组卷二次函数中等题31-60
组卷二次函数中等题 难度
5.5
级
2
2
56．（2013?舟山）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=（x﹣m）﹣m+m的顶点为A，与y轴的交点为B，连结AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使AD=AC，连结BD．作AE∥x轴，DE∥y轴． （1）当m=2时，求点B的坐标； （2）求DE的长？ （3）①设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式？②过点D作AB的平行线，与第（3）①题确定的函数图象的另一个交点为P，当m为何值时，以，A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？
考点： 二次函数综合题． 专题： 压轴题；数形结合． 分析： （1）将m=2代入原式，得到二次函数的顶点式，据此即可求出B点的坐标； （2）延长EA，交y轴于点F，证出△AFC≌△AED，进而证出△ABF∽△DAE，利用相似三角形的性质，求出DE=4； （3）①根据点A和点B的坐标，得到x=2m，y=﹣m+m+4，将m=代入y=﹣m+m+4，即可求出二次函数的表达式； ②作PQ⊥DE于点Q，则△DPQ≌△BAF，然后分（如图1）和（图2）两种情况解答． 解答： 解：（1）当m=2时，y=（x﹣2）+1， 把x=0代入y=（x﹣2）+1，得：y=2， ∴点B的坐标为（0，2）． （2）延长EA，交y轴于点F， ∵AD=AC，∠AFC=∠AED=90°，∠CAF=∠DAE， ∴△AFC≌△AED， ∴AF=AE， ∵点A（m，﹣m+m），点B（0，m）， ∴AF=AE=|m|，BF=m﹣（﹣m+m）=m， ∵∠ABF=90°﹣∠BAF=∠DAE，∠AFB=∠DEA=90°， ∴△ABF∽△DAE， 2222222
组卷二次函数中等题31-60 ∴=，即：=， ∴DE=4． （3）①∵点A的坐标为（m，﹣m+m）， ∴点D的坐标为（2m，﹣m+m+4）， ∴x=2m，y=﹣m+m+4， ∴y=﹣?++4， x+x+4， 2222∴所求函数的解析式为：y=﹣②作PQ⊥DE于点Q，则△DPQ≌△BAF， （Ⅰ）当四边形ABDP为平行四边形时（如图1）， 点P的横坐标为3m， 点P的纵坐标为：（﹣m+m+4）﹣（m）=﹣m+m+4， 把P（3m，﹣m+m+4）的坐标代入y=﹣﹣m+m+4=﹣22222x+x+4得： 2×（3m）+×（3m）+4， 2解得：m=0（此时A，B，D，P在同一直线上，舍去）或m=8． （Ⅱ）当四边形ABPD为平行四边形时（如图2）， 点P的横坐标为m， 点P的纵坐标为：（﹣m+m+4）+（m）=m+4， 把P（m，m+4）的坐标代入y=﹣m+4=﹣m+m+4， 222x+x+4得： 2解得：m=0（此时A，B，D，P在同一直线上，舍去）或m=﹣8， 综上所述：m的值为8或﹣8． 点评： 本题是二次函数综合题，涉及四边形的知识，同时也是存在性问题，解答时要注意数形结合及分类讨论．
组卷二次函数中等题31-60
组卷二次函数中等题 难度
5
2
级
57．（2014?沙坪坝区一模）如图，抛物线y1=x﹣1交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B，将此抛物线向右平移4个单位得抛物线y2，两条抛物线相交于点C． （1）请直接写出抛物线y2的解析式； （2）若点P是x轴上一动点，且满足∠CPA=∠OBA，求出所有满足条件的P点坐标； （3）在第四象限内抛物线y2上，是否存在点Q，使得△QOC中OC边上的高h有最大值？若存在，请求出点Q的坐标及h的最大值；若不存在，请说明理由．
考点： 二次函数综合题． 专题： 代数几何综合题；压轴题；探究型；数形结合． 分析： （1）写出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可； （2）根据抛物线解析式求出点A、B的坐标，然后求出∠OBA=45°，再联立两抛物线解析式求出交点C的坐标，再根据∠CPA=∠OBA分点P在点A的左边和右边两种情况求解； （3）先求出直线OC的解析式为y=x，设与OC平行的直线y=x+b，与抛物线y2联立消掉y得到关于x的一元二次方程，再根据与OC的距离最大时方程有且只有一个根，然后利用根的判别式△=0列式求出b的值，从而得到直线的解析式，再求出与x轴的交点E的坐标，得到OE的长度，再过点C作CD⊥x轴于D，然后根据∠COD的正弦值求解即可得到h的值． 2解答： 解：（1）抛物线y1=x﹣1向右平移4个单位的顶点坐标为（4，﹣1）， 所以，抛物线y2的解析式为y2=（x﹣4）﹣1； （2）x=0时，y=﹣1， 2y=0时，x﹣1=0，解得x1=1，x2=﹣1， 所以，点A（1，0），B（0，﹣1）， ∴∠OBA=45°， 联立， 2解得， ∴点C的坐标为（2，3）， ∵∠CPA=∠OBA， ∴点P在点A的左边时，坐标为（﹣1，0）， 在点A的右边时，坐标为（5，0）， 所以，点P的坐标为（﹣1，0）或（5，0）； （3）存在．
组卷二次函数中等题31-60 ∵点C（2，3）， ∴直线OC的解析式为y=x， 设与OC平行的直线y=x+b， 联立2， 消掉y得，2x﹣19x+30﹣2b=0， 当△=0，方程有两个相等的实数根时，△QOC中OC边上的高h有最大值， 此时x1=x2=×（﹣此时y=（2）=， ， ﹣4）﹣1=﹣∴存在第四象限的点Q（2，﹣），使得△QOC中OC边上的高h有最大值， 此时△=19﹣4×2×（30﹣2b）=0， 解得b=﹣， ， ∴过点Q与OC平行的直线解析式为y=x﹣令y=0，则x﹣=0，解得x=， ，0）， 设直线与x轴的交点为E，则E（过点C作CD⊥x轴于D，根据勾股定理，OC=则sin∠COD=解得h最大==×， =． =， 点评： 本题是二次函数综合题型，主要考查了利用平移变换确定二次函数解析式，联立两函数解析式求交点坐标，等腰三角形的判定与性质，（3）判断出与OC平行的直线与抛物线只有一个交点时OC边上的高h最大是解题的关键，也是本题的难点． 组卷二次函数中等题 难度
5
级
组卷二次函数中等题31-60
58．（2013?宜昌）如图1，平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边BC在x轴正半轴上滑动，点C的坐标为（t，0），直角边AC=4，经过O，C两点做抛物线y1=ax（x﹣t）（a为常数，a＞0），该抛物线与斜边AB交于点E，直线OA：y2=kx（k为常数，k＞0）
（1）填空：用含t的代数式表示点A的坐标及k的值：A （t，4） ，k= （2）随着三角板的滑动，当a=时：
①请你验证：抛物线y1=ax（x﹣t）的顶点在函数y=
的图象上；
（k＞0） ；
②当三角板滑至点E为AB的中点时，求t的值；
（3）直线OA与抛物线的另一个交点为点D，当t≤x≤t+4，|y2﹣y1|的值随x的增大而减小，当x≥t+4时，|y2﹣y1|的值随x的增大而增大，求a与t的关系式及t的取值范围． 考点： 二次函数综合题． 专题： 压轴题． 分析： （1）根据题意易得点A的横坐标与点C的相同，点A的纵坐标即是线段AC的长度；把点A的坐标代入直线OA的解析式来求k的值； （2）①求得抛物线y1的顶点坐标，然后把该坐标代入函数y=即表示该顶点在函数y=图象上；反之，该顶点不在函数y=，若该点满足函数解析式y=图象上； ，②如图1，过点E作EK⊥x轴于点K．则EK是△ACB的中位线，所以根据三角形中位线定理易求点E的坐标，把点E的坐标代入抛物线y1=x（x﹣t）即可求得t=2； （3）如图2，根据抛物线与直线相交可以求得点D横坐标是关系式． 解答： 解：（1）∵点C的坐标为（t，0），直角边AC=4， ∴点A的坐标是（t，4）． 又∵直线OA：y2=kx（k为常数，k＞0）， ∴4=kt，则k=（k＞0）． （2）①当a=时，y1=x（x﹣t），其顶点坐标为（，﹣对于y=来说，当x=时，y=×=﹣）． ）在抛物线y=上． +4．则t+4=+4，由此可以求得a与t的，即点（，﹣故当a=时，抛物线y1=ax（x﹣t）的顶点在函数y= ②如图1，过点E作EK⊥x轴于点K．
的图象上；