概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率
?0.901．
六、每次试验中事件A发生的概率为p，为了使事件A在独立试验序列中至少发生一次的
概率不小于p，问至少需要进行多少次试验？ 解：设做n次试验，则
P{A至少发生一次}?1?P{A一次都不发生}?1?(1?p)n nn要1?(1?p)?p，即要(1?p)?1?p，从而有n?log(1?p)(1?p)?1.
答：至少需要进行一次试验．
5 离散随机变量的概率分布·超几何分布·二项分布·泊松分布
一、 一批零件中有9个合格品与3个废品．安装机器时从这批零件中任取1个．如果每次取出的废品不再放回去，求在取
得合格品以前已取出的废品数的概率分布． 解：设X表示“在取得合格品以前已取出的废品数”，则X的概率分布为
0 1 X 2 1C32C9?12C12C103 3C33C12p 即
1C91C12 11C3C9?1 1C12C11 X 0 1 2 3 p 亦即
340 9441 92202 12203 X p 0.75 0.205 0.041 0.004
二、 自动生产线在调整以后出现废品的概率为
数的概率分布．
p．生产过程中出现废品时立即进行调整．求在两次调整之间生产的合格品
解：设X表示“在两次调整之间生产的合格品数”，且设q?1?
0 1 2 X p，则ξ?? ?? 的概率分布为
p p pq pq2 n pqn ?? ??
三、 已知一批产品共20个，其中有４个次品．
（１）不放回抽样．抽取６个产品，求样品中次品数的概率分布； （２）放回抽样．抽取６个产品，求样品中次品数的概率分布． 解：（1）设X表示“取出的样本中的次品数”，则
X服从超几何分布，即X的概率函数为
6?xC4xC16P(X?x)?(x?0,2,3,4) 6C201 2 3 4 从而X的概率分布为
X 0 p 即
100148452184484591 32356 9691 323X p 0 1 2 3 4 0.2066 0.4508 X0.2817 0.0578 0.0031
（2）设X表示“取出的样本中的次品数”，则从而X的概率分布为 服从超几何分布，即X的概率函数为
P(X?x)?C6x(0.2)x(1?0.2)6?xX
0 1 2 6
3 (x?0,2,3,4,5,6)
4 5 6 概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率 p 即
4()5 5456?65 4415?65 4320?65 4215?65 6?456 156 X p 0 1 2 3 4 5 6 0.2621 0.3932 0.2458 0.0819 0.0154 0.0015 0.0001
四、 电话总机为300个电话用户服务．在一小时内每一电话用户使用电话的概率等于0.01，求在一小时内有4个用户使用
电话的概率（先用二项分布计算，再用泊松分布近似计算，并求相对误差）． 解：（1）用二项分布计算(p?0.01)
44P(ξ?4)?C300p4(1?p)296?C300(0.01)4(1?0.01)296?0.168877
（2）用泊松分布计算(λ?np?300?0.01?3)
34?3P(ξ?4)?e?0.168031355
4!0.168877?0.1680313550 相对误差为δ??500.
0.168877
五、 设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生次数不少于3次时，指示灯发出信号．现进行了5次独立试验，
求指示灯发出信号的概率． 解：设X表示“事件
A发生的次数”，则P(A)?p?0.3，n?5，X~B(5,0.3).于是有
P(X?3)?P(X?3)?P(X?4)?P(X?5)
334455?C5p(1?p)2?C5p(1?p)?C5p
?0.1323?0.02835?0.00243?0.16308
（另解） P(X?3)?1?P(X?3)?1?P(X?0)?P(X?1)?P(X?2)
005114223 ?1?1C5p(1?p)?C5p(1?p)?C5p(1?p) ?0.16308
六、 设随机变量X的概率分布为
P(X?k)?a?kk! , k?0, 1, 2,??；
其中λ>0为常数，试确定常数a．
?λk解：因为?P(X?k)?1，即?a?1，亦即aeλ?1，所以a?e?λ.
k!k?0k?0?
6 随机变量的分布函数·连续随机变量的概率密度
一、 函数
1可否是连续随机变量X的分布函数？为什么？如果X的可能值充满区间：
1?x2 （1）（??, ??）；（2）（??,0）． 解：（1）设F(x)因为
x???1，则0?F(x)?1
1?x2limF(x)?0，limF(x)?0，所以F(x)不能是X?x???的分布函数．
（2）设F(x)1，则0?F(x)?1且limF(x)?0，limF(x)?1 2x???x??01?x2x?0 (x?0)，所以F(x)在（??,0）上单增． 因为F'(x)??(1?x2)2综上述，故F(x)可作为X的分布函数．
?7
概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率
f(x)?sinx可否是连续随机变量X的概率密度？为什么？如果X????3?? （1）?0,?； （2）?0,??； （3）?0,?．
二、函数
的可能值充满区间：
?2??2???π??π?2f(x)dx??cosx2?1解：（1）因为x?0,，所以f(x)?sinx?0；又因为?，所以当x?0,? 0???0?2??2?时，函数f(x)?sinx可作为某随机变量X的概率密度．
? （2）因为x?时，函数
?0,π?，所以f(x)?sinx?0；但?0?f(x)dx??cosx0?2?1，所以当x??0,π?
?f(x)?sinx不可能是某随机变量X的概率密度． ?3π? （3）因为x?0,?2?，所以f(x)?sinx不是非负函数，从而它不可能是随机变量X??的概率密度．
二、 一批零件中有9个合格品与3个废品．安装机器时从这批零件中任取1个．如果每次取出的废品不再放回去，求在取
得合格品以前已取出的废品数的分布函数，并作出分布函数的图形． 解：设X表示“取出的废品数”，则X的分布律为
0 X 1 2 3 p
于是，X的分布函数为 34 94492201220 y x?0?0,?34,0?x?1??F(x)??2122,1?x?2 其图形见右： ?219220,2?x?3??x?3?1,
四、（柯西分布）设连续随机变量
o x X的分布函数为
F(x)?A?Barctanx, ???x???．
求：（1）系数A及B；（2）随机变量X落在区间(?1, 1)内的概率；(3) X的概率密度．
ππ11?1，解得A?,B?. 解：(1) 由limF(x)?A?B?(?)?0，limF(x)?A?B?x???x???22π211 即F(x)??arctanx, (???x???)．
2π11111(2) P(?1?X?1)?F(1)?F(?1)?[?arctan1]?[?arctan(?1)]?.
2?2?2(3) X的概率密度为
1． f(x)?F?(x)?2?(1?x) 五、（拉普拉斯分布）设随机变量
X的概率密度为
解：(1)
, ???x???．
求：（1）系数A；（2）随机变量X落在区间(0,1)内的概率；（3）随机变量X的分布函数．
??????1?x?x由?f(x)dx?1，得?Aedx?2A?edx?2A?1，解得A?，即有
??0??21?xf(x)?e, (???x???).
28
f(x)?Ae?x
概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率
(2)
P(0?X?1)??f(x)dx?0111?x111?x1edx?(?e)?(1?). 0?0222e(3) 随机变量X的分布函数为
xF(x)?????1x?2e1x?xf(x)dx??edx??12???1?e?x?2x?0．
x?0
7 均匀分布·指数分布·随机变量函数的概率分布
一、公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过．乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的．求乘客候车时间
不超过3分钟的概率． 解：设随机变量X表示“乘客的候车时间”，则
X服从[0,5]上的均匀分布，其密度函数为
于是有P(0
?X?3)??30?15,x?[0,5] f(x)??x?[0,5]?0,3f(x)dx??0.6.
5x?1?800?,x?0;
f(x)??800e?x?0.?0,二、已知某种电子元件的使用寿命X(单位:h)服从指数分布，概率密度为
任取３个这种电子元件，求至少有１个能使用1000h以上的概率． 解：设
A表示“至少有１个电子元件能使用1000h以上”；A1、A2、A3分别表示“元件甲、乙、丙能使用1000h以上”．则
??xx5??1?800800??4P(A1)?P(A2)?P(A3)?P(X?1000)??edx??e?0.287 1000?e1000800P(A)?P(A1?A2?A3)?P(A1)?P(A2)?P(A3)?P(A1A2)?P(A2A3)?P(A1A3)?P(A1A2A3)
?3?0.287?3?0.2872?0.2873?0.638
（另解）设A表示“至少有１个电子元件能使用1000h以上”．则
xx????1P(X?1000)??e800dx??e8001000800
从而有P(X?54??1000?e?54?0.287
?1000)?1?P(X?1000)?1?e?0.713，进一步有
P(A)?1?[P(X?1000)]3?1?0.7133?0.638
三、(1) 设随机变量X服从指数分布e(?)．证明：对于任意非负实数s及t，有
P(X?s?tX?s)?P(X?t).
这个性质叫做指数分布的无记忆性．
1)．某人买了一台旧电视机，求还能使用５年以上 (2) 设电视机的使用年数X服从指数分布e(0．的概率．
解：（１）因为我们有
X~e(?)，所以?x?R，有F(x)?1?e??x，其中F(x)为X的分布函数．
设A?X?s?t，B?X?t．因为s及t都是非负实数，所以A?B，从而AB?A．根据条件概率公式，
P(X?s?tX?s)?P(AB)? 另一方面，我们有
P(AB)P(A)P(X?s?t)1?P(X?s?t)???
P(B)P(B)P(X?s)1?P(X?s)1?[1?e??(s?t)]??t． ??e??s1?[1?e]9
概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率
P(X?t)?1?P(X?t)?1?P(X?t)?1?F(t)?1?(1?e??t)?e??t．
综上所述，故有
P(X?s?tX?s)?P(X?t)．
（２）由题设，知X的概率密度为
设某人购买的这台旧电视机已经使用了s年，则根据上述证明的（１）的结论，该电视机还能使用5年以上的概率为
?0.1e?0.1x，x?0； f(x)??x?0．?0，??5P(X?s?5X?s)?P(X?5)??f(x)dx?0.1???5e?0.1xdx??e?0.1x??5?e?0.5?0.6065．
答：该电视机还能使用5年以上的概率约为0.6065．
四、 设随机变量X服从二项分布B(3, 0.4)，求下列随机变量函数的概率分布： （1）Y1?1?2X；（2）Y2?X(3?X)．
20 1 2 3 解：X的分布律为
X p （1）Y1
0.216 0.432 0.288 0.064 ?1?2X的分布律为
1 Y1 p （2）Y2
0.216 ?1 0.432 ?3 0.288 ?5 0.064 ?X(3?X)的分布律为
2Y2 p 即
0 1 1 0 0.216 0.432 0.288 0.064 Y2 p
五、设随机变量X的概率密度为
0 1 0.28 0.72 2?,x?0;?f(x)???(x2?1)
?x?0.?0,求随机变量函数Y解：因为FY(y)?lnX的概率密度．
?P(Y?y)?P(lnX?y)?P(X?ey)?FX(ey)
所以随机变量函数Y?lnX的概率密度为
2ey''yyyyfY(y)?FY(y)?FX(e)e?f(e)e? (???y???)，即 2y?(e?1)2eyfY(y)? (???y???)． 2y?(e?1)
８ 二维随机变量的联合分布与边缘分布 一、把一颗均匀的骰子随机地掷两次．设随机变量X表示第一次出现的点数，随机变量Y表示
两次出现点数的最大值，求二维随机变量(X
,Y)的联合概率分布及Y10
的边缘概率分布．