www.xkb1.com 新课标第一网不用注册，免费下载！ ∴S△BnCnMn：S△B1C1Mn=（）=（2）， 2即Sn：=， ∴Sn=故答案为：． ． 点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及直角三角形面积的公式．此题难度较大，注意掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用是解此题的关键． 20．（2013?荆州）如图，△ABC是斜边AB的长为3的等腰直角三角形，在△ABC内作第1个内接正方形A1B1D1E1（D1、E1在AB上，A1、B1分别在AC、BC上），再在△A1B1C内接同样的方法作第2个内接正方形A2B2D2E2，…如此下去，操作n次，则第n个小正方形AnBnDnEn 的边长是 ． 考点： 相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形． 新 课 标 第 一 网 专题： 规律型． 分析： 求出第一个、第二个、第三个内接正方形的边长，总结规律可得出第n个小正方形AnBnDnEn 的边长． 解答： 解：∵∠A=∠B=45°， ∴AE1=A1E=A1B1=B1D1=D1B， ∴第一个内接正方形的边长=AB=1； 同理可得： 第二个内接正方形的边长=A1B1=AB=； 第三个内接正方形的边长=A2B2=AB=； AB=． 故可推出第n个小正方形AnBnDnEn 的边长=故答案为：． 点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解答本题的关键是求出前几个内接正方形的边长，得出一般规律． 三．解答题（共8小题） 21．（2013?珠海）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P′），当AP旋转至AP′⊥AB时，点B、P、P′恰好在同一直线上，此时作P′E⊥AC于点E．
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www.xkb1.com 新课标第一网不用注册，免费下载！ （1）求证：∠CBP=∠ABP； （2）求证：AE=CP； （3）当
，BP′=5
时，求线段AB的长．
考点： 全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质． 专题： 几何综合题；压轴题． 分析： （1）根据旋转的性质可得AP=AP′，根据等边对等角的性质可得∠APP′=∠AP′P，再根据等角的余角相等证明即可； （2）过点P作PD⊥AB于D，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CP=DP，然后求出∠PAD=∠AP′E，利用“角角边”证明△APD和△P′AE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=DP，从而得证； （3）设CP=3k，PE=2k，表示出AE=CP=3k，AP′=AP=5k，然后利用勾股定理列式求出P′E=4k，再求出△ABP′和△EPP′相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出P′A=AB，然后在Rt△ABP′中，利用勾股定理列式求解即可． 解答： （1）证明：∵AP′是AP旋转得到， ∴AP=AP′，http://www.xk b1.com ∴∠APP′=∠AP′P， ∵∠C=90°，AP′⊥AB， ∴∠CBP+∠BPC=90°，∠ABP+∠AP′P=90°， 又∵∠BPC=∠APP′（对顶角相等）， ∴∠CBP=∠ABP； （2）证明：如图，过点P作PD⊥AB于D， ∵∠CBP=∠ABP，∠C=90°， ∴CP=DP， ∵P′E⊥AC， ∴∠EAP′+∠AP′E=90°， 又∵∠PAD+∠EAP′=90°， ∴∠PAD=∠AP′E， 在△APD和△P′AE中，∴△APD≌△P′AE（AAS）， ∴AE=DP， ∴AE=CP； （3）解：∵=， ， ∴设CP=3k，PE=2k， 则AE=CP=3k，AP′=AP=3k+2k=5k， 新课标第一网系列资料 www.xkb1.com
www.xkb1.com 新课标第一网不用注册，免费下载！ 在Rt△AEP′中，P′E==4k， ∵∠C=90°，P′E⊥AC， ∴∠CBP+∠BPC=90°，∠EP′P+∠EPP′=90°， ∵∠BPC=∠EPP′（对顶角相等）， ∴∠CBP=∠EP′P， 又∵∠BAP′=∠P′EP=90°， ∴△ABP′∽△EPP′， ∴即==， ， 解得P′A=AB， 在Rt△ABP′中，AB+P′A=BP′， 即AB+AB=（5解得AB=10． 22222）， 2 点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，（2）作辅助线构造出过渡线段DP并得到全等三角形是解题的关键，（3）利用相似三角形对应边成比例求出P′A=AB是解题的关键． 22．（2013?湛江）如图，已知AB是⊙O的直径，P为⊙O外一点，且OP∥BC，∠P=∠BAC． （1）求证：PA为⊙O的切线； （2）若OB=5，OP=，求AC的长．X k B 1 . c o m
考点： 切线的判定；勾股定理；相似三角形的判定与性质． 分析： （1）欲证明PA为⊙O的切线，只需证明OA⊥AP； （2）通过相似三角形△ABC∽△PAO的对应边成比例来求线段AC的长度． 解答： （1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠BAC+∠B=90°． 新课标第一网系列资料 www.xkb1.com
www.xkb1.com 新课标第一网不用注册，免费下载！ 又∵OP∥BC， ∴∠AOP=∠B， ∴∠BAC+∠AOP=90°． ∵∠P=∠BAC． ∴∠P+∠AOP=90°， ∴由三角形内角和定理知∠PAO=90°，即OA⊥AP． 又∵OA是的⊙O的半径， ∴PA为⊙O的切线； （2）解：由（1）知，∠PAO=90°．∵OB=5， ∴OA=OB=5． 又∵OP=， =， ∴在直角△APO中，根据勾股定理知PA=由（1）知，∠ACB=∠PAO=90°． ∵∠BAC=∠P， ∴△ABC∽△POA， ∴∴==． ， 解得AC=8．即AC的长度为8． 点评： 本题考查的知识点有切线的判定与性质，三角形相似的判定与性质，得到两个三角形中的两组对应角相等，进而得到两个三角形相似，是解答（2）题的关键． 23．（2013?宜宾）如图，AB是⊙O的直径，∠B=∠CAD．新 |课 |标|第 |一| 网 （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若点E是
的中点，连接AE交BC于点F，当BD=5，CD=4时，求AF的值．
考点： 切线的判定；相似三角形的判定与性质． 新课标第一网系列资料 www.xkb1.com
www.xkb1.com 新课标第一网不用注册，免费下载！ 专题： 压轴题． 分析： （1）证明△ADC∽△BAC，可得∠BAC=∠ADC=90°，继而可判断AC是⊙O的切线． （2）根据（1）所得△ADC∽△BAC，可得出CA的长度，继而判断∠CFA=∠CAF，利用等腰三角形的性质得出AF的长度，继而得出DF的长，在Rt△AFD中利用勾股定理可得出AF的长． 解答： 解：（1）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=∠ADC=90°， ∵∠B=∠CAD，∠C=∠C， ∴△ADC∽△BAC， ∴∠BAC=∠ADC=90°， ∴BA⊥AC， ∴AC是⊙O的切线． （2）∵△ADC∽△BAC（已证）， ∴=，即AC=BC×CD=36， 2解得：AC=6， 在Rt△ACD中，AD==2， ∵∠CAF=∠CAD+∠DAE=∠ABF+∠BAE=∠AFD， ∴CA=CF=6， ∴DF=CA﹣CD=2， 在Rt△AFD中，AF==2． 点评： 本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握切线的判定定理、相似三角形的性质，勾股定理的表达式． 24．（2013?襄阳）如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线PD交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F． （1）求证：DP∥AB；
（2）若AC=6，BC=8，求线段PD的长．X k B 1 . c o m
考点： 切线的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质． 专题： 证明题；压轴题． 分析： （1）连结OD，由AB为⊙O的直径，根据圆周角定理得AB为⊙O的直径得∠ACB=90°，再由ACD=∠BCD=45°，则∠DAB=∠ABD=45°，所以△DAB为等腰直角三角形，所以DO⊥AB，根据切线的性质得OD⊥PD，于是可得到DP∥AB； （2）先根据勾股定理计算出AB=10，由于△DAB为等腰直角三角形，可得到AD=等腰直角三角形，得到AE=CE=证得∴△PDA∽△PCD，得到==3=，在Rt△AED中利用勾股定理计算出DE=4==5；由△ACE为，易，则CD=7，所以PA=PD，PC=PD，然后利用PC=PA+AC可计算出新课标第一网系列资料 www.xkb1.com