22baa999b999ab19981998999999所以 ()＋()＝()＋()＝()＋()＝ω
a?bbaa?babab999＋
?999＝2 。
【注】 本题通过配方，简化了所求的表达式；巧用1的立方虚根，活用ω的性质，
计算表达式中的高次幂。一系列的变换过程，有较大的灵活性，要求我们善于联想和展开。
【另解】由a＋ab＋b＝0变形得：(
22a2ab?1?3i)＋()＋1＝0 ，解出＝后，bba2a999b999化成三角形式，代入所求表达式的变形式()＋()后，完成后面的运算。此方法
ba?1?3i用于只是未联想到ω时进行解题。
2假如本题没有想到以上一系列变换过程时，还可由a＋ab＋b＝0解出：a＝
22?1?3ib，直接代入所求表达式，进行分式化简后，化成复数的三角形式，利用棣莫2佛定理完成最后的计算。
Ⅲ、巩固性题组：
1. 函数y＝(x－a)＋(x－b) （a、b为常数）的最小值为_____。
222a?b(a?b)A. 8 B. C. D.最小值不存在
22222. α、β是方程x－2ax＋a＋6＝0的两实根，则(α-1) +(β-1)的最小值是
_____。
A. －494 B. 8 C. 18 D.不存在
3. 已知x、y∈R，且满足x＋3y－1＝0，则函数t＝2＋8有_____。
A.最大值22 B.最大值2 C.最小值22 B.最小值2
22?xy2224. 椭圆x－2ax＋3y＋a－6＝0的一个焦点在直线x＋y＋4＝0上，则a＝_____。
A. 2 B. －6 C. －2或－6 D. 2或6
222 - 6 -
5. 化简：21?sin8＋2?2cos8的结果是_____。
A. 2sin4 B. 2sin4－4cos4 C. －2sin4 D. 4cos4－2sin4 6. 设F1和F2为双曲线x－y＝1的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F1PF2＝
22490°，则△F1PF2的面积是_________。
27. 若x>－1，则f(x)＝x＋2x＋1的最小值为___________。
x?18. 已知?〈β<α〈3π，cos(α-β)＝12，sin(α+β)＝－3，求sin2α的值。(92
24135年高考题)
9. 设二次函数f(x)＝Ax＋Bx＋C，给定m、n（m ① 解不等式f(x)>0； ② 是否存在一个实数t，使当t∈(m+t,n-t)时，f(x)<0 ？若不存在，说出理由；若存在，指出t的取值范围。 10. 设s>1，t>1，m∈R，x＝logst＋logts，y＝logst＋logts＋m(logst＋logts), ① 将y表示为x的函数y＝f(x)，并求出f(x)的定义域； ② 若关于x的方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求m的取值范围。 44222222222 - 7 - 二、换元法 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。 换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。 它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。 换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4＋2－2≥0，先变形为设2＝t（t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。 三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y＝x＋1?x的值域时，易发现x∈[0,1]， xxx?设x＝sinα ，α∈[0,]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设， 22其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x＋y＝r（r>0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。 222SS均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝＋t，y＝－t等等。 22我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变 量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的t>0和α∈[0, ?]。 2Ⅰ、再现性题组： 1.y＝sinx2cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。 2.设f(x＋1)＝loga(4－x) （a>1），则f(x)的值域是_______________。 3.已知数列{an}中，a1＝－1，an?12an＝an?1－an，则数列通项an＝___________。 4.设实数x、y满足x＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是___________。 224 - 8 - 1?3?x5.方程＝3的解是_______________。 1?3x6.不等式log2(2－1) 2log2(2 xx?1－2)〈2的解集是_______________。 1t2【简解】1小题：设sinx+cosx＝t∈[－2,2]，则y＝＋t－，对称轴t＝－1， 22当t＝2，ymax＝ 21＋2； 222小题：设x＋1＝t (t≥1)，则f(t)＝loga[-(t-1)＋4]，所以值域为(－∞,loga4]； 3小题：已知变形为 1an?1－ 11＝－1,设bn＝，则b1＝－1,bn＝－1＋(n－1)(-1)anan＝－n，所以an＝－ 1； n224小题：设x＋y＝k，则x－2kx＋1＝0, △＝4k－4≥0,所以k≥1或k≤－1； 5小题：设3＝y，则3y＋2y－1＝0,解得y＝ xx21，所以x＝－1； 35,log23)。 46小题：设log2(2－1)＝y，则y(y＋1)<2，解得－2 例1. 实数x、y满足4x－5xy＋4y＝5 （ ①式） ，设S＝x＋y，求 22221Smax＋ 1Smin的值。（全国高中数学联赛题） 【分析】 由S＝x＋y联想到cosα＋sinα＝1,于是进行三角换元，设 2222??x?Scosα代入①式求Smax和Smin的值。 ???y?Ssinα??x?Scosα【解】设?代入①式得： 4S－5S2sinαcosα＝5 ??y?Ssinα - 9 - 解得 S＝ 10 ； 8?5sin2α101010≤≤ 138?5sin?3∵ -1≤sin2α≤1 ∴ 3≤8－5sin2α≤13 ∴ ∴ 1Smax＋ 1Smin＝ 313168＋＝＝ 1010105此种解法后面求S最大值和最小值，还可由sin2α＝不等式：| 8S?10的有界性而求，即解S8S?10|≤1。这种方法是求函数值域时经常用到的“有界法”。 S222SSSS2【另解】 由S＝x＋y，设x＝＋t，y＝－t，t∈[－，]， 2222S2S22则xy＝±－t代入①式得：4S±5－t2=5， 44移项平方整理得 100t+39S－160S＋100＝0 。 ∴ 39S－160S＋100≤0 解得： 2221010≤S≤ 133∴ 1Smax＋ 1Smin＝ 313168＋＝＝ 101010522【注】 此题第一种解法属于“三角换元法”，主要是利用已知条件S＝x＋y与三角公式cosα＋sinα＝1的联系而联想和发现用三角换元，将代数问题转化为三角函数值域问题。第二种解法属于“均值换元法”，主要是由等式S＝x＋y而按照均值换元的思路，设x＝S＋t、y＝S－t，减少了元的个数，问题且容易求解。另外，还用 22222222到了求值域的几种方法：有界法、不等式性质法、分离参数法。 和“均值换元法”类似，我们还有一种换元法，即在题中有两个变量x、y时，可以设x＝a＋b，y＝a－b，这称为“和差换元法”，换元后有可能简化代数式。本题设x＝a - 10 -