高中数学基础知识归类——献给2010年高三(理科)考生
一.集合与简易逻辑
1.注意区分集合中元素的形式.如：{x|y?lgx}—函数的定义域；{y|y?lgx}—函数的值域； {(x,y)|y?lgx}—函数图象上的点集.
2.集合的性质： ①任何一个集合A是它本身的子集,记为A?A. ②空集是任何集合的子集,记为??A.
③空集是任何非空集合的真子集；注意:条件为A?B,在讨论的时候不要遗忘了A??的情况
2 如：A?{x|ax?2x?1?0},如果A?R???,求a的取值.(答：a?0)
（A?B）?C?A?（B?C） ④CU(A?B)?CUA?CUB,CU(A?B)?CUA?CUB；；
（A?B）?C?A?（B?C） .
⑤A?B?A?A?B?B?A?B?CUB?CUA?A?CUB???CUA?B?R. ⑥A?B元素的个数：card(A?B)?cardA?cardB?card(A?B).
⑦含n个元素的集合的子集个数为2n；真子集(非空子集)个数为2n?1；非空真子集个数为2n?2. 3.补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。
如：已知函数f(x)?4x2?2(p?2)x?2p2?p?1在区间[?1,1]上至少存在一个实数c,使 f(c)?0,求实数p的取值范围.(答：(?3,))
234.原命题: p?q；逆命题: q?p；否命题: ?p??q；逆否命题: ?q??p；互为逆否的两 个命题是等价的.如：“sin??sin?”是“???”的 条件.(答：充分非必要条件) 5.若p?q且q??p,则p是q的充分非必要条件(或q是p的必要非充分条件).
6.注意命题p?q的否定与它的否命题的区别: 命题p?q的否定是p??q；否命题是?p??q. 命题“p或q”的否定是“?p且?q”；“p且q”的否定是“?p或?q”. 如：“若a和b都是偶数，则a?b是偶数”的否命题是“若a和b不都是偶数,则a?b是奇数” 否定是“若a和b都是偶数,则a?b是奇数”. 7.常见结论的否定形式
原结论 是 都是 大于 否定 不是 不都是 不大于 原结论 至少有一个 至多有一个 至少有n个 否定 一个也没有 至少有两个 至多有n?1个 高中数学(理科)基础知识归类第1页(共22页)
小于 不小于 至多有n个 至少有n?1个 对所有x,成立 存在某x,不成立 p或q ?p且?q 对任何x,不成立 存在某x,成立 p且q ?p或?q
二.函数
1.①映射f:A?B是：⑴ “一对一或多对一”的对应；⑵集合A中的元素必有象且A中不 同元素在B中可以有相同的象；集合B中的元素不一定有原象(即象集?B).
②一一映射f:A?B： ⑴“一对一”的对应；⑵A中不同元素的象必不同,B中元素都有原象. 2.函数f: A?B是特殊的映射.特殊在定义域A和值域B都是非空数集！据此可知函数图像与x轴 的垂线至多有一个公共点,但与y轴垂线的公共点可能没有,也可能有任意个.
3.函数的三要素：定义域,值域,对应法则.研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则.
4.求定义域:使函数解析式有意义(如:分母?0;偶次根式被开方数非负;对数真数?0,底数?0 且?1；零指数幂的底数?0)；实际问题有意义；若f(x)定义域为[a,b],复合函数f[g(x)]定义 域由a?g(x)?b解出；若f[g(x)]定义域为[a,b],则f(x)定义域相当于x?[a,b]时g(x)的值域. 5.求值域常用方法: ①配方法(二次函数类)；②逆求法(反函数法)；③换元法(特别注意新元的范围). ④三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域；
⑤不等式法⑥单调性法；⑦数形结合：根据函数的几何意义,利用数形结合的方法来求值域； ⑧判别式法（慎用）：⑨导数法(一般适用于高次多项式函数).
6.求函数解析式的常用方法：⑴待定系数法(已知所求函数的类型)； ⑵代换(配凑)法； ⑶方程的思想----对已知等式进行赋值，从而得到关于f(x)及另外一个函数的方程组。 7.函数的奇偶性和单调性
⑴函数有奇偶性的必要条件是其定义域是关于原点对称的,确定奇偶性方法有定义法、图像法等； ⑵若f(x)是偶函数,那么f(x)?f(?x)?f(|x|)；定义域含零的奇函数必过原点(f(0)?0)； ⑶判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)?f(?x)?0或
f(?x)f(x)??1(f(x)?0)；
⑷复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.
注意：若判断较为复杂解析式函数的奇偶性，应先化简再判断；既奇又偶的函数有无数个 (如f(x)?0定义域关于原点对称即可).
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⑸奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性； ⑹确定函数单调性的方法有定义法、导数法、图像法和特值法(用于小题)等. ⑺复合函数单调性由“同增异减”判定. （提醒：求单调区间时注意定义域） 如：函数y?log1(?x2?2x)的单调递增区间是_____________.(答：(1,2))
28.函数图象的几种常见变换⑴平移变换：左右平移---------“左加右减”（注意是针对x而言）；
上下平移----“上加下减”(注意是针对f(x)而言).⑵翻折变换：f(x)?|f(x)|；f(x)?f(|x|). ⑶对称变换：①证明函数图像的对称性,即证图像上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图像上. ②证明图像C1与C2的对称性,即证C1上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在C2上,反之亦然. ③函数y?f(x)与y?f(?x)的图像关于直线x?0(y轴)对称；函数y?f(x)与函数
y?f(?x)的图像关于直线y?0(x轴)对称；
④若函数y?f(x)对x?R时，f(a?x)?f(a?x)或f(x)?f(2a?x)恒成立,则y?f(x)图像关 于直线x?a对称；
⑤若y?f(x)对x?R时,f(a?x)?f(b?x)恒成立,则y?f(x)图像关于直线x? ⑥函数y?f(a?x),y?f(b?x)的图像关于直线x?b?a2a?b2对称；
对称(由a?x?b?x确定)；
对称；
f(x)?A?f(x)2 ⑦函数y?f(x?a)与y?f(b?x)的图像关于直线x? ⑧函数y?f(x),y?A?f(x)的图像关于直线y?
A2
a?b2对称(由y?确定)；
⑨函数y?f(x)与y??f(?x)的图像关于原点成中心对称；函数y?f(x),y?n?f(m?x) 的图像关于点(,)对称；
22mn ⑩函数y?f(x)与函数y?f?1(x)的图像关于直线y?x对称；曲线C1：f(x,y)?0,关于 y?x?a,y??x?a的对称曲线C2的方程为f(y?a,x?a)?0(或f(?y?a,?x?a)?0； 曲线C1：f(x,y)?0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为：f(2a?x,2b?y)?0. 9.函数的周期性：⑴若y?f(x)对x?R时f(x?a)?f(x?a)恒成立,则 f(x)的周期为2|a|； ⑵若y?f(x)是偶函数,其图像又关于直线x?a对称,则f(x)的周期为2|a|； ⑶若y?f(x)奇函数,其图像又关于直线x?a对称,则f(x)的周期为4|a|；
⑷若y?f(x)关于点(a,0),(b,0)对称,则f(x)的周期为2|a?b|；
⑸y?f(x)的图象关于直线x?a,x?b(a?b)对称,则函数y?f(x)的周期为2|a?b|；
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⑹y?f(x)对x?R时,f(x?a)??f(x)或f(x?a)??1f(x),则y?f(x)的周期为2|a|；
10.对数：⑴logab?loganbn(a?0,a?1,b?0,n?R?)；⑵对数恒等式alogaN?N(a?0,a?1,N?0)； ⑶loga(M?N)?logaM?logaN;loga1nMN?logaM?logaN;logaMn?nlogaM；
logbNlogba loganM?logaM；⑷对数换底公式logaN?(a?0,a?1,b?0,b?1)；
推论：logab?logbc?logca?1?loga1a2?loga2a3???logan?1an?loga1an.
(以上M?0,N?0,a?0,a?1,b?0,b?1,c?0,c?1,a1,a2,?an?0且a1,a2,?an均不等于1) 11.方程k?f(x)有解?k?D(D为f(x)的值域)；a?f(x)恒成立?a?[f(x)]最大值, a?f(x)恒成立?a?[f(x)]最小值.
12.恒成立问题的处理方法：⑴分离参数法(最值法)； ⑵转化为一元二次方程根的分布问题； 13.处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”： 一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系；
14.二次函数解析式的三种形式： ①一般式：f(x)?ax2?bx?c(a?0)；②顶点式：
f(x)?a(x?h)2?k(a?0)； ③零点式：f(x)?a(x?x1)(x?x2)(a?0).
15.一元二次方程实根分布:先画图再研究??0、轴与区间关系、区间端点函数值符号;
16.复合函数：⑴复合函数定义域求法：若f(x)的定义域为[a,b],其复合函数f[g(x)]的定义域可由 不等式a?g(x)?b解出；若f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域，相当于x?[a,b]时,求 g(x)的值域；⑵复合函数的单调性由“同增异减”判定.
17.对于反函数,应掌握以下一些结论：⑴定义域上的单调函数必有反函数；⑵奇函数的反函数 也是奇函数；⑶定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数；⑷周期函数不存在反函数； ⑸互为反函数的两个函数在各自的定义域具有相同的单调性；⑹y?f(x)与y?f?1(x)互为 反函数,设f(x)的定义域为A,值域为B,则有f[f?1(x)]?x(x?B),f?1[f(x)]?x(x?A). 18.依据单调性,利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题：
?f(a)?0?f(a)?0 f(u)?g(x)u?h(x)?0(或?0)(a?u?b)??(或?)；
f(b)?0f(b)?0??19.函数y?ax?b(c?0,ad?bc)的图像是双曲线：①两渐近线分别直线x??d(由分母为零确定)和
cx?dc 直线y?a(由分子、分母中x的系数确定)；②对称中心是点(?d,a)；③反函数为y?b?dx；
ccccx?a高中数学(理科)基础知识归类第4页(共22页)
20.函数y?ax?(a?0,b?0)：增区间为(??,?xbba],[ba,??),减区间为[?,ba,0),(0,ba].
1 如：已知函数f(x)?三.数列
ax?1x?2在区间(?2,??)上为增函数,则实数a的取值范围是_____(答：(,??)).
2??S1(n?1)1.由Sn求an,an?? 注意验证a1是否包含在后面an的公式中,若不符合要 *S?S(n?2,n?N)?n?1?n54(n?1) 单独列出.如：数列{an}满足a1?4,Sn?Sn?1?an?1，求an(答：an?). n?13?4(n?2)3?2.等差数列{an}?an?an?1?d(d为常数)?2an?an?1?an?1(n?2,n?N*) ?an?an?b(a?d,b?a1?d)?Sn?An2?Bn(A?,B?a1?)；
22dd3.等差数列的性质： ①an?am?(n?m)d,d?am?anm?n；
②m?n?l?k?am?an?al?ak(反之不一定成立)；特别地,当m?n?2p时,有am?an?2ap； ③若{an}、{bn}是等差数列,则{kan?tbn}(k、t是非零常数)是等差数列；
④等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”即 Sm,S2m?Sm,S3m?S2m,??仍是等差数列； ⑤等差数列{an},当项数为2n时,S偶?S奇?nd,S奇?an；项数为2n?1时,
S偶an?1 S偶?S奇?a中?an(n?N*),S2n?1?(2n?1)an,且S奇?n；An?f(n)?an?f(2n?1).
S偶n?1Bnbn ⑥首项为正(或为负)的递减(或递增)的等差数列前n项和的最大(或最小)问题,转化为解不等式
?an?0?an?0 ?(或?).也可用Sn?An2?Bn的二次函数关系来分析.
?an?1?0?an?1?0 ⑦若an?m,am?n(m?n),则am?n?0；若Sn?m,Sm?n(m?n),则Sm?n??(m?n)； 若Sm?Sn(m?n),则Sm+n=0；S3m=3(S2m－Sm)；Sm?n?Sm?Sn?mnd. 4.等比数列{an}?5.等比数列的性质
an?1an2?q(q?0)?an?an?1an?1(n?2,n?N*)?an?a1qn?1.
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