概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率
FY(y)?P(X?lny)? 此时亦有FY?(y)?2??1lny??e?(x??)22?2dx．
?12??ye?(lny??)22?2．
从而可得随机变量Y的概率密度为
?0,?(lny??)2?fY(y)??12?2e,?2??y?
五、设随机变量X与Y独立， (1) 随机变量函数Z1 (2) 随机变量函数Z解：由题设，有E(X)(1)E(Z1)
2y?0;y?0.
2X~N(?1,?12)，Y~N(?2,?2)，求：
?aX?bY的数学期望与方差，其中a及b为常数； ?XY的数学期望与方差．
2．从而有 ??1,D(X)??12；E(Y)??2,D(Y)??2?E(aX?bY)?E(aX)?E(bY)?aE(X)?bE(Y)?a?1?b?2；
2． D(Z1)?D(aX?bY)?D(aX)?D(bY)?a2D(X)?b2D(Y)?a2?12?b2?22(2)E(Z
)?E(XY)?E(X)E(Y)??1?2；
D(Z2)?D(XY)?E(X2Y2)?E2(XY)?E(X2)E(Y2)?E2(X)E2(Y)
?[D(X)?E2(X)][D(Y)?E2(Y)]?E2(X)E2(Y)
?D(X)D(Y)?D(X)E2(Y)?D(Y)E2(X)
2222??12?2??12?2??2?1．
?0，D(X)?16，D(Y)?25，并且
1４ 二维正态分布·正态随机变量线性函数的分布·中心极限定理
四、 设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布，已知E(X)?E(Y)cov(X,Y)?12，求(X,Y)的联合概率密度．
解：已知?x??y?0，?x?16?4，?y?25?5，r?(X,Y)?cov(X,Y)?x?y?3．从而 5316421?r2?1?()2?，1?r?．
5255 进一步按公式度为
f(x,y)?12??x?y1?r2?12(1?r2)[e2(x??x)22r(x??x)(y??y)(y??y)??]22?x?x?y?y，可得(X,Y)的联合概率密
f(x,y)?二、设随机变量X与Y独立，并且解：由题设，有
1e32?
?25(x23xyy2(??)32165025．
X~N(0,1)，Y~N(1,22)．求随机变量Z?2X?Y?3的概率密度．
E(X)?0，D(X)?1，E(Y)?1，D(Y)?4．
又根据关于数学期望的定理和方差的定理以及独立正态随机变量线性组合的分布，我们有
E(Z)?E(2X?Y?3)?2E(X)?E(Y)?E(3)?2． D(Z)?D(2X?Y?3)?4D(X)?D(Y)?D(3)?8．
且Z~N(E(Z),D(Z))?N(2,8)，故随机变量Z?2X?Y?3的概率密度为
21
概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率
fZ(z)?12?8e?(z?2)22?8?14?e?(z?2)216
(???z???)．
三、 台机床分别加工生产轴与轴衬．设随机变量X轴衬的内径，已知径之差在1~
(mm)表示轴的直径，随机变量Y(mm)表示
与Y是独立的．如果轴衬的内径与轴的直
根据独立正
X~N(50,0.32)，Y~N(52,0.42)，显然X3(mm)之间，则轴与轴衬可以配套使用．求任取一轴与一轴衬可以配套使用的概率．
22解：由题设，知随机变量X与Y是独立的，且X~N(50,0.3)，Y~N(52,0.4)．设Z?Y?X态随机变量线性组合的分布，我们有
四、100台车床彼此独立地工作着，每台车床的实际工作时间占全部工作时间的80%，求： （1） 任一时刻有70至86台车床在工作的概率； （2） 任一时刻有不少于80台车床在工作的概率． 解：设ξ表示“任一时刻正在工作的车床数”，则?Z~N(52?(?1)?50,0.42?(?1)2?0.32)?N(2,0.52)．
根据题目假设，我们知道当1?Z?Y?X?3时，轴与轴衬可以配套使用．于是所求概率为
1?2Z?23?2Z?2P(1?Z?3)?P(??)?P(?2??2)??(2)??(?2)?2?(2)?1
0.50.50.50.521?0.954．4 ?2?0.977?~B(100,0.8)．
E??100?0.8?80． D??100?0.8?(1?0.8)?16．
86?8070?80)??0,1()??0,1(1.5)??0,1(?2.5) （1）P(70???86)??0,1(1616 ??0,1(1.5)?[1??0,1(2.5)]?0.9332?0.9938?1?0.927
（2）P(??80)?1?P(0???80)?1?[?0,1(80?800?80)??0,1() 1616?1??0,1(0)??0,1(?20)?2??0,1(0)??0,1(20)?2?0.5?1?0.5．
五、在一家保险公司里有10000人参加保险，每人每年付12元保险费．在一年内一个人死亡的概率为0.006，死亡时其家属可向保险公司领得1000元．问：
（1） 保险公司亏本的可能性是多大？
（2） 保险公司一年的利润不少于50000元的概率是多少？ 解：设X表示“一年内死亡的人数”，则
X~B(10000,0.006)．
EX?10000?0.006?60． DX?10000?0.006?(1?0.006)?59.84．
0?60??60120?60?12)?1?P(0?X?120)?1?P(??) （1）P(1000X?1000059.8459.8459.84 ?1?[ΦΦ0,1(7.7)?Φ0,1(?7.7)]?2?20,1(7.7)?0．
即保险公司不可能亏本．
?12?1000X（2）P(1000059.8459.84)??(?7.756)??(1.293)??(7.756)?1?0.9032． ??(1.293即保险公司一年利润不少于50000元的概率为0.9032．
15 总体与样本·统计量·几个常用分布 一、已知样本观测值为
15.8 24.2 14.5 17.4 13.2 20.8
17.9 19.1 21.0 18.5 16.4 22.6，
计算样本均值、样本方差与样本二阶中心矩．
?50000)?P(0?X?70)?P(?60?X?60?1059.84)
1(15.8? 24.2?14.5?17.4?13.2?20.8?17.9? 12)?18.44 ?19.1?21.0?18.5?16.4?22.6解：样本均值为x? 样本方差为
22
概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率
1[(15.8?18.44)2?(24.2?18.44)2?(14.5?18.44)2?(17.4?18.44)2? 11?(13.2?18.44)2?(20.8?18.44)2?(17.9?18.44)2?(19.1?18.44)2? s2??(21.0?18.44)2?(18.5?18.44)2?(16.4?18.44)2?(22.6?18.44)2]
1(6.9696?33.1776?15.5236?27.4576?1.0816?5.5696?0.2916?0.4356?11118.5312??10.7756.
11?样本二阶中心矩
1[(15.8?18.44)2?(24.2?18.44)2?(14.5?18.44)2?(17.4?18.44)2? 12?(13.2?18.44)2?(20.8?18.44)2?(17.9?18.44)2?(19.1?18.44)2? u2??(21.0?18.44)2?(18.5?18.44)2?(16.4?18.44)2?(22.6?18.44)2] 118.5312??9.8776.
12观测值xi 频数ni 1 15 2 21 3 25 4 20 5 12 6 7 二、设抽样得到100个观测值如下： 计算样本均值、样本方差与样本二阶中心矩． 1(1?15? 2?21?3?25?4?20?5?12?6?7)?3.14 10012[15?(1?3.14)2?21?(2?3.14)2?25?(3?3.14)2? 样本方差为s?100?122 ?12?(5?3.14)?7?(6?3.14)]?2.1216
解：样本均值为x?样本二阶中心矩为
1~s2?[15?(1?3.14)2?21?(2?3.14)2?25?(3?3.14)2? 10022 ?12?(5?3.14)?7?(6?3.14)]?2.1004
2三、设总体X的均值与方差分别为?与?，X1,X2,?,Xn是来自该总体的简单随机样本，X均值与样本方差，求E(X),与S分别是样本
2D(X),E(S2)．
1n1n1n解：E(x)?E(?xi)??E(xi)?????
ni?1ni?1ni?11n1n1n2?2 D(x)?D(?xi)?2?D(xi)?2???ni?1nni?1ni?1n11n222E(s)?E[(?xi?nx)]?[?E(xi2)?nE(x2)]
n?1i?1n?1i?1n1 ?{?[D(xi)?(Exi)2]?n[D(x)?(Ex)2]
n?1i?1n1?2?22 ?{?[??]?n[??2]}?0
n?1i?1nn2四、设总体X与Y相互独立且均服从正态分布N?0, 3?，X1,X2,?,X9和Y1,Y2,?,Y9分别为来自XX1?X2???X9则统计量U?服从什么分布？
222Y1?Y2???Y9解：因为
与Y的样本，
X~N(0 ， 32)，Y~N(0 ， 32),
23
概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率
所以
Xi~N(0 ， 32) Yi~N(0 ， 32) (i?1 , 2 , ? ， 9). 于是有
22EXi?0 EYi?0 SX? DX?32?9?SY (i?1 ， 2 ， ? ， 9)
19?XiX1?X2???X9XXX?EX9i?1推得U? ????22299S12Y111Y1?Y2???Y922SY?YY?i?i999i?199i?1X?EX ?~t(9?1)?t(8)
SX9即U~t(8)分布．
1五、设随机变量X服从自由度为(k1,k2)的F分布，证明：随机变量Y?服从自由度为(k2,k1)的F
X分布；从而
证明等式
F?(k1,k2)?U，其中随机变量UV明Y~F(k2,k1)．］
［提示：设
1．
F1??(k2,k1)X?与V独立，且U~?2(k1),V~?2(k2)，则X~F(k1,k2)，由此容易证
Uk1Vk2证明：设随机变量U与V独立且U~?2(k1),V~?2(k2)．构造X?，则
X~F(k1,k2)．同理知
1Vk2?~F(k2,k1)． XUk1 因为X~F(k1,k2)，所以对于给定的?(0???1)，我们有
P[X?F?(k1,k2)]??． 11又因为X?0，所以X?F?(k1,k2)与是等价的随机事件，从而有 ?XF?(k1,k2)11P[?]??． XF?(k1,k2)Y? 于是有
P[同理，因为Y1111?]?1?P[?]?1?? XF?(k1,k2)XF?(k1,k2)?1~F(k2,k1)，所以对上述给定的?(0???1)，我们有 X1P[?F1??(k1,k2)]?1??． X(2)
结合(1)、(2)，便有
F1??(k2,k1)?即
1．
F?(k1,k2)F?(k1,k2)?16 正态总体统计量的分布 一、设总体X~N(40, 521．
F1??(k2,k1))．
（1） 抽取容量为36的样本，求样本平均值X在38与43之间的概率；
24
概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率 （2） 抽取容量为64的样本，求X?40?1的概率； （3）抽取样本容量n多大时，才能使概率P2?X?40?1?达到0.95？
52)，从而有 解：（1）因为N(40, 5)，所以x~N(40,3638?40??4043?40P(38?x?43)?P(??)??0,1(3.6)??0,1(?2.4)
565656
??0,1(3.6)??0,1(2.4)?1?0.99984?0.9918?1?0.99164
（2）由题设，x5~N(40,()2)，从而有
88x?40888P(x?40?1)?P(?1?x?40?1)?P(???)??0,1()??0,1(?)
558555?2Φ0,1(1.6)?1?2?0.9452?1?0.8904
（3）要使P(x?40?1)?P(x?405n?nnn)?2?0,1()?1?0.95，即要?0,1()?0.975经查表，有555n?1.96，解得n?96.04，即抽取样本容量n约为96时，可使P(x?40?1)?0.95. 52二、从正态总体N(?,0.5)中抽取容量为10的样本X1,X2,?,X10．
（1）已知??0，求?Xi2?4的概率；
i?110 （2）未知?，求
??i?1i10Xi?X?2?2.85的概率．
解：（1）因为
1?2?(xi?110??)2~?2(10)，所以有
102i11024110P(?X?4)?P(2?Xi?)?P(2?(Xi?0)2?16) 20.5i?10.50.5i?1i?1?P(?2(10)?16)?0.10
10?12s*~?2(9)，所以有 = （2）因为2?1010?11102.8522P(?(Xi?X)?2.85)?P(2?(X?X)?) ?i210?1??i?1i?12.8522)?P(?(9)?11.4)?0.25 ?P(?(9)?20.522三、设总体X~N(50,6)，总体Y~N(46,4)，从总体X中抽取容量为10的样本，从总体Y样本，求下列概率：
中抽取容量为8的
S12（1）；P(0?X?Y?8)；（2）P(2?8.28)．
S2解：（１）因为
X~N(50,62)，Y~N(46,42)，所以由
(X?Y)?(?1??2)u?~N(0,1)．
22?1?2?n1n225
得