＋b，y＝a－b，代入①式整理得3a＋13b＝5 ，求得a∈[0,
22222252]，所以S＝(a－b)3＋(a＋b)＝2(a＋b)＝
10202101011＋a∈[,]，再求＋的值。 1313133SmaxSmin112例2． △ABC的三个内角A、B、C满足：A＋C＝2B，＋＝－，
cosAcosCcosB求cos
A?C的值。（96年全国理） 2【分析】 由已知“A＋C＝2B”和“三角形内角和等于180°”的性质，可得
?A?C?120°?A＝60°?α；由“A＋C＝120°”进行均值换元，则设? ，再代入??B＝60°?C＝60°－α可求cosα即cos
A?C。 2【解】由△ABC中已知A＋C＝2B，可得 ??A?C?120°?B＝60°,
?A＝60°?α由A＋C＝120°，设?，代入已知等式得：
C＝60°－α?11111＋＝＋＝＋
cosAcosCcos(60???)cos(60???)13cos??sin?22113cos??sin?22解得：cosα＝
＝
cos?cos?＝＝－22,
133cos2??sin2?cos2??444A?C22， 即：cos＝。
222【另解】由A＋C＝2B，得A＋C＝120°，B＝60°。所以
112＋＝－ cosAcosCcosB11＝－22，设＝－2＋m，＝－2－m ，
cosAcosC
- 11 -
所以cosA＝
11，cosC＝，两式分别相加、相减得：
?2?m?2?mA?CA?CA?C22cos＝cos＝2， 222m?2A?CA?CA?C2msin＝－3sin＝2， 222m?2cosA＋cosC＝2cos
cosA－cosC＝－2sin
即：sin
A?C222m2A?C2A?C＝－，＝－，代入sin＋cos＝1整
222m2?23(m2?2)42理得：3m－16m－12＝0,解出m＝6，代入cos
A?C222＝2＝。 22m?2【注】 本题两种解法由“A＋C＝120°”、“
11＋＝－22”分别进行cosAcosC均值换元，随后结合三角形角的关系与三角公式进行运算，除由已知想到均值换元外，还要求对三角公式的运用相当熟练。假如未想到进行均值换元，也可由三角运算直接解出：由A＋C＝2B，得A＋C＝120°，B＝60°。所以
112＋＝－＝－cosAcosCcosB22，即cosA＋cosC＝－22cosAcosC，和积互化得：
2cos
A?CA?Ccos＝－222[cos(A+C)＋cos(A-C)，即cos
A?C2＝－22A?C22A?C2A?C－2(2cos－1)，整理得：42cos＋2cos2cos(A-C)＝
2222－32＝0,
解得：cos
A?C2＝ 222例3. 设a>0，求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx2cosx－2a的最大值和最小值。
y , , －2 2 x - 12 -
【解】 设sinx＋cosx＝t，则t∈[-2,2]，由(sinx＋cosx)＝1＋2sinx2cosx得：
2t2?1sinx2cosx＝
2112∴ f(x)＝g(t)＝－(t－2a)＋ （a>0），t∈[-2,2]
2212t＝-2时，取最小值：－2a－22a－
212当2a≥2时，t＝2，取最大值：－2a＋22a－ ；
21当0<2a≤2时，t＝2a，取最大值： 。
2?12(0?a?)?1?222∴ f(x)的最小值为－2a－22a－，最大值为?。
212?2?2a?22a?(a?)?22?【注】 此题属于局部换元法，设sinx＋cosx＝t后，抓住sinx＋cosx与sinx2cosx
的内在联系，将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题，使得容易求解。换元过程中一定要注意新的参数的范围（t∈[-2,2]）与sinx＋cosx对应，否则将会出错。本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法，即由对称轴与闭区间的位置关系而确定参数分两种情况进行讨论。
一般地，在遇到题目已知和未知中含有sinx与cosx的和、差、积等而求三角式的最大值和最小值的题型时，即函数为f(sinx±cosx，sinxcsox)，经常用到这样设元的换元法，转化为在闭区间上的二次函数或一次函数的研究。
4(a?1)2a(a?1)2例4. 设对所于有实数x，不等式xlog2＋2x log2＋log2>0
aa?14a22恒成立，求a的取值范围。（87年全国理）
4(a?1)2a(a?1)2【分析】不等式中log2、 log2、log2三项有何联系？进行
aa?14a2对数式的有关变形后不难发现，再实施换元法。
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【解】 设log24(a?1)2a8(a?1)a?1＝t，则log2＝log2＝3＋log2＝3－
a2aa?12a2aa?1(a?1)2log2＝3－t，log2＝2log＝－2t， 2a?12a4a2代入后原不等式简化为（3－t）x＋2tx－2t>0，它对一切实数x恒成立，所以：
2?3?t?0?t?32a，解得 ∴ t<0即log<0 ??22a?1t?0或t?6??4t?8t(3?t)?0??0<
2a<1，解得0
4(a?1)2a(a?1)2何设元，关键是发现已知不等式中log2、 log2、log2三项之间
aa?14a2的联系。在解决不等式恒成立问题时，使用了“判别式法”。另外，本题还要求对数运
算十分熟练。一般地，解指数与对数的不等式、方程，有可能使用局部换元法，换元时也可能要对所给的已知条件进行适当变形，发现它们的联系而实施换元，这是我们思考解法时要注意的一点。
sinθxcos2θ10cosθsin2θ例5. 已知＝，且＋＝ (②式)，求的
xyx2y3(x2?y2)y2值。
【解】 设
sinθcosθ22＝＝k，则sinθ＝kx，cosθ＝ky，且sinθ＋cosθ＝xyx2y210k2k2x2k2y210k(x+y)＝1,代入②式得： ＋＝＝ 即：2＋23xx23(x2?y2)y2y222＝
10 31x3x21设2＝t，则t＋＝10 , 解得：t＝3或 ∴＝±3或±
t33y3y - 14 -
xsinθcos2θ【另解】 由＝＝tgθ，将等式②两边同时除以，再表示成含tg
ycosθx2θ的式子：1＋tgθ＝(1?tg?)?42103(1?1)tg2?＝
10222tgθ，设tgθ＝t，则3t—10t3＋3＝0，
∴t＝3或
x31， 解得＝±3或±。 33ysinθcosθ＝而进行等量代换，进行换元，减少了变量的xy【注】 第一种解法由
xsinθ个数。第二种解法将已知变形为＝，不难发现进行结果为tgθ，再进行换元和
ycosθ变形。两种解法要求代数变形比较熟练。在解高次方程时，都使用了换元法使方程次数降低。
(x?1)2(y?1)2例6. 实数x、y满足＋＝1，若x＋y－k>0恒成立，求k的范围。
916(x?1)2(y?1)222【分析】由已知条件＋＝1，可以发现它与a＋b＝1有相似之处，
916于是实施三角换元。
x?1y?1(x?1)2(y?1)2【解】由＋＝1，设＝cosθ，＝sinθ，
34916?x?1?3cosθ即：? 代入不等式x＋y－k>0得：
y??1?4sinθ?3cosθ＋4sinθ－k>0，即k<3cosθ＋4sinθ＝5sin(θ+ψ) 所以k<-5时不等式恒成立。
【注】本题进行三角换元，将代数问题（或者是解析几何问题）化为了含参三角不等式恒成立的问题，再运用“分离参数法”转化为三角函数的值域问题，从而求出参数范围。一般地，在遇到与圆、椭圆、双曲线的方程相似的代数式时，或者在解决圆、椭圆、双曲线等有关问题时，经常使用“三角换元法”。
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