?f(x)的单调减区间为[k?? （II）由f(A)?4得
?2,k???(k?Z)] 63????7分
f(A)?2sin(2A?1?sin(2A?)?62?6)?3?4
?又?A为?ABC的内角
??66?5??2A??66?A?
?2A???7?6
????10分
?3
3,b?13
13?bcsinA?22?S?ABC??c?2
?a2?b2?c2?2bccosA?4?1?2?2?1?1?3 2????12分
?a?3
29．在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为CC1的中点．
D1
求证：（1）AC1∥平面BDE；（2）A1E?平面BDE．
（1）证明：连接AC，设AC∩BD＝O．由条件得ABCD为正方形， 故O为AC中点．因为E为CC1中点，所以OE∥AC1． 因为OE?平面BDE，AC1?/平面BDE．所以AC1∥平面BDE．
（2）连接B1E．设AB＝a，则在△BB1E中，BE＝B1E＝2a，BB1＝2a．所以BE＋B1E＝BB1． 所以B1E?BE．由正四棱柱得，A1B1?平面BB1C1C，所以A1B1?BE． 所以BE?平面A1B1E．所以A1E?BE．同理A1E?DE．所以A1E?平面BDE．
30．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A、B及CD的中点P处，已知AB=20km，
2
2
2
C1
B1 E
A1 D A
B
C
BC=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且A、B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO、BO、OP，设排污管道的总长为ykm。
（1）按下列要求写出函数关系式：
①设∠BAO=θ(rad)，将y表示成θ的函数关系式； ②设OP=x(km)，将y表示成x的函数关系式；
D P O C A B
（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短
【解析】本小题主要考查函数最值的应用．
（Ⅰ）①由条件知PQ 垂直平分AB，若∠BAO=?(rad) ，则OA?AQ10?, 故 cos?cos?10，又OP＝10?10tan?， cos?1010??10?10tan?， 所以y?OA?OB?OP?cos?cos?OB?所求函数关系式为y?20?10sin?????10?0????
cos?4??②若OP=x(km) ，则OQ＝10－x，所以OA =OB=2?10?x?2?102?x2?20x?200 所求函数关系式为y?x?2x?20x?200?0?x?10? （Ⅱ）选择函数模型①，y?'令y?0 得sin ??'?10cos??cos???20?10sin????sin??10?2sin??1??
cos2?cos2??1?，因为0???，所以?=，
624????,?时，y'?0 ，y是?的增函?64?当???0,????6??时，y?0 ，y是?的减函数；当???'数，所以当?=
?时，ymin?10?103。这时点P 位于线段AB 的中垂线上，在矩形区域6103km处。 3内且距离AB 边31．设三角形ABC的内角A,B,C,的对边分别为a,b,c, a?4,c?13,sinA?4sinB． （1）求b边的长； （2）求角C的大小.
4?(??x?0),求sinx. 52ab?解：（1）依正弦定理有bsinA?asinB sinAsinB （3）如果cos(x?C)?又a?4,sinA?4sinB，∴b?1 ??????????4分
a2?b2?c216?1?131（2）依余弦定理有cosC???
2ab2?4?12又0?＜C＜180?，∴C?60? ????????9分
33?43sin(x?C)?,sinx?[(x?C)?C]?510? (3)由已知得
?32．?ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，向量m?(?1,1)，
???3n?(cosBcosC,sinBsinC?)，且m?n．
2（1）求A的大小；
?（2）现在给出下列三个条件：①a?1；②2c?(3?1)b?0；③B?45，试从中再
选择两个条件以确定?ABC，求出所确定的?ABC的面积．
（注：只需要选择一种方案答题，如果用多种方案答题，则按第一方案给分）．
3????cosBcosC?sinBsinC??0m?n2解：（1）因为，所以
cosBcosC?sinBsinC??即：
33cos(B?C)??2，所以2
因为A?B?C??，所以cos(B?C)??cosA
cosA?所以
3,A?30?2 6分
?A?30,a?1,2c?(3?1)b?0 ?ABC（2）方案一:选择①②，可确定，因为
12?b2?(由余弦定理，得：
3?123?13b)?2b?b?222 6?22
b2?2,b?2,c?整理得：
116?213?1S?ABC?bcsinA??2???22224 12分 所以
方案二:选择①③，可确定?ABC，因为A?30,a?1,B?45,C?105
???sin105??sin(45??60?)?sin45?cos60??cos45?sin60??又
6?24
asinC1?sin105?6?2c???sinAsin30?2由正弦定理 116?223?1S?ABC?acsinB??1???22224 所以
（注意;选择②③不能确定三角形）
33．在?ABC中，三个内角A,B,C所对应的边为a,b,c，其中c?10，且（1）求证：?ABC是直角三角形；
（2）若?ABC的外接圆为?O，点P位于劣弧?AC上，?PAB?60，求四边形ABCP的
?cosAb4??。 cosBa3面积。 ．解：（1）由
cosAb4??,得acosA?bcosB?sin2A?sin2B,???? 2分 cosBa3所以2A???2B或A?B，???????????? 4分 但a?b，故A?B??2，所以C??2，所以?ABC是直角三角
形；???????????? 6分 （2）由（1）得a?6,b?8，所以S?ABC????????????? 8分
在?APC中，AC?b?8,AP?10cos60?5，
?1?6?8?24， 2sin?CAP?sin(60???BAC)?12341343?3，??????? 10分 ????25251043?3?83?6 10所以S?APC??AC?AP?sin?CAP?20?所以S?ABCP?83?18。
34．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知
cosA-2cosC2c-a=.
cosBbsinC的值； sinA1?ABC的周长为5，求b的长. （2）若cosB=，△4（1）求
解析 (1)由正弦定理得a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC,所以
cosA-2cos2sinCC?2sincA-a==,
cosBbsinB即sinBcosA?2sinBcosC?2sinCcosB?sinAcosB,即有sin(A?B)?2sin(B?C),即sinC?2sinA,所以
sinC=2 sinA(2)由(1)知定理得：
csinC=2,所以有?2,即c=2a,又因为?ABC的周长为5,所以b=5-3a,由余弦
asinA1b2?c2?a2?2accosB，即(5?3a)2?(2a)2?a2?4a2?，解得a=1，所以b=2.
4