(2k?3)2?12【注】 把要证的等式Sk?1＝作为目标，先通分使分母含有(2k＋3)，2(2k?3)再考虑要约分，而将分子变形，并注意约分后得到（2k＋3）－1。这样证题过程中简洁一些，有效地确定了证题的方向。本题的思路是从试验、观察出发，用不完全归纳法作出归纳猜想，再用数学归纳法进行严格证明，这是关于探索性问题的常见证法，在数列问题中经常见到。 假如猜想后不用数学归纳法证明，结论不一定正确，即使正确，解答过程也不严密。必须要进行三步：试值 → 猜想 → 证明。
【另解】 用裂项相消法求和：
21182n由an＝＝－得，
(2n?1)2(2n?1)22(2n?1)2(2n?1)2Sn＝（1－
111111）＋（－）＋??＋－＝1－ 323252(2n?1)2(2n?1)2(2n?1)2(2n?1)2?1＝。
(2n?1)2此种解法与用试值猜想证明相比，过程十分简单，但要求发现
82n＝
(2n?1)22(2n?1)211－的裂项公式。可以说，用试值猜想证明三步解题，具有一般性。
(2n?1)2(2n?1)21例2. 设an＝132＋233＋?＋n(n?1) (n∈N),证明：n(n＋
2121)
2【分析】与自然数n有关，考虑用数学归纳法证明。n＝1时容易证得，n＝k＋1时，因为ak?1＝ak＋(k?1)(k?2),所以在假设n＝k成立得到的不等式中同时加上
(k?1)(k?2)，再与目标比较而进行适当的放缩求解。
【解】 当n＝1时，an＝2，∴ n＝1时不等式成立。
1112n(n+1)＝， (n+1)＝2 ， 222112假设当n＝k时不等式成立，即：k(k＋1)
22
- 31 -
112k(k＋1)＋(k?1)(k?2)k(k＋1)＋(k＋1)＝(k＋1)(k＋3)>(k＋1)(k＋2)， 2222111132222(k＋1)＋(k?1)(k?2)＝(k＋1)＋k?3k?2<(k＋1)＋(k＋)＝(k22222当n＝k＋1时，＋2)，
2112(k＋1)(k＋2)
22所以
【注】 用数学归纳法解决与自然数有关的不等式问题，注意适当选用放缩法。本题中分别将(k?1)(k?2)缩小成(k＋1)、将(k?1)(k?2)放大成(k＋
3)的两步放缩是2证n＝k＋1时不等式成立的关键。为什么这样放缩，而不放大成(k＋2)，这是与目标比较后的要求，也是遵循放缩要适当的原则。
本题另一种解题思路是直接采用放缩法进行证明。主要是抓住对n(n?1)的分析，注意与目标比较后，进行适当的放大和缩小。解法如下：由n(n?1)>n可得，an>1＋2＋3＋?＋n＝
111n(n＋1)；由n(n?1)
【分析】 要证明{an}是等差数列，可以证明其通项符合等差数列的通项公式的形式，即证：an＝a1＋(n－1)d 。命题与n有关，考虑是否可以用数学归纳法进行证明。
【解】 设a2－a1＝d，猜测an＝a1＋(n－1)d 当n＝1时，an＝a1， ∴ 当n＝1时猜测正确。
当n＝2时，a1＋(2－1)d＝a1＋d＝a2， ∴当n＝2时猜测正确。
- 32 -
假设当n＝k（k≥2）时，猜测正确，即：ak＝a1＋(k－1)d ， 当n＝k＋1时，ak?1＝Sk?1－Sk＝
(k?1)(a1?ak?1)k(a1?ak)－，
22将ak＝a1＋(k－1)d代入上式， 得到2ak?1＝(k＋1)(a1＋ak?1)－2ka1－k(k－1)d， 整理得(k－1)ak?1＝(k－1)a1＋k(k－1)d，
因为k≥2,所以ak?1＝a1＋kd，即n＝k＋1时猜测正确。
综上所述，对所有的自然数n，都有an＝a1＋(n－1)d，从而{an}是等差数列。 【注】 将证明等差数列的问题转化成证明数学恒等式关于自然数n成立的问题。在证明过程中ak?1的得出是本题解答的关键，利用了已知的等式Sn＝
n(a1?an)、数列2中通项与前n项和的关系ak?1＝Sk?1－Sk建立含ak?1的方程，代入假设成立的式子ak＝a1＋(k－1)d解出来ak?1。另外本题注意的一点是不能忽视验证n＝1、n＝2的正确性，用数学归纳法证明时递推的基础是n＝2时等式成立，因为由(k－1)ak?1＝(k－1)a1＋k(k－1)d得到ak?1＝a1＋kd的条件是k≥2。
【另解】 可证an?1 －an＝ an－ an?1对于任意n≥2都成立：当n≥2时，an＝
n(a1?an)(n?1)(a1?an?1)Sn－Sn?1＝－；同理有an?1＝Sn?1－Sn＝
22(n?1)(a1?an?1)n(a1?an)(n?1)(a1?an?1)－；从而an?1－an＝－n(a1＋an)＋
222(n?1)(a1?an?1)，整理得an?1 －an＝ an－ an?1，从而{an}是等差数列。
2一般地，在数列问题中含有an与Sn时，我们可以考虑运用an＝Sn－Sn?1的关系，并注意只对n≥2时关系成立，象已知数列的Sn求an一类型题应用此关系最多。
Ⅲ、巩固性题组： 1. 用数学归纳法证明：6
2n?1＋1 (n∈N)能被7整除。
- 33 -
2. 用数学归纳法证明： 134＋237＋3310＋?＋n(3n＋1)＝n(n＋1) (n∈N)。 3. n∈N，试比较2与(n＋1)的大小，并用证明你的结论。 4.
用数学归纳法证明等式：cosx2cosx22cosx32?2cosxn＝
22n2222sinx2n2sinx2n (81
年全国高考)
5. 用数学归纳法证明： |sinnx|≤n|sinx| （n∈N）。 （85年广东高考）
6. 数列{an}的通项公式an＝
1 (n∈N)，设f(n)＝(1－a1)(1－a2)?(1－an)，2(n?1)试求f(1)、f(2)、f(3)的值，推测出f(n)的值，并用数学归纳法加以证明。
7. n∈N)。
①．求a2和a3； ②.猜测an，并用数学归纳法证明你的猜测。
8. 设f(logax)＝a(x2?1) , ①.求f(x)的定义域； ②.在y＝f(x)的图像上是否存在两
x(a?1)2已知数列{an}满足a1＝1，an＝an?1cosx＋cos[(n－1)x]， (x≠kπ，n≥2且
个不同点，使经过这两点的直线与x轴平行？证明你的结论。 ③.求证：f(n)>n (n>1且n∈N)
六、参数法
参数法是指在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量（参数），以此作为媒介，再进行分析和综合，从而解决问题。直线与二次曲线的参数方程都是用参数法解题的例证。换元法也是引入参数的典型例子。
辨证唯物论肯定了事物之间的联系是无穷的，联系的方式是丰富多采的，科学的任务就是要揭示事物之间的内在联系，从而发现事物的变化规律。参数的作用就是刻画事物的变化状态，揭示变化因素之间的内在联系。参数体现了近代数学中运动与变化的思想，其观点已经渗透到中学数学的各个分支。运用参数法解题已经比较普遍。
参数法解题的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知和未知之间的内在联系，利用参数提供的信息，顺利地解答问题。
Ⅰ、再现性题组：
1. 设2＝3＝5>1，则2x、3y、5z从小到大排列是________________。
xyz - 34 -
??x??2?2t2. （理）直线?上与点A(-2,3)的距离等于2的点的坐标是________。
??y?3?2t （文）若k<－1，则圆锥曲线x－ky＝1的离心率是_________。
3. 点Z的虚轴上移动，则复数C＝z＋1＋2ｉ在复平面上对应的轨迹图像为____________________。
4. 三棱锥的三个侧面互相垂直，它们的面积分别是6、4、3，则其体积为______。 5. 设函数f(x)对任意的x、y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，则f(x)的R上是______函数。(填“增”或“减”)
222x2y26. 椭圆＋＝1上的点到直线x＋2y－2＝0的最大距离是_____。
164 A. 3 B.
x11 C. 10 D. 22
y【简解】1小题：设2＝3＝5＝t，分别取2、3、5为底的对数，解出x、y、z，再用“比较法”比较2x、3y、5z，得出3y<2x<5z；
2小题：（理）A(-2,3)为t＝0时，所求点为t＝±2时，即(-4,5)或(0,1)；（文）已知曲线为椭圆，a＝1，c＝1?z11，所以e＝－
kk2k2?k；
3小题：设z＝bｉ，则C＝1－b＋2ｉ，所以图像为：从(1,2)出发平行于x轴向右的射线；
4小题：设三条侧棱x、y、z，则
111xy＝6、yz＝4、xz＝3,所以xyz＝24,体积为2224。
5小题：f(0)＝0，f(0)＝f(x)＋f(-x)，所以f(x)是奇函数，答案：减；
|4sin??4cos??2|6小题：设x＝4sinα、y＝2cosα，再求d＝的最大值，选
5C。
Ⅱ、示范性题组：
例1. 实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，求a＋b＋c的最小值。
222 - 35 -