∴∠CED=90°． ∵OC=OE， ∴∠1=∠2．
又∵∠PED=∠C，即∠PED=∠1， ∴∠PED=∠2，
∴∠PED+∠OED=∠2+∠OED=90°，即∠OEP=90°， ∴OE⊥EP， 又∵点E在圆上， ∴PE是⊙O的切线；
（2）证明：∵AB、CD为⊙O的直径， ∴∠AEB=∠CED=90°， ∴∠3=∠4（同角的余角相等）． 又∵∠PED=∠1， ∴∠PED=∠4， 即ED平分∠BEP；
（3）解：设EF=x，则CF=2x， ∵⊙O的半径为5， ∴OF=2x﹣5，
在RT△OEF中，OE=OF+EF，即5=x+（2x﹣5）， 解得x=4， ∴EF=4，
∴BE=2EF=8，CF=2EF=8， ∴DF=CD﹣CF=10﹣8=2，
2
2
2
2
2
2
∵AB为⊙O的直径， ∴∠AEB=90°， ∵AB=10，BE=8， ∴AE=6，
∵∠BEP=∠A，∠EFP=∠AEB=90°， ∴△AEB∽△EFP， ∴
=
，即，
﹣2=
．
=，
∴PF=
∴PD=PF﹣DF=
点评： 本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理的应用，勾股定理的应用，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
26．（2015?北海）如图1所示，已知抛物线y=﹣x+4x+5的顶点为D，与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，E为对称轴上的一点，连接CE，将线段CE绕点E按逆时针方向旋转90°后，点C的对应点C′恰好落在y轴上． （1）直接写出D点和E点的坐标；
（2）点F为直线C′E与已知抛物线的一个交点，点H是抛物线上C与F之间的一个动点，若过点H作直线HG与y轴平行，且与直线C′E交于点G，设点H的横坐标为m（0＜m＜4），那么当m为何值时，S△HGF：S△BGF=5：6？
2
（3）图2所示的抛物线是由y=﹣x+4x+5向右平移1个单位后得到的，点T（5，y）在抛物线上，点P是抛物线上O与T之间的任意一点，在线段OT上是否存在一点Q，使△PQT是等腰直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2
考点： 二次函数综合题．
2
分析： （1）首先根据抛物线y=﹣x+4x+5的顶点为D，求出点D的坐标是多少即可；然后设点E的坐标是（2，m），点C′的坐标是（0，n），根据△CEC′是等腰直角三角形，求出E点的坐标是多少即可．
（2）令抛物线y=﹣x+4x+5的y=0得：x﹣4x﹣5=0可求得A、B的坐标，然后再根据S△HGF：S△BGF=5：6，得到：
，然后再证明△HGM∽△ABN，
2
22
，从而可证得，所
以HG=5，设点H（m，﹣m+4m+5），G（m，m+1），最后根据HG=5，列出关于m的方程求解即可；
（3）分别根据∠P、∠Q、∠T为直角画出图形，然后利用等腰直角三角形的性质和一次函数的图象的性质求得点Q的坐标即可．
解答： 解：（1）∵抛物线y=﹣x+4x+5=﹣（x﹣2）+9 ∴D点的坐标是（2，9）； ∵E为对称轴上的一点， ∴点E的横坐标是：﹣
=2，
2
2
设点E的坐标是（2，m），点C′的坐标是（0，n），
∵将线段CE绕点E按逆时针方向旋转90°后，点C的对应点C′恰好落在y轴上， ∴△CEC′是等腰直角三角形， ∴
解得或（舍去），
∴点E的坐标是（2，3），点C′的坐标是（0，1）．
综上，可得D点的坐标是（2，9），点E的坐标是（2，3）． （2）如图1所示：
22
令抛物线y=﹣x+4x+5的y=0得：x﹣4x﹣5=0， 解得：x1=﹣1，x2=5， 所以点A（﹣1，0），B（5，0）．
设直线C′E的解析式是y=kx+b，将E（2，3），C′（0，1），代入得解得：
，
，
∴直线C′E的解析式为y=x+1， 将y=x+1与y=﹣x+4x+5，联立得：
2
，
解得：，，
∴点F得坐标为（4，5），点A（﹣1，0）在直线C′E上． ∵直线C′E的解析式为y=x+1， ∴∠FAB=45°．
过点B、H分别作BN⊥AF、HM⊥AF，垂足分别为N、M． ∴∠HMN=90°，∠ADN=90°． 又∵∠NAD=∠HNM=45°． ∴△HGM∽△ABN ∴
，
∵S△HGF：S△BGF=5：6， ∴
．
∴，即，
∴HG=5．
设点H的横坐标为m，则点H的纵坐标为﹣m+4m+5，则点G的坐标为（m，m+1）， ∴﹣m+4m+5﹣（m+1）=5． 解得：m1=
，m2=
．
2
2
2
2
（3）由平移的规律可知：平移后抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）+4（x﹣1）+5=﹣x+6x．
2
将x=5代入y=﹣x+6x得：y=5， ∴点T的坐标为（5，5）．
设直线OT的解析式为y=kx，将x=5，y=5代入得；k=1， ∴直线OT的解析式为y=x，
①如图2所示：当PT∥x轴时，△PTQ为等腰直角三角形，
将y=5代入抛物线y=﹣x+6x得：x﹣6x+5=0， 解得：x1=1，x2=5． ∴点P的坐标为（1，5）． 将x=1代入y=x得：y=1， ∴点Q的坐标为（1，1）． ②如图3所示：
2
2
由①可知：点P的坐标为（1，5）． ∵△PTQ为等腰直角三角形，
∴点Q的横坐标为3， 将x=3代入y=x得；y=3， ∴点Q得坐标为（3，3）． ③如图4所示：
设直线PT解析式为y=kx+b， ∵直线PT⊥QT， ∴k=﹣1．
将k=﹣1，x=5，y=5代入y=kx+b得：b=10， ∴直线PT的解析式为y=﹣x+10．
将y=﹣x+10与y=﹣x+6x联立得：x1=2，x2=5 ∴点P的横坐标为2． 将x=2代入y=x得，y=2， ∴点Q的坐标为（2，2）．
综上所述：点Q的坐标为（1，1）或（3，3）或（2，2）．
点评： 本题主要考查的是二次函数的综合应用，明确△HGF和△BGF的面积比等于HG和AB的边长比是解题的关键，同时解答本题主要应用了分类讨论的思想需要同学们分别根据∠P、∠Q、∠T为直角进行分类计算．
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