本题另一种解题思路是使用数形结合法的思想方法：在平面直角坐标系，不等式ax＋by＋c>0 (a>0)所表示的区域为直线ax＋by＋c＝0所分平面成两部分中含x轴正方向的一部分。此题不等式恒成立问题化为图形问题：椭圆上的点始终位于平面上x＋y－k>0的区域。即当直线x＋y－k＝0在与椭圆下部相切的切线之下时。当直线与椭圆相切时，方程组
?16(x?1)2?9(y?1)2?144有相等的一组实数解，消元后??x?y?k?0由△＝0可求得k＝－3,所以k<-3时原不等式恒成立。
Ⅲ、巩固性题组：
1. 已知f(x)＝lgx (x>0)，则f(4)的值为_____。
3 y x x＋y－k>0 k 平面区域
A. 2lg2 B. 1lg2 C. 2lg2 D. 2lg4
3332. 函数y＝(x＋1)＋2的单调增区间是______。
A. [-2,+∞) B. [-1,+∞) D. (-∞,+∞) C. (-∞,-1]
3. 设等差数列{an}的公差d＝1，且S100＝145，则a1＋a3＋a5＋??＋a99的值
24为_____。
A. 85 B. 72.5 C. 60 D. 52.5 4. 已知x＋4y＝4x，则x＋y的范围是_________________。
5. 已知a≥0，b≥0，a＋b＝1，则a?1＋b?1的范围是____________。
22226. 不等式x>ax＋3的解集是(4,b)，则a＝________，b＝_______。
27. 函数y＝2x＋x?1的值域是________________。
8. 在等比数列{an}中，a1＋a2＋?＋a10＝2，a11＋a12＋?＋a30＝12，求a31＋a32＋?＋a60。
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9. 实数m在什么范围内取值，对任意实数x，不等式
y D C A B 210. 已知矩形ABCD，顶点C(4,4)，A点在曲线x＋
O x 2y＝2 (x>0,y>0)上移动，且AB、AD始终平行x轴、y轴，求矩形ABCD的最小面积。
sinx＋2mcosx＋4m－1<0恒成立。
2
三、待定系数法
要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)?g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)?g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。
待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。
使用待定系数法，它解题的基本步骤是：
第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；
第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程； 第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。 如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析： ① 利用对应系数相等列方程； ② 由恒等的概念用数值代入法列方程； ③ 利用定义本身的属性列方程； ④ 利用几何条件列方程。 比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式，其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程。
Ⅰ、再现性题组：
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x?1＋m，f(x)的反函数f(x)＝nx－5，那么m、n的值依次为_____。 25555A. , －2 B. － ， 2 C. , 2 D. － ，－2
22221122. 二次不等式ax＋bx＋2>0的解集是(－,)，则a＋b的值是_____。
231. 设f(x)＝
A. 10 B. －10 C. 14 D. －14 3. 在(1－x)（1＋x）的展开式中，x的系数是_____。 A. －297 B.－252 C. 297 D. 207 4. 函数y＝a－bcos3x (b<0)的最大值为
310531，最小值为－，则y＝－4asin3bx的最22小正周期是_____。
5. 与直线L：2x＋3y＋5＝0平行且过点A(1,-4)的直线L’的方程是_______________。
y26. 与双曲线x－＝1有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的方程是
42____________。
x?1＋m求出f(x)＝2x－2m，比较系数易求，选C； 2111122小题：由不等式解集(－,)，可知－、是方程ax＋bx＋2＝0的两根，代
2323【简解】1小题：由f(x)＝
入两根，列出关于系数a、b的方程组，易求得a＋b，选D；
523小题：分析x的系数由C10与(－1)C10两项组成，相加后得x的系数，选D；
554小题：由已知最大值和最小值列出a、b的方程组求出a、b的值，再代入求得答案
2?； 35小题：设直线L’方程2x＋3y＋c＝0，点A(1,-4)代入求得C＝10，即得2x＋3y＋10＝0；
x2y2y26小题：设双曲线方程x－＝λ，点(2,2)代入求得λ＝3，即得方程－＝
431221。
Ⅱ、示范性题组：
mx2?43x?n例1. 已知函数y＝的最大值为7，最小值为－1，求此函数式。
x2?1 - 18 -
【分析】求函数的表达式，实际上就是确定系数m、n的值；已知最大值、最小值实际是就是已知函数的值域，对分子或分母为二次函数的分式函数的值域易联想到“判别式法”。
【解】 函数式变形为： (y－m)x－43x＋(y－n)＝0， x∈R, 由已知得y－m≠0
∴ △＝(－43)－4(y－m)(y－n)≥0 即： y－(m＋n)y＋(mn－12)≤0 ① 不等式①的解集为(-1,7)，则－1、7是方程y－(m＋n)y＋(mn－12)＝0的两根，
2222代入两根得：??m?5?m?1?1?(m?n)?mn?12?0 解得：?或?
?n?1?n?5?49?7(m?n)?mn?12?05x2?43x?1x2?43x?5∴ y＝或者y＝
x2?1x2?1此题也可由解集(-1,7)而设(y＋1)(y－7)≤0,即y－6y－7≤0，然后与不等式①比较
2?m?n?6系数而得：?，解出m、n而求得函数式y。
mn?12??7?【注】 在所求函数式中有两个系数m、n需要确定，首先用“判别式法”处理函数
值域问题，得到了含参数m、n的关于y的一元二次不等式，且知道了它的解集，求参数m、n。两种方法可以求解，一是视为方程两根，代入后列出m、n的方程求解；二是由已知解集写出不等式，比较含参数的不等式而列出m、n的方程组求解。本题要求对一元二次不等式的解集概念理解透彻，也要求理解求函数值域的“判别式法”：将y视为参数，函数式化成含参数y的关于x的一元二次方程，可知其有解，利用△≥0,建立了关于参数y的不等式，解出y的范围就是值域，使用“判别式法”的关键是否可以将函数化成一个一元二次方程。
例2. 设椭圆中心在(2,-1)，它的一个焦点与短轴两端连线互相垂直，且此焦点与长轴较近的端点距离是10－5，求椭圆的方程。
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【分析】求椭圆方程，根据所给条件，确定几何数据a、b、c之值，问题就全部解决了。设a、b、c后，由已知垂直关系而联想到勾股定理建立一
y B’ 个方程，再将焦点与长轴较近端点的距离转化为a－c的值后列
x 出第二个方程。
【解】 设椭圆长轴2a、短轴2b、焦距2c，则|BF’|＝a
A F O’ F’ A’
222?a?b?c ?a?10?2? ∴ ?a?a2?(2b)2 解得：? B
??a?c?10?5??b?5x2y2 ∴ 所求椭圆方程是：＋＝1
105也可有垂直关系推证出等腰Rt△BB’F’后，由其性质推证出等腰Rt△B’O’F’，再进行
?b?c?如下列式： ?a?c?10?5 ，更容易求出a、b的值。
?222a?b?c?【注】 圆锥曲线中，参数（a、b、c、e、p）的确定，是待定系数法的生动体现；
如何确定，要抓住已知条件，将其转换成表达式。在曲线的平移中，几何数据（a、b、c、e）不变，本题就利用了这一特征，列出关于a－c的等式。
一般地，解析几何中求曲线方程的问题，大部分用待定系数法，基本步骤是：设方程（或几何数据）→几何条件转换成方程→求解→已知系数代入。
例3. 是否存在常数a、b、c，使得等式122＋223＋?＋n(n＋1)＝
222n(n?1)2(an12＋bn＋c)对一切自然数n都成立？并证明你的结论。 （89年全国高考题）
【分析】是否存在，不妨假设存在。由已知等式对一切自然数n都成立，取特殊值n＝1、2、3列出关于a、b、c的方程组，解方程组求出a、b、c的值，再用数学归纳法证明等式对所有自然数n都成立。
【解】假设存在a、b、c使得等式成立，令：n＝1，得4＝22＝
1(a＋b＋c)；n＝2，得61(4a＋2b＋c)；n＝3，得70＝9a＋3b＋c。整理得： 2?a?b?c?24?a?3??4a?2b?c?44,解得??b?11， ?9a?3b?C?70?c?10??于是对n＝1、2、3，等式122＋223＋?＋n(n＋1)＝
222n(n?1)2(3n＋11n＋1210)成立，下面用数学归纳法证明对任意自然数n，该等式都成立：
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