概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率
DX?EX2?(EX)2?
三、设离散型随机变量X的概率函数为
211211??()??22ppppp
2k1P[X?(?1)]?k,k?1,2,?,
k2问X的数学期望是否存在？若存在，请计算E(X)；若不存在，请解释为什么．
kkk??2k1(?1)kk2k2解：因为?xiP(X?xi)??(?1)P[X?(?1)]??(?1)?k??kkk2ki?1k?1k?1k?1??k不绝对收敛，所以?没有数学期望．
四、设随机变量X的概率密度为
1?,?f(x)???1?x2?0 ,?12x?1;x?1. 求数学期望E(X)及方差D(X)．
解：E(X)?1?x??1121x222D(X)??xf(x)dx??x?dx??dx
???1022??1?x?1?x?2x11[?1?x2?arcsinx]1? 0π222X的概率密度为
??xf(x)dx??x????1??1dx?0
五、（拉普拉斯分布）设随机变量
f(x)?1?xe, (???x???) ．求数学期望E(X)及方差2D(X)．
解：EX1???xxedx?0 ?????2????1??2?x2DX??xf(x)dx??xedx??x2e?xdx??(3)?2!?2
??02????xf(x)dx???（分部积分亦可）
11 随机变量函数的数学期望·关于数学期望与方差的定理
一、设随机变量X服从二项分布B(3,0.4)，求Y解：X的概率分布为
X p
?X(3?X)的数学期望及方差．
21 2 3 0 0.216 0.432 0.288 0.064 Y
的概率分布为
Y p
0 1 0.28 0.72 Y2的分布为
Y2 p 于是有 0 1 0.28 0.72 EY?0?0.28?1?0.72?0.72
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概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率
EY2?0?0.28?1?0.72?0.72
DY?EY2?(EY)2?0.72?(0.72)2?0.2016
二、过半径为R的圆周上一点任意作这圆的弦，求所有这些弦的平均长度．
解：在圆周上任取一点O，并通过该点作圆得直径OA．建立平面直角坐标系，以O为原点，且让OA在过O任作圆的一条弦OB，使OB与
x轴的正半轴上．通
x轴的夹角为?，则?服从[??2,?2]上的均匀分布，其概率密度为
弦OB的长为L(?)???2Rcos??????1,??[?,]??22． f(?)?????0,??[?,]22?????[?,] ，故所有弦的平均长度为
221E[L(?)]??f(?)L(?)d???2???2??2Rcos?d??
?4R???20co?sd??4R?2?si?n04R?．
三、一工厂生产的某种设备的寿命X（以年计）服从指数分布，概率密度为
x?1?4?e, x?0 ; f(x)??4? 0 , x?0 .? 工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换．若工厂售出一台设备赢利100元，
调换一台设备厂方需花费300元．试求厂方出售一台设备的平均净赢利． 解：由题设，有
P(X?1)??进而有 P(X
1????1?4f(x)dx??e4dx??e41?1?e0041xx1
?1)?1?P(X?1)?e
设Y表示“厂方出售一台设备获得的净赢利”，则Y的概率分布为
Y p ?14?200 100 1?e?14 e14?14
从而有
EY??200?(1?e)?100?e答：厂方出售一台设备获得的平均净赢利约为33.64元．
四、设随机变量
??14?300?e?14?200?33.64
，方差为?2X1,X2,?Xn相互独立，并且服从同一分布，数学期望为?．求这些随机变量的算术平
1n均值X??Xi的数学期望与方差．
ni?12解：因为E(Xi)??，D(Xi)??，且随机变量X1,X2,?Xn相互独立．所以有
n1n11n1nE(X)?E(?Xi)?E(?Xi)??E(Xi)?????，
ni?1ni?1ni?1ni?1n1n11D(X)?D(?Xi)?2D(?Xi)?2ni?1nni?11D(X)??in2i?1n??i?1n2??2n．
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概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率
五、一民航送客车载有20位旅客自机场开出，沿途有10个车站可以下车，到达一个车站时如没有旅客下车就不停车．假
设每位旅客在各车站下车是等可能的，且各旅客是否下车相互独立．求该车停车次数的数学期望． 解: 设Xi表示\第i站的停车次数\i?1,2,?,10). 则Xi服从\0?1\分布. 其中
?0,若在第i站无人下车 Xi??1,若在第i站有人下车?于是
Xi的概率分布为
Xi 0 1 p 设
10?120() 101?(10?120) 10X??Xii?1n, 则X表示沿途停车次数, 故有
101010?12010?120EX?E(?Xi)??EXi?10{0?()?1?[1?()]}
1010i?1i?120 ?10(1?0.9)?8.748 即停车次数的数学期望为8.748.
12 二维随机变量的数字特征·切比雪夫不等式与大数定律
一、 设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为
?y?1求：（1）系数A；（2）数学期望E(X)及E(Y)，方差D(X)及D(Y)，协方差cov(X,Y)．
解: (1) 由
f?x,y??A?x22?2 .
??1????????f(x,y)dxdy?1. 有
???x????????A2?y?12?2dxdy?A?d??02???r0?r2?1?2dr??A?1
解得, (2)
A??.
????E(X)???????xf(x,y)dxdy???1????dy??????xx22?y?1?2dx?0.
由对称性, 知
E(Y)?0.
22????????D(X)?E[(X?EX)]?EX??
?xf(x,y)dxdy?2??1????dy??????xx222?y?1?2dx
0?1r2?1 同理, 有 D(Y)???.
cov(X,Y)?E[(X?Ex)(Y?EY)]?E(XY)
00?1??2?d????r3?r2?2dr?2???r(1?r2)?r??2dr?[ln(1?r2)?1??]??? 201?r
???????????xyf(x,y)dxdy
???????????????xyf(x,y)dxdy???1????ydy??xx22?y?1?2dx?0.
二、 设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为
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概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率
?1,y?x,0?x?1; f(x,y)???0,其它．求(1)
cov(X,Y)；(2) XEX??????????与Y是否独立，是否相关，为什么？
1x1解: (1) 因为
?xf(x,y)dxdy??xdx?dy??2x2dx?0?x02 3EY??所以有
?yf(x,y)dxdy??dx?ydy?0
E(XY)???xyf(x,y)dxdy??xdx?ydy?0
????????????0?x10x?x????2cov(X,Y)?E[(X?EX)(Y?EY)]?E[(X?)Y]???xyf(x,y)dxdy
????3????1x??xdx?ydy?0．
01x (2) 当x?(0,1)时,有
fX(x)??????f(x,y)dy??dy?2x; 当x?(0,1)时, 有fX(x)?0.即
?x?xx?2xx?(0,1) fX(x)???0x?(0,1)?1dxx?(0,1)?1?yx?(0,1)??y同理有 fY(y)??1 ??1?yx?(0,1)dxx?(0,1)????y?因为 fX(x)fY(y)?f(x,y), 所以X与Y不是独立的．又因为cov(X,Y)?0, 所以X
三、 利用切比雪夫不等式估计随机变量X与其数学期望E(X)的差的绝对值大于三倍标准差
与Y是不相关的．
?(X)的概率．
解：P(??E??3D?)?D?1． ?29(3D?)
四、为了确定事件A的概率，进行10000次重复独立试验．利用切比雪夫不等式估计：用事件A
在10000次试验中发生的频率作为事件A的概率的近似值时，误差小于0.01的概率． 解：设ξ表示“在10000次试验中事件A的次数”，则?E??np?10000?0.5?5000
于是有
~B(10000,0.5)且有
D??npq?1000?00.5?(1?0.5)?250 0mnpqpq ?p?0.01)?P(m?np?0.01p)?1??1?n(0.01p)2(0.01)2n ?1?pq?1?0.25?0.75
P(
五、 样检查产品质量时，如果发现次品多于10个，则认为这批产品不能接受．应该检查多少
个产品，可使次品率为10%的一批产品不被接受的概率达到0.9？
~B(n,0.1)，现要求n.
Eξ?0.1n Dξ?0.09n
要使得P(ξ?10)?0.9，即P(10?ξ?n)?0.9，因为P(10?ξ?n)?0.9，所以
10?Eξξ?Eξn?Eξ10?0.1nξ?0.1nn?0.1nP(??)?P(??)
DξDξDξ0.3n0.3n0.3n10?0.1nξ?0.1n10?0.1n?P(??3n)?Φ0,1(3n)?Φ0,1()
0.3n0.3n0.3n0.1n?10Φ0,1(3n)?Φ0,1()?1 （德莫威尔—Laplace定理）
0.3n解：设ξ表示“发现的次品件数”，则ξ
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概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率
因为n?10，所以3n?5，从而有Φ0,1(0,1(3n)?1，故Φ0.1n?100.3n)?0.9．
查表有Φ0,1(1.28)?0.8997，故有
0.1n?100.3n?1.28，解得n?146.
答：应该检查约146个产品，方可使次品率为10%的一批产品不被接受的概率达到0.9．
13 正态分布的概率密度、分布函数、数学期望与方差
一、 设随机变量X服从正态分布N(1,解：(1) P(?1.6?（2）P(X?4.56)． 22)，求（1）P(?1.6?X?5.8)；
X?1?2.4) 2 ?Φ 0,1(2.4)?Φ0,1(?1.3)?Φ0,1(2.4)?[1?Φ0,1(1.3)]?0.9918?1?0.9032?0.8950X?5.8)?P(?2.6?X?1?4.8)?P(?1.3?X?1?1.78) 2 ?1?[Φ)?Φ)]?1?Φ)?1?Φ)] 0,1(1.780,1(?2.780,1(1.780,1(2.78 2?0.9625?0.9973?0.0402.
(2) P(X?4.56)?1?P(X?4.56)?1?P(?2.78?
二、 已知某种机械零件的直径X（mm）服从正态分布N(100,0.6求这种机械零件的不合格品率． 解：设
2)．规定直径在100?1.2（mm）之间为合格品，
p表示这种机械零件的不合格品率，则p?P(X?100?1.2)?1?P(X?100?1.2)．
?1.2X?1001.2X?100??)?P(?2??2) 0.60.60.60.6 ??(2)??(?2)??(2)?[1??(2)]?2?(2)?1 ?2?0.9772?1?0.9544 故p?1?0.9544?0.0456．
而P(X?100?1.2)?P(
三、测量到某一目标的距离时发生的误差X(m)具有概率密度
402?求在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过30m的概率．
解：三次测量中每次误差绝对值都超过30米可表为
f(x)?1e?(x?20)23200
D?{第一次ξ?30}?{第二次ξ?30}?{第三次ξ?30}
因为ξ~N(20,402)，所以由事件的相互独立性，有
?(2?0.5987?0.8944)3?0.50693?0.13025P(D)?(P{ξ?30})3?(P{ξ??30?ξ?30})3?[Φ)?1?Φ)]3 0,1(?1.250,1(0.25 于是有
P{三次测量中?至少有一次绝对值?30米}?1?P(D)?1?0.13025?0.86975．
． X~N(?,?2)，求随机变量函数Y?eX的概率密度（所得的概率分布称为对数正态分布）
解：由题设，知X的概率密度为 四、设随机变量
fX(x)? 从而可得随机变量Y的分布函数为
12??e?(x??)22?2(???x???)
FY(y)?P(Y?y)?P(eX?y)．
当y?0时，有FY(y)?0；此时亦有FY?(y)?0． 当y?0时，有
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