www.xkb1.com 新课标第一网不用注册，免费下载！ PD． 解答： （1）证明：连结OD，如图， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠ACB的平分线交⊙O于点D， ∴∠ACD=∠BCD=45°， ∴∠DAB=∠ABD=45°， ∴△DAB为等腰直角三角形， ∴DO⊥AB， ∵PD为⊙O的切线， ∴OD⊥PD， ∴DP∥AB； （2）解：在Rt△ACB中，AB=∵△DAB为等腰直角三角形， ∴AD===5， =10， ∵AE⊥CD， ∴△ACE为等腰直角三角形， ∴AE=CE===3， =， =4， 在Rt△AED中，DE=∴CD=CE+DE=3+4=7∵AB∥PD， ∴∠PDA=∠DAB=45°， ∴∠APD=∠PCD， 而∠DPA=∠CPD， ∴△PDA∽△PCD， ∴===，新 |课 |标|第 |一| 网 ∴PA=PD，PC=PD， 而PC=PA+AC， ∴PD+6=PD， ∴PD=． 点评： 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了圆周角定理定理、等腰直角三角形的性质和三角形相似的判定与性质． 新课标第一网系列资料 www.xkb1.com
www.xkb1.com 新课标第一网不用注册，免费下载！ 25．（2013?绍兴）在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上．
（1）如图1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求证：EF=CD． （2）如图2，AC：AB=1：，EF⊥CE，求EF：EG的值．
考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质． 专题： 压轴题． 分析： （1）根据同角的余角相等得出∠CAD=∠B，根据AC：AB=1：2及点E为AB的中点，得出AC=BE，再利用AAS证明△ACD≌△BEF，即可得出EF=CD； （2）作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，先证明四边形EQDH是矩形，得出∠QEH=90°，则∠FEQ=∠GEH，再由两角对应相等的两三角形相似证明△EFQ∽△EGH，得出EF：EG=EQ：EH，然后在△BEQ中，根据正弦函数的定义得出EQ=BE，在△AEH中，根据余弦函数的定义得出EH=EF：EG的值． 解答： （1）证明：如图1， 在△ABC中，∵∠CAB=90°，AD⊥BC于点D， ∴∠CAD=∠B=90°﹣∠ACB． ∵AC：AB=1：2，∴AB=2AC， ∵点E为AB的中点，∴AB=2BE， ∴AC=BE． 在△ACD与△BEF中， ， ∴△ACD≌△BEF， ∴CD=EF，即EF=CD； （2）解：如图2，作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q， ∵EH⊥AD，EQ⊥BC，AD⊥BC， ∴四边形EQDH是矩形， ∴∠QEH=90°， ∴∠FEQ=∠GEH=90°﹣∠QEG， 又∵∠EQF=∠EHG=90°， ∴△EFQ∽△EGH， ∴EF：EG=EQ：EH． ∵AC：AB=1：，∠CAB=90°， ∴∠B=30°． 在△BEQ中，∵∠BQE=90°， ∴sin∠B==，w W w .x K b 1.c o M AE，又BE=AE，进而求出新课标第一网系列资料 www.xkb1.com
www.xkb1.com 新课标第一网不用注册，免费下载！ ∴EQ=BE． 在△AEH中，∵∠AHE=90°，∠AEH=∠B=30°， ∴cos∠AEH=∴EH=AE． =， ∵点E为AB的中点，∴BE=AE， ∴EF：EG=EQ：EH=BE：AE=1：． 点评： 本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质，解直角三角形，综合性较强，有一定难度．解题的关键是作辅助线，构造相似三角形，并且证明四边形EQDH是矩形． 26．（2013?汕头）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延长线于点E． （1）求证：∠BCA=∠BAD； （2）求DE的长； （3）求证：BE是⊙O的切线．
考点： 切线的判定；圆周角定理；相似三角形的判定与性质． 专题： 压轴题． 分析： （1）根据BD=BA得出∠BDA=∠BAD，再由∠BCA=∠BDA即可得出结论； （2）判断△BED∽△CBA，利用对应边成比例的性质可求出DE的长度． （3）连接OB，OD，证明△ABO≌△DBO，推出OB∥DE，继而判断OB⊥DE，可得出结论． 解答： （1）证明：∵BD=BA， 新课标第一网系列资料 www.xkb1.com
www.xkb1.com 新课标第一网不用注册，免费下载！ ∴∠BDA=∠BAD， ∵∠BCA=∠BDA（圆周角定理）， ∴∠BCA=∠BAD． （2）解：∵∠BDE=∠CAB（圆周角定理），∠BED=∠CBA=90°， ∴△BED∽△CBA， ∴=，即=． ， 解得：DE= （3）证明：连结OB，OD， 在△ABO和△DBO中，∵， ∴△ABO≌△DBO， ∴∠DBO=∠ABO， ∵∠ABO=∠OAB=∠BDC， ∴∠DBO=∠BDC， ∴OB∥ED， ∵BE⊥ED， ∴EB⊥BO， ∴OB⊥BE， ∴BE是⊙O的切线． 点评： 本题考查了切线的判定及圆周角定理的知识，综合考查的知识点较多，解答本题要求同学们熟练掌握一些定理的内容． 27．（2013?朝阳）如图，直线AB与⊙O相切于点A，直径DC的延长线交AB于点B，AB=8，OB=10 （1）求⊙O的半径． （2）点E在⊙O上，连接AE，AC，EC，并且AE=AC，判断直线EC与AB有怎样的位置关系？并证明你的结论． （3）求弦EC的长．
考点： 切线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质． 分析： （1）连接OA，交EC于F，根据切线性质得出∠OAB=90°，根据勾股定理求出即可； （2）根据AE=AC推出弧AE=弧AC，根据垂径定理求出OA⊥EC，根据平行线判定推出即可； 新课标第一网系列资料 www.xkb1.com
www.xkb1.com 新课标第一网不用注册，免费下载！ （3）证△OFC∽△OAB，求出FC，根据垂径定理得出EC=2FC，代入求出即可． 解答： （1）解：连接AO，交EC于F， ∵AB切⊙O于A， ∴OA⊥AB， ∴∠OAB=90°， 在Rt△OAB中，由勾股定理得：OA=答：⊙O的半径是6． （2）直线EC与AB的位置关系是EC∥AB． 证明：∵AE=AC， ∴弧AE=弧AC， ∵OA过O， ∴OA⊥EC， ∵OA⊥AB， ∴EC∥AB． （3）解：∵EC∥AB， ∴△OFC∽△OAB， ∴∴==， ， ， ==6， ∴FC=∵OA⊥EC，OA过O， ∴EC=2FC=． 点评： 本题考查了勾股定理，相似三角形的性质和判定，切线性质，垂径定理，圆周角定理的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力． 28．（2013?成都）如图，点B在线段AC上，点D，E在AC同侧，∠A=∠C=90°，BD⊥BE，AD=BC． （1）求证：AC=AD+CE；
（2）若AD=3，CE=5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE于点Q； （i）当点P与A，B两点不重合时，求
的值；
（ii）当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径（线段）长．（直接写出结果，不必写出解答过程）
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