组卷二次函数中等题31-60 故答案为y=﹣x+4x﹣3． 点评： 本题考查了待定系数法求函数解析式，知道二次函数的顶点式是解题的关键． 2组卷二次函数中等题 难度
4.5
级
2
51．（2013?贵港）如图，在平面直角坐标系xOy中，若动点P在抛物线y=ax上，⊙P恒过点F（0，n），且与直线y=﹣n始终保持相切，则n= （用含a的代数式表示）．
考点： 二次函数综合题． 专题： 压轴题． 分析： 设P（m，am2）．如图，连接PF．设⊙P与直线y=﹣n相切于点E，连接PE．根据题意知PE、PF是⊙P的半径，所以利用两点间的距离公式得到=am+n，通过化简即可求得n的值． 2解答： 解：如图，连接PF．设⊙P与直线y=﹣n相切于点E，连接PE．则PE⊥AE． 2∵动点P在抛物线y=ax上， 2∴设P（m，am）． ∵⊙P恒过点F（0，n）， ∴PF=PE，即∴n=． ． =am+n． 2故答案是： 点评： 本题考查了二次函数综合题，此题涉及到了二次函数图象上点的坐标特征，两点间的距离等知识点．根据题意得到PF是⊙P的半径是解题的关键． 组卷二次函数中等题 难度
2
4.5
级
52．（2013?荆门）若抛物线y=x+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A（m，n），B（m+6，n），则n= 9 ．
组卷二次函数中等题31-60 考点： 抛物线与x轴的交点． 专题： 压轴题． 分析： 222首先，由“抛物线y=x+bx+c与x轴只有一个交点”推知x=﹣时，y=0．且b﹣4c=0，即b=4c； 其次，根据抛物线对称轴的定义知点A、B关于对称轴对称，则A（﹣﹣3，n），B（﹣+3，n）； 最后，根据二次函数图象上点的坐标特征知n=（﹣﹣3）+b（﹣﹣3）+c=入即可求得n的值． 解答： 解：∵抛物线y=x+bx+c与x轴只有一个交点， ∴当x=﹣时，y=0．且b﹣4c=0，即b=4c． 又∵点A（m，n），B（m+6，n）， ∴点A、B关于直线x=﹣对称， ∴A（﹣﹣3，n），B（﹣+3，n） 将A点坐标代入抛物线解析式，得：n=（﹣﹣3）+b（﹣﹣3）+c=∵b=4c， ∴n=×4c+c+9=9． 222222b+c+9，所以把b=4c代22b+c+9 2故答案是：9． 点评： 本题考查了抛物线与x轴的交点．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程2ax+bx+c=0根之间的关系． 2△=b﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． 2△=b﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； 2△=b﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点； 2△=b﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 组卷二次函数中等题 难度
4.5
2
级
53．（2012?百色）如图，已知一动圆的圆心P在抛物线y=x﹣3x+3上运动．若⊙P半径为1，点P的坐标为（m，n），当⊙P与x轴相交时，点P的横坐标m的取值范围是 3﹣＜m＜2或4＜m＜3+ ．
考点： 二次函数综合题．
组卷二次函数中等题31-60 专题： 压轴题． 分析： 22由圆心P在抛物线y=x﹣3x+3上运动，点P的坐标为（m，n），可得n=m﹣3m+3，又由⊙P半径为1，⊙P与x轴相交，可得|m﹣3m+3|＜1，继而可求得答案． 解答： 解：∵圆心P在抛物线y=x﹣3x+3上运动，点P的坐标为（m，n）， ∴n=m﹣3m+3， ∵⊙P半径为1，⊙P与x轴相交， ∴|n|＜1， ∴|m﹣3m+3|＜1， ∴﹣1＜m﹣3m+3＜1， 解m﹣3m+3＜1，得：3﹣2222222＜m＜3+， 解m﹣3m+3＞﹣1，得：m＜2或m＞4， ∴点P的横坐标m的取值范围是：3﹣＜m＜2或4＜m＜3+． 故答案为：3﹣＜m＜2或4＜m＜3+． 点评： 此题考查了二次函数上点的性质、直线与圆的位置关系以及不等式的求解方法．此题难度较大，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用． 组卷二次函数中等题 难度
4.5
级
2
54．（2012?黔南州）如图，四边形ABCD是矩形，A、B两点在x轴的正半轴上，C、D两点在抛物线y=﹣x+6x
2
上．设OA=m（0＜m＜3），矩形ABCD的周长为l，则l与m的函数解析式为 l=﹣2m+8m+12 ．
考点： 待定系数法求二次函数解析式；矩形的性质． 专题： 压轴题． 分析： 求l与m的函数解析式就是把m当作已知量，求l，先求AD，它的长就是D点的纵坐标，再把D点纵坐标代入函数解析式求C点横坐标，C点横坐标与D点横坐标的差就是线段CD的长，用l=2（AD+CD），建立函数关系式． 解答： 解：把x=m代入抛物线y=﹣x2+6x中，得AD=﹣m2+6m 22把y=﹣m+6m代入抛物线y=﹣x+6x中，得 22﹣m+6m=﹣x+6x 解得x1=m，x2=6﹣m ∴C的横坐标是6﹣m，故AB=6﹣m﹣m=6﹣2m 2∴矩形的周长是l=2（﹣m+6m）+2（6﹣2m） 2即l=﹣2m+8m+12． 点评： 求函数解析式的过程就是一个列代数式的过程，求线段的长度的问题一般要转化为求点的坐标的问题．
组卷二次函数中等题31-60
三、解答题（共6小题）（选答题，不自动判卷）
组卷二次函数中等题 难度
5
2
级
55．（2013?枣庄）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的表达式． （2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．
考点： 二次函数综合题． 专题： 压轴题． 分析： （1）将B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值； （2）由于菱形的对角线互相垂直平分，若四边形POP′C为菱形，那么P点必在OC的垂直平分线上，据此可求出P点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标； （3）由于△ABC的面积为定值，当四边形ABPC的面积最大时，△BPC的面积最大；过P作y轴的平行线，交直线BC于Q，交x轴于F，易求得直线BC的解析式，可设出P点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标，即可得到PQ的长，以PQ为底，B点横坐标的绝对值为高即可求得△BPC的面积，由此可得到关于四边形ACPB的面积与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形ABPC的最大面积及对应的P点坐标． 解答： 解：（1）将B、C两点的坐标代入得， 解得：； 2所以二次函数的表达式为：y=x﹣2x﹣3（3分） （2）存在点P，使四边形POP′C为菱形； 设P点坐标为（x，x﹣2x﹣3），PP′交CO于E 若四边形POP′C是菱形，则有PC=PO； 连接PP′，则PE⊥CO于E， ∵C（0，﹣3）， ∴CO=3， 又∵OE=EC， ∴OE=EC= ∴y=22；（6分）
∴x﹣2x﹣3=
组卷二次函数中等题31-60 解得x1=，x2=，（不合题意，舍去） ）（8分） ∴P点的坐标为（ （3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，x﹣2x﹣3）， 设直线BC的解析式为：y=kx+d， 则解得：， 2∴直线BC的解析式为y=x﹣3， 则Q点的坐标为（x，x﹣3）； 2当0=x﹣2x﹣3， 解得：x1=﹣1，x2=3， ∴AO=1，AB=4， S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ =AB?OC+QP?BF+QP?OF ==当 （10分） 时，四边形ABPC的面积最大 ，四边形ABPC的面积的最大值为．（12分） 此时P点的坐标为 点评： 此题考查了二次函数解析式的确定、菱形的判定和性质以及图形面积的求法等知识，当所求图形不规则时通常要将其转换为其他规则图形面积的和差关系来求解．