，通过复利现值计算年金现值比较复杂，但存在一定的规律性，由此可以推导出普通年金终值的计算公式。
根据复利现值的方法计算年金现值P的计算公式为： P?A?11
?1?i??A??1?i?2?????A?1?1?i?n?1?A?1?1?i?n等式两边同乘（1+ i），则有：
P
??1?i??A?A?1?1?i??A?111?1?i?2?????A??1?i?n?2?A??1?i?n?1公式（2）－公式（1）： P??1?i??p?A?A?1?1?i?n P?i?A?[1?1?1?i?n] ?n
P?A?1??1?i?i
1??1?i??ni(1)(2)公式中， 通常称为“年金现值系数”，用符号（P/A，i，n）表示。年金现值系数可以通过查“年金现值系数表”获得。该表的第一行是利率i，第一列是计息期数n。相应的年金现值系数在其纵横交叉之处。例如，可以通过查表获得（P/A，6%，4）的年金现值系数为3.4651，即每年末收付1元，按年利率为6%计算，其年金现值为3.4651元。
例：某公司预计在8年中，从一名顾客处收取6 000的汽车贷款还款，贷款利率为6%，该顾客借了多少资金，即这笔贷款的现值是多少？
1??1?i?P?A?i
?81??1?6%??6000?
6%?6000?6.2098
?37258.8(元)
?n
在年金现值的一般公式中有四个变量P，A，i，n，已知其中的任意三个变量都可以计算出第四个变量。
2．先付年金
先付年金是指每期期初有等额的收付款项的年金，又称预付年金。如图6所示。 0 1 2 3 4
100 100 100 100 图6 先付年金示意图
图6，横轴代表时间，用数字标出各期的顺序号，竖线的位置表示支付的时刻，竖线下端数字表示支付的金额。上图表示4期内每年100元的先付年金。
（1）先付年金的终值
先付年金终值是指一定时期内每期期初等额收付款项的复利终值之和。例如，按图6的数据，假如i＝6%，第4期期末的年金终值的计算见图7。
0 1 2 3 4 100×（1＋6%）=100×1.06=106 100×（1＋6%）
2
＝100×
1.1236=112.36
100×（1＋6%）1.191=119.10
100×（1＋6%）1.2625=126.25
1004.6371=463.71
图7 先付年金终值计算示意图
从图7可知，第一期期初的100元，有4个计息期，其复利终值为126.25元；第二期期初的100元，有3个计息期，其复利终值为119.1元；第三期期初的100元，有2个计息期，其复利终值为112.36元；而第四期期初的100元，有1个计息期，其复利终值为106元。将以上四项加总得463.71元，即为整个的先付年金终值。
从以上的计算可以看出，先付年金与普通年金的付款期数相同，但由于其付款时间的不同，先付年金终值比普通年金终值多计算一期利息。因此，可在普通年金终值的基础上乘上（1+i）就是先付年金的终值。
先付年金的终值F的计算公式为：
n?1?i??1F?A???1?i?43
＝100×
＝100×
×
in?1?1?i???1?i??A?i??1?i?n?1?1??A???1?i??公式中 常称为“先付年金终值系数”，它是在普通年金
?1?i?n?1?1?1i终值系数的基础上，期数加1，系数减1求得的，可表示为［（F/A，i，n+1）－1］，可通过查“普通年金终值系数表”，得（n+1）期的值，然后减去1可得对应的先付年金终值系数的值。例如［（F/A，6%，4+1）－1］，（F/A，6%，4+1）的值为5.6371，再减去1，得先付年金终值系数为4.6371。
例：某公司租赁写字楼，每年年初支付租金5 000元，年利率为8%，该公司计划租赁12年，需支付的租金为多少？