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考点： 切线的性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；相似三角形的判定与性质． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 连接BD，由GD为圆O的切线，根据弦切角等于夹弧所对的圆周角得到∠GDP=∠ABD，再由AB为圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角得到∠ACB为直角，由CE垂直于AB，得到∠AFP为直角，再由一对公共角，得到三角形APF与三角形ABD相似，根据相似三角形的对应角相等可得出∠APF等于∠ABD，根据等量代换及对顶角相等可得出∠GPD=∠GDP，利用等角对等边可得出GP=GD，选项②正确；由直径AB垂直于弦CE，利用垂径定理得到A为的中点，得到两条弧相等，再由C为的中点，得到两条弧相等，等量代换得到三条弧相等，根据等弧所对的圆周角相等可得出∠CAP=∠ACP，利用等角对等边可得出AP=CP，又AB为直径得到∠ACQ为直角，利用等角的余角相等可得出∠PCQ=∠PQC，得出CP=PQ，即P为直角三角形ACQ斜边上的中点，即为直角三角形ACQ的外心，选项③正确；利用等弧所对的圆周角相等得到一对角相等，再由一对公共角相等，得到三角形ACQ与三角形ABC相似，根据相似得比例得2到AC=CQ?CB，连接CD，同理可得出三角形ACP与三角形ACD相似，根据相似三角形对应边成比例可2得出AC=AP?AD，等量代换可得出AP?AD=CQ?CB，选项④正确． 解答： 解：∠BAD与∠ABC不一定相等，选项①错误； 连接BD，如图所示： ∵GD为圆O的切线， ∴∠GDP=∠ABD， 又AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°， ∵CE⊥AB，∴∠AFP=90°， ∴∠ADB=∠AFP，又∠PAF=∠BAD， ∴△APF∽△ABD， ∴∠ABD=∠APF，又∠APF=∠GPD， ∴∠GDP=∠GPD， ∴GP=GD，选项②正确； ∵直径AB⊥CE， ∴A为又C为∴=的中点，即的中点，∴， ==，新 课 标 第 一 网 ， ∴∠CAP=∠ACP， ∴AP=CP， 新课标第一网系列资料 www.xkb1.com
www.xkb1.com 新课标第一网不用注册，免费下载！ 又AB为圆O的直径，∴∠ACQ=90°， ∴∠PCQ=∠PQC， ∴PC=PQ， ∴AP=PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点， ∴P为Rt△ACQ的外心，选项③正确； 连接CD，如图所示： ∵=， ∴∠B=∠CAD，又∠ACQ=∠BCA， ∴△ACQ∽△BCA， ∴∵==，即AC=CQ?CB， ， 2∴∠ACP=∠ADC，又∠CAP=∠DAC， ∴△ACP∽△ADC， ∴=，即AC=AP?AD， 2∴AP?AD=CQ?CB，选项④正确， 则正确的选项序号有②③④． 故答案为：②③④ 点评： 此题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，以及三角形的外接圆与圆心，熟练掌握性质及定理是解本题的关键． 17．（2012?泉州）在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A、B），过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线，简记为P（lx）（x为自然数）． （1）如图①，∠A=90°，∠B=∠C，当BP=2PA时，P（l1）、P（l2）都是过点P的△ABC的相似线（其中l1⊥BC，l2∥AC），此外，还有 1 条； （2）如图②，∠C=90°，∠B=30°，当= 或或 时，P（lx）截得的三角形面积为△ABC面积的．
考点： 相似三角形的判定与性质． 专题： 压轴题． 分析： （1）过点P作l3∥BC交AC于Q，则△APQ∽△ABC，l3是第3条相似线； （2）按照相似线的定义，找出所有符合条件的相似线．总共有4条，注意不要遗漏． 新课标第一网系列资料 www.xkb1.com
www.xkb1.com 新课标第一网不用注册，免费下载！ 解答： 解：（1）存在另外 1 条相似线． 如图1所示，过点P作l3∥BC交AC于Q，则△APQ∽△ABC； 故答案为：1；w W w .x K b 1.c o M （2）设P（lx）截得的三角形面积为S，S=S△ABC，则相似比为1：2． 如图2所示，共有4条相似线： ①第1条l1，此时P为斜边AB中点，l1∥AC，∴②第2条l2，此时P为斜边AB中点，l2∥BC，∴③第3条l3，此时BP与BC为对应边，且=，∴=； =； ==； ④第4条l4，此时AP与AC为对应边，且=，∴==，∴=． 故答案为：或或． 点评： 本题引入“相似线”的新定义，考查相似三角形的判定与性质和解直角三角形的运算；难点在于找出所有的相似线，不要遗漏． 18．（2012?嘉兴）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG丄CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF．给出以下四个结论： ①
；
②点F是GE的中点； ③AF=
AB；
④S△ABC=5S△BDF，其中正确的结论序号是 ①③ ．
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考点： 相似三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形． 专题： 压轴题． 分析： 首先根据题意易证得△AFG∽△CFB，根据相似三角形的对应边成比例与BA=BC，继而证得正确；由点D是AB的中点，易证得BC=2BD，由等角的余角相等，可得∠DBE=∠BCD，即可得AG=AB，继而可得FG=BF；即可得AF=AC，又由等腰直角三角形的性质，可得AC=则可得S△ABC=6S△BDF． 解答： 解：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°， ∴AB⊥BC，AG⊥AB，X|k |B | 1 . c |O |m ∴AG∥BC， ∴△AFG∽△CFB， ∴， AB，即可求得AF=AB；∵BA=BC， ∴， 故①正确； ∵∠ABC=90°，BG⊥CD， ∴∠DBE+∠BDE=∠BDE+∠BCD=90°， ∴∠DBE=∠BCD， ∵AB=CB，点D是AB的中点， ∴BD=AB=CB， ∵tan∠BCD==， =， ∴在Rt△ABG中，tan∠DBE=∵=， ∴FG=FB， ∵GE≠BF， ∴点F不是GE的中点． 故②错误； ∵△AFG∽△CFB， ∴AF：CF=AG：BC=1：2， ∴AF=AC， ∵AC=AB， 新课标第一网系列资料 www.xkb1.com
www.xkb1.com 新课标第一网不用注册，免费下载！ ∴AF=AB， 故③正确； ∵BD=AB，AF=AC， ∴S△ABC=6S△BDF， 故④错误． 故答案为：①③． 点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题难度适中，解题的关键是证得△AFG∽△CFB，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用． 19．（2012?泸州）如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…Mn分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，…△BnCnMn的面积为Sn，则Sn= ．（用含n的式子表示）新 |课 |标|第 |一| 网 考点： 相似三角形的判定与性质． 专题： 压轴题；规律型． 分析： 由n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…Mn分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中点，即可求得△B1C1Mn的面积，又由BnCn∥B1C1，即可得△BnCnMn∽△B1C1Mn，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，求得答案． 解答： 解：∵n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…Mn分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中点， ∴S1=×B1C1×B1M1=×1×=， S△B1C1M2=×B1C1×B1M2=×1×=， S△B1C1M3=×B1C1×B1M3=×1×=， S△B1C1M4=×B1C1×B1M4=×1×=， S△B1C1Mn=×B1C1×B1Mn=×1×∵BnCn∥B1C1， ∴△BnCnMn∽△B1C1Mn， 新课标第一网系列资料 www.xkb1.com
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