ab?(a?b2)2；(4)若a?b?0,m?0,则?abb?ma?m(真分数的性质)；
4.含绝对值不等式：a,b同号或有0?|a?b|?|a|?|b|?|a|?|b|?|a?b|；a,b异号或有0 ?|a?b|?|a|?|b|?|a|?|b|?|a?b|.
5.证明不等式常用方法：⑴比较法：作差比较：A?B?0?A?B.注意：若两个正数作差比较有困 难,可以通过它们的平方差来比较大小；⑵综合法：由因导果；⑶分析法：执果索因.基本步骤：要证… 需证…,只需证…； ⑷反证法：正难则反；⑸放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的. 放缩法的方法有：①添加或舍去一些项,如：a2?1?|a|；n(n?1)?n.②将分子或分母放大(或缩小) ③利用基本不等式,如：n(n?1)? 20 ?k11k?1n?(n?1)21k?1.④利用常用结论：10 k?1?k?11k?1?k?12k；
?1(k?1)k?1k2?1(k?1)k?0?(程度大)；3
1k2k?1k?12?(112k?1?1k?1)(程度小)；
⑹换元法：换元的目的就是减少不等式中变量,以使问题化难为易,化繁为简,常用的换元有三角换元 代数换元.如：知x2?y2?a2,可设x?acos?,y?asin?；知x2?y2?1,可设x?rcos?,y?rsin? (0?r?1)；知
xa22?yb22?1,可设x?acos?,y?bsin?；已知
xa22?yb22?1,可设x?asec?,y?btan?.
⑺最值法,如：a?f(x)最大值,则a?f(x)恒成立.a?f(x)最小值,则a?f(x)恒成立. k 七.直线和圆的方程
1.直线的倾斜角?的范围是[0,?）； 2.直线的倾斜角与斜率的变化关系k?tan?(??)(如右图)：
2?O ? ? ? 3.直线方程五种形式：⑴点斜式：已知直线过点(x0,y0)斜率为k，则直线 方程为y?y0?k(x?x0),它不包括垂直于x轴的直线.⑵斜截式：已知直线在y轴上的截距为b 和斜率k，则直线方程为y?kx?b,它不包括垂直于x轴的直线. ⑶两点式：已知直线经过 P1(x1,y1)、P2(x2,y2)两点,则直线方程为
y?y1y2?y1?x?x1x2?x1,它不包括垂直于坐标轴的直线.
xyb ⑷截距式：已知直线在x轴和y轴上的截距为a,b,则直线方程为?a?1,它不包括垂直于坐标
轴的直线和过原点的直线.⑸一般式：任何直线均可写成Ax?By?C?0(A,B不同时为0)的形式. 提醒：⑴直线方程的各种形式都有局限性.(如点斜式不适用于斜率不存在的直线,还有截距式呢？)
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⑵直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等?直线的斜率为?1或直线过 原点；直线两截距互为相反数?直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等? 直线的斜率为?1或直线过原点.
⑶截距不是距离,截距相等时不要忘了过原点的特殊情形.
4.直线l1:A1x?B1y?C1?0与直线l2:A2x?B2y?C2?0的位置关系： ⑴平行?A1B2?A2B1?0(斜率)且B1C2?B2C1?0(在y轴上截距)； ⑵相交?A1B2?A2B1?0；(3)重合?A1B2?A2B1?0且B1C2?B2C1?0.
5.直线系方程：①过两直线l1：A1x?B1y?C1?0,l2：A2x?B2y?C2?0.交点的直线系方程可设 为A1x?B1y?C1??(A2x?B2y?C2)?0；②与直线l:Ax?By?C?0平行的直线系方程可设为 Ax?By?m?0(m?c)；③与直线l:Ax?By?C?0垂直的直线系方程可设为Bx?Ay?n?0. 6.到角和夹角公式：⑴l1到l2的角是指直线l1绕着交点按逆时针方向转到和直线l2重合所转的角?, ??(0,?)且tan??k2?k11?k1k2(k1k2??1)；
?k2?k11?k1k22 ⑵l1与l2的夹角是指不大于直角的角?,??(0,]且tan??|2|(k1k2??1).
；
.
7.点P(x0,y0)到直线Ax?By?C?0的距离公式d?Ax0?By0?CA?B2 两条平行线Ax?By?C1?0与Ax?By?C2?0的距离是d?C1?C222A?Bx?x2?x3y1?y2?y38.设三角形?ABC三顶点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则重心G(1,)；
339.有关对称的一些结论
⑴点(a,b)关于x轴、y轴、原点、直线y?x的对称点分别是(a,?b),(?a,b),(?a,?b),(b,a). ⑵曲线f(x,y)?0关于下列点和直线对称的曲线方程为：①点(a,b)：f(2a?x,2b?y)?0； ②x轴：f(x,?y)?0；③y轴：f(?x,y)?0；④原点：f(?x,?y)?0；⑤直线y?x： f(y,x)?0；⑥直线y??x：f(?y,?x)?0；⑦直线x?a：f(2a?x,y)?0.
10.⑴圆的标准方程：(x?a)2?(y?b)2?r2. ⑵圆的一般方程：
x2?y2?Dx?Ey?F?0(D2?E2?4F?0).特别提醒：只有当D2?E2?4F?0时,方程 x2?y2?Dx?Ey?F?0才表示圆心为(?D2E212,?),半径为D?E?4F的圆(二元二次方程
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Ax2?Bxy?Cy2?Dx?Ey?F?0表示圆?A?C?0,且B?0,D2?E2?4AF?0).
?x?a?rcos? ⑶圆的参数方程：?(?为参数),其中圆心为(a,b),半径为r.圆的参数方程主要应用是
y?b?rsin?? 三角换元：x2?y2?r2?x?rcos?,y?rsin?； x2?y2?t2?x?rcos?,y?rsin?(0?r?t).
⑷以A(x1,y1)、B(x2,y2)为直径的圆的方程(x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)?0； 11.点和圆的位置关系的判断通常用几何法(计算圆心到直线距离).点P(x0,y0)及圆的方程 (x?a)2?(y?b)2?r2.①(x0?a)2?(y0?b)2?r2?点P在圆外；
②(x0?a)2?(y0?b)2?r2?点P在圆内；③(x0?a)2?(y0?b)2?r2?点P在圆上.
12.圆上一点的切线方程：点P(x0,y0)在圆x2?y2?r2上,则过点P的切线方程为：x0x?y0y?r2； 过圆(x?a)2?(y?b)2?r2上一点P(x0,y0)切线方程为(x0?a)(x?a)?(y0?b)(y?b)?r2. 13.过圆外一点作圆的切线,一定有两条,如果只求出了一条,那么另外一条就是与x轴垂直的直线. 14.直线与圆的位置关系,通常转化为圆心距与半径的关系,或者利用垂径定理,构造直角三角形解 决弦长问题.①d?r?相离 ②d?r?相切 ③d?r?相交
15.圆与圆的位置关系,经常转化为两圆的圆心距与两圆的半径之间的关系.设两圆的圆心距为d,
两圆的半径分别为r,R：d?R?r?两圆相离；d?R?r?两圆相外切； |R?r|?d?R?r?两 圆相交；d?|R?r|?两圆相内切； d?|R?r|?两圆内含；d?0?两圆同心.
16.过圆C1：x2?y2?D1x?E1y?F1?0,C2：x2?y2?D2x?E2y?F2?0交点的圆(相交弦)系方程 为(x2?y2?D1x?E1y?F1)??(x2?y2?D2x?E2y?F2)?0.???1时为两圆相交弦所在直线方程. 17.解决直线与圆的关系问题时,要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成 直角三角形,切线长定理、割线定理、弦切角定理等等).
18.求解线性规划问题的步骤是：(1)根据实际问题的约束条件列出不等式；(2)作出可行域,写出目标 函数(判断几何意义)；(3)确定目标函数的最优位置,从而获得最优解. 八.圆锥曲线方程
x2y21.椭圆焦半径公式：设P(x0,y0)为椭圆2?2?1(a?b?0)上任一点,焦点为F1(?c,0),F2(c,0),
ab 则PF1?a?ex0,PF2?a?ex0(“左加右减”)；
x2y22.双曲线焦半径：设P(x0,y0)为双曲线2?2?1(a?0,b?0)上任一点,焦点为F1(?c,0),F2(c,0),
ab 则：⑴当P点在右支上时,|PF1|?a?ex0,|PF2|??a?ex0；⑵当P点在左支上时,|PF1|??a?ex0,
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x2y2x2y2 |PF2|?a?ex0；(e为离心率).另：双曲线2?2?1(a?0,b?0)的渐近线方程为2?2?0.
abab3.抛物线焦半径公式：设P(x0,y0)为抛物线y2?2px(p?0)上任意一点,F为焦点,则
|PF|?x0?p2；y2??2px(p?0)上任意一点,F为焦点，则|PF|??x0?b22p2.
xy???(?为参数,??0). 22aba5.两个常见的曲线系方程： ⑴过曲线f1(x,y)?0,f2(x,y)?0的交点的曲线系方程是
4.共渐近线y??x的双曲线标准方程为
x2y2??1,其中 f1(x,y)??f2(x,y)?0(?为参数).⑵共焦点的有心圆锥曲线系方程2a?kb2?k k?max{a2,b2}.当k?min{a2,b2}时,表示椭圆；当min{a2,b2}?k?max{a2,b2}时,表示双曲线.
6.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB?(x1?x2)2?(y1?y2)2或AB?1?k2|x1?x2| ?(1?k2)[(x1?x2)2?4x1x2]?1??y?kxc?b1A(x,y),B(x,y)(弦端点,由方程消去 |y?y|?112212F(x,y)?0k2?22 y得到ax?bx?c?0,??0,k为斜率). 这里体现了解几中“设而不求”的思想；
7.椭圆、双曲线的通径(最短弦)为
2ba,焦准距为p?b2c,抛物线的通径为2p,焦准距为p；
x2y2 双曲线2?2?1(a?0,b?0)的焦点到渐近线的距离为b；
ab8.中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆,双曲线方程可设为Ax2?By2?1(对于椭圆A?0,B?0)；
9.抛物线y?2px(p?0)的焦点弦（过焦点的弦）为AB,A(x1,y1)、B(x2,y2),则有如下结论： ⑴|AB|?x1?x2?p；⑵x1x2?p224,y1y2??p2； ⑶????????|AF||BF|112p.
x2y210.椭圆2?2?1(a?b?0)左焦点弦|AB|?2a?e(x1?x2),右焦点弦|AB|?2a?e(x1?x2).
ab2y0211.对于y?2px(p?0)抛物线上的点的坐标可设为(,y0),以简化计算.
2px2y212.圆锥曲线中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在椭圆2?2?1中,
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b2x0x2y2 以P(x0,y0)为中点的弦所在直线斜率k??2；在双曲线2?2?1中,以P(x0,y0)为中点的弦所
abay0b2x0p 在直线斜率k?2；在抛物线y2?2px(p?0)中,以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k?.
y0ay013.求轨迹方程的常用方法：
⑴直接法：直接通过建立x、y之间的关系，构成F(x,y)?0,是求轨迹的最基本的方法.
⑵待定系数法：可先根据条件设所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回所列的方程即可. ⑶代入法(相关点法或转移法).
⑷定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义,则可由曲线的定义直接写出方程. ⑸交轨法(参数法)：当动点P(x,y)坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑 将x、y均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程. 14.解析几何与向量综合的有关结论：
??n ⑴给出直线的方向向量u?(1,k)或u?(m,n).等于已知直线的斜率k或；
m ⑵给出OA?OB与AB相交,等于已知OA?OB过AB的中点；
? ⑶给出PM?PN?0,等于已知P是MN的中点;
???????????????? ⑷给出AP?AQ??(BP?BQ),等于已知P,Q与AB的中点三点共线;
???????? ⑸给出以下情形之一： ①AB//AC； ②存在实数?,使AB??AC； ③若存在实数?,?,
???????????? 且????1；使OC??OA??OB,等于已知A,B,C三点共线.
??????????OA??OB ⑹给出OP?,等于已知P是AB的定比分点,?为定比,即AP??PB
1?? ⑺给出MA?MB?0,等于已知MA?MB,即?AMB是直角,给出MA?MB?m?0,等于已 知?AMB是钝角或反向共线,给出MA?MB?m?0,等于已知?AMB是锐角或同向共线.
???????????MAMB????????)?MP,等于已知MP是?AMB的平分线. ⑻给出?(|MA||MB| ⑼在平行四边形ABCD中,给出(AB?AD)?(AB?AD)?0,等于已知ABCD是菱形.
???????????????? ⑽在平行四边形ABCD中,给出|AB?AD|?|AB?AD|,等于已知ABCD是矩形.
222 ⑾在?ABC中,给出OA?OB?OC，等于已知O是?ABC的外心(三角形的外心是外接圆 的圆心,是三角形三边垂直平分线的交点).
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