【分析】由a＋b＋c＝1 想到“均值换元法”，于是引入了新的参数，即设a＝t1，b＝
1＋311222＋t2，c＝＋t3，代入a＋b＋c可求。 33111【解】由a＋b＋c＝1，设a＝＋t1，b＝＋t2，c＝＋t3，其中t1＋t2＋t3＝0，
33311112222222∴ a＋b＋c＝（＋t1）＋（＋t2）＋(＋t3)＝＋(t1＋t2＋t3)＋
3333311222222t1＋t2＋t3＝＋t1＋t2＋t3≥
331222所以a＋b＋c的最小值是。
3【注】由“均值换元法”引入了三个参数，却将代数式的研究进行了简化，是本题此种解法的一个技巧。
本题另一种解题思路是利用均值不等式和“配方法”进行求解，解法是：a＋b＋c＝(a＋b＋c)－2(ab＋bc＋ac)≥1－2(a＋b＋c)，即a＋b＋c≥
22222222221。 3两种解法都要求代数变形的技巧性强，多次练习，可以提高我们的代数变形能力。
x2y2例2. 椭圆＋＝1上有两点P、Q，O为原点。连OP、OQ，若kOP2kOQ＝
164－
1 ， 422 ①．求证：|OP|＋|OQ|等于定值； ②.求线段PQ中点M的轨迹方程。
?x?4cosθ【分析】 由“换元法”引入新的参数，即设?（椭圆参数方程），参数
?y?2sinθθ
1、θ
2为P、Q两点，先计算kOP2kOQ得出一个结论，再计算|OP|＋|OQ|，并运
22用“参数法”求中点M的坐标，消参而得。
?x?4cosθx2y2【解】由＋＝1，设?，P(4cosθ1,2sinθ1)，Q(4cosθ2,2sin
164?y?2sinθθ
2),
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E cosθ1 cosθ2＋sinθ1 sinθ2＝0,即cos（θ1－θ
D C O F ）＝0。 2 A B ∴ |OP|＋|OQ|＝16cosθ16cosθ
22222sin?12sin?21则kOP2kOQ＝＝－，整理得到：?
44cos?14cos?2 S 1＋4sinθ
221＋
2＋4sin
2θ
2＝8＋12(cos
2θ
1＋cos
θ
（cos2θ1＋cos2θ2)＝202)＝20＋6
＋12cos（θ
21＋θ2）cos（θ1－θ2）＝20，
即|OP|＋|OQ|等于定值20。
2?xM?2(cos?1?cos?2)由中点坐标公式得到线段PQ的中点M的坐标为?，
y?sin??sin?12?Mx22所以有()＋y＝2＋2(cosθ1 cosθ2＋sinθ1 sinθ2)＝2,
2x2y2即所求线段PQ的中点M的轨迹方程为＋＝1。
82【注】由椭圆方程，联想到a＋b＝1,于是进行“三角换元”，通过换元引入新的参数，转化成为三角问题进行研究。本题还要求能够熟练使用三角公式和“平方法”，
在由中点坐标公式求出M点的坐标后，将所得方程组稍作变形，再平方相加，即（cosθ
1＋
22cosθ
2）
2＋（sinθ
1＋sinθ2）
2，这是求点M轨迹方程“消参法”的关键一步。
一般地，求动点的轨迹方程运用“参数法”时，我们可以将点的x、y坐标分别表示成为一个或几个参数的函数，再运用“消去法”消去所含的参数，即得到了所求的轨迹方程。
本题的第一问，另一种思路是设直线斜率k，解出P、Q两点坐标再求：
设直线OP的斜率k，则OQ的斜率为－点有：
1，由椭圆与直线OP、OQ相交于PQ两4k?x2?4y2?16?0422，消y得(1＋4k)x＝16,即|xP|＝； ?2y?kx1?4k? - 37 -
?x2?4y2?16?01|8k|?2，消y得(1＋)x＝16，即|x|＝； ?12Q24k1?4k?y??4kx?所以|OP|＋|OQ|＝(1?k2?
2241?4k2)＋（1?21|8k|2） ?216k1?4k220?80k222＝＝20。即|OP|＋|OQ|等于定值20。 21?4k在此解法中，利用了直线上两点之间的距离公式|AB|＝1?kAB2?|xA－xB|求|OP|
和|OQ|的长。
例3.已知正四棱锥S—ABCD的侧面与底面的夹角为β，相邻两侧面的夹角为α,求证：cosα=-cosβ。
【分析】要证明cosα=-cosβ，考虑求出α、β的余弦，则在α和β所在的三角形中利用有关定理求解。
【解】连AC、BD交于O，连SO；取BC中点F，连SF、OF；作BE⊥SC于E，连DE。则∠SFO＝β，∠DEB＝α。
设BC＝a (为参数)， 则SF＝
22OFa＝,
cosβ2cosβSC＝SF2?FC2＝(aa22)?()
2cosβ2＝
a2cosβ1?cos2β
1a1?cos2?2cos?SF2BCa2又 ∵BE＝＝?
SC2cosβ＝
a1?cos?2
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a222??2a2BE2?BD21?cos2?在△DEB中，由余弦定理有：cosα＝＝＝－
2BE2a22?1?cos2?cosβ。
所以cosα＝－cosβ。
【注】 设参数a而不求参数a，只是利用其作为中间变量辅助计算，这也是在参数法中参数可以起的一个作用，即设参数辅助解决有关问题。
Ⅲ、巩固性题组：
1. 已知复数z满足|z|≤1，则复数z＋2ｉ在复平面上表示的点的轨迹是________________。
2. 函数y＝x＋2＋1?4x?x2的值域是________________。
3. 抛物线y＝x－10xcosθ＋25＋3sinθ－25sinθ与x轴两个交点距离的最大值为_____
A. 5 B. 10 C. 23 D. 3
4. 过点M(0,1)作直线L，使它与两已知直线L1：x－3y＋10＝0及L2：2x＋y－8＝0所截得的线段被点P平分，求直线L方程。 5. 求半径为R的球的内接圆锥的最大体积。
6. f(x)＝(1－acosx)sinx，x∈[0,2π)，求使f(x)≤1的实数a的取值范围。
222222232
2a?12a(a?1)7. 若关于x的方程2x＋xlg＋lg()＋lg2＝0有模为1的虚根，求3a?12a8a2实数a的值及方程的根。
8. 给定的抛物线y＝2px (p>0)，证明：在x轴的正向上一定存在一点M，使得对于抛物线的任意一条过点M的弦PQ，有
1＋1为定值。
|MP|2|MQ|22
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七、反证法
与前面所讲的方法不同，反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得。法国数学家阿达玛(Hadamard)对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。具体地讲，反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。
反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾
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