概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率
解：二维随机变量(X
X ,Y)的联合概率分布为
1 2 Y 3 4 5 6 1 2 1 360 0 0 0 0 1 362 360 0 0 0 3 4 1 361 363 360 0 0 1 361 361 364 360 0 5 1 361 361 361 365 360 6
1 361 361 361 361 366 36Y
的边缘概率分布为
Y fY(yj) 1 1 362 3 363 5 364 7 365 9 366 11 36
二、设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数
F(x,y)?A(B?arctan解：（1）由F(??,xy)(C?arctan)． 23求：（1）系数A、B及C；（2）（X，Y）的联合概率密度：（3）边缘分布函数及边缘概率密度．
??)?1,F(0,??)?0,F(??,0)?0，得
ππ?A(B?)(C?)?1?22?ππ1?A(B?0)(C?)?0B?C?A?. 解得，?222π??AC(B?π)?0?2?1?x?y)，所以（X，Y）的联合概率密度为 （2）因为F(x,y)?2(?arctan)(?arctan223?26\f(x,y)?Fxy(x,y)?2.
?(4?x2)(9?y2)（3）X及Y的边缘分布函数分别为
x??x21xxdx?arctan FX(x)??dx?f(x,y)dy???? ???????(4?x2)?211xarctan ??2?2y??x31yyFY(x)??dy?f(x,y)dx??dy?arctan?? ???????(9?y2)?311yarctan ??2?3
X及Y的边缘概率密度分别为
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概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率
fX(x)??f(x,y)dy????61211dy??dy 22?2?????2(4?x2)(9?y2)0?(4?x)(9?y)1211y??2 ?2?(arctan)?0223?(4?x)3?(4?x)??????6121fY(y)??f(x,y)dx??dx?dx
?????2(4?x2)(9?y2)?2(9?y2)?04?x2121x??3 ?2(arctan)?02?(9?y2)2?(9?y2)????
三、设(X,Y)的联合概率密度为
?Ae?(2x?3y),x?0,y?0; f(x,y)??其它.?0 ,求：（1）系数
A；（2）(X,Y)的联合分布函数；（3）X????及Y的边缘概率密度；（4）(X,Y)
落在区域R：x?0, y?0, 2x?3y?6内的概率． 解：（1）由
??????????f(x,y)dxdy?1，有A?e?2xdx?e?3ydy?001A?1，解得A?6. 6 （2）(X,Y)的联合分布函数为
xyxy??6?e?2xdx?e?3ydyx?0,y?0F(x,y)??dx?f(x,y)dy??0 0?????其它?0?(1?e?2x)(1?e?3y)x?0,y?0 ??其它?0 （3）X及Y的边缘概率密度分别为
???2x???x?0??6e?2xe?3ydyx?0?2efX(x)??f(x,y)dy??0??
??0x?0?x?0??0
fY(y)?????????3y???6e?2xe?3ydxx?0?3ef(x,y)dx??0???x?0?0?0y?0y?0
（4）P{(X,Y)?R}???f(x,y)dxdy?6?eR3003?2xdx?22?x30e?3ydy
?2?(e?2x?e?6)dx?1?7e?6
,Y)在抛物线y?x2与直线y?x?2所围成的区域R上服从均匀分布．求：
(1) (X,Y)的联合概率密度；(2) 概率P(X?Y?2)． 解：(1) 设(X,Y)的联合概率密度为
?C,(x,y)?R; f(x,y)???0 ,(x,y)?R.2x?22x2x329C2则由??Cdxdy?C?dx?2dy?C?(x?2?x)dx?C(?2x?)?1??1
?1x?1232R2解得C?．故有
9?2?,(x,y)?R;f(x,y)??9
??0 ,(x,y)?R.四、设二维随机变量(X
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概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率
(2)
P(X?Y?2)?x?y?2??f(x,y)dxdy?2?x2?x2122dxdy?dxdy 2????02?x1x99
2122??2xdx??(2?x?x2)dx 90912212x2x3213?x0?(2x??)1??0.481． 992327９ 随机变量的独立性·二维随机变量函数的分布
一、 设X与Y是两个相互独立的随机变量，X在[0,1]上服从均匀分布，Y的概率密度为
y?1?2?fY(y)??2e,y?0;
?y?0.?0,求 (1) (X,Y)的联合概率密度; (2) 概率P(Y?X)．
?1,x?(0,1)X解: (1)的概率密度为fX(x)??，(X,Y)的联合概率密度为（注意X,Y相互独立）
0,x?(0,1)?y?1?2?f(x,y)?fX(x)fY(y)??2e,0?x?1,y?0
?其它?0, （2）P(Y?X)?y?x???f(x,y)dxdy??dx?0?121??x1edy??(?e02?1y2?y2??x)dx??e01?x22dx
??2ex2210?2(1?e)?0.7869
二、 设随机变量X与Y独立，并且都服从二项分布：
iin1?ipX(i)?Cnpq, i?0, 1, 2,?, n1;1pY(j)?Cpq证明它们的和Z?证明: 设k?i?j, 则
jn2jn2?j, j?0, 1, 2,?, n2.
X?Y也服从二项分布．
kkiin1?ik?ik?in2?k?i PZ(k)?P(Z?k)??PX(i)PY(k?i)??CnpqCpqn12i?0i?0ii?(?CnCn)pkqn1?n2?k12i?0k
由
?i?0kkk?iCmCnk?Cm?n, 有
?Ci?0kiin1Cn2k. 于是有 ?Cn1?n2iPZ(k)?Cnpkqn1?n2?k (k?0,1,2,?,n1?n2)
1?n2由此知Z?X?Y也服从二项分布.
三、设随机变量X与Y独立，并且X在区间[0，1]内服从均匀分布，Y在区间[0，2]内服从辛普森分布：
?y, 0?y?1;?fY(y)??2?y, 1 ?y?2 ;
?0, y?0或y?2.?求随机变量Z解:
?X?Y的概率密度．
X的概率密度为
?1,x?[0,1] . 于是(X,Y)的联合概率密度为 f?(y)???0,x?[0,1]13
概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率
当0?x?1,0?y?1?y, ?f(x,y)??2?y, 当0?x?1,1 ?y?2
?0, 其它.?Z?X?Y的联合分布函数为FZ(z)?P{Z?z}?P{X?Y?z}?P{(x,y)?D}，其中D是x?y?zf(x,y)的定义域的公共部分.
与
z?0,z?3?0?z20?z?1?2?故有 FZ(z)?? 32?z?3z?1?z?2?2?1292?z?3?z?3z?2?2 从而随机变量Z?X?Y的概率密度为
z?0,z?3?0?z0?z?1? fZ(z)????2z?31?z?2?2?z?3?z?3
三、 电子仪器由六个相互独立的部件Lij（i?1,2;j?1,2,3）组成，联接方式如右图所示．设各个部件的使用寿命Xij服从相同的指数分布e(?)，求仪器使用寿命的概率密度．
解: 由题设，知Xij的分布函数为
FXij先求各个并联组的使用寿命Yi (i有
?1?e??x,x?0??
x?0?0,?1,2,3)的分布函数.因为当并联的两个部件都损坏时,第i个并联组才停止工作,所以
Yi?max(?1i,?2i) (i?1,2,3)
从而有Yi (i?1,2,3)的分布函数为
y?0 y?0设Z\仪器使用寿命\因为当三个并联组中任一个损坏时,仪器停止工作.所以有Z?min(Y1,Y2,Y3).从而有ZFYi(y)?FX1iFX2i布函数为
?(1?e??y)2,???0,的分
?1?[1?FY1(z)][1?FY2(z)][1?FY3(z)],z?0?1?[1?(1?e??z)2]3,z?0 FZ(z)????0,z?00,z?0??故Z的概率密度为
?6?e?3?z(1?e??z)(2?e??z)2,z?0 fZ(z)??z?0?0,
10 随机变量的数学期望与方差 一、 一批零件中有9个合格品与3个废品．安装机器时从这批零件中任取一个．如果取出的废品不再放回去，求在取得合
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概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率
格品以前已取出的废品数的数学期望、方差与标准差．
解：设X表示“在取得合格品以前已取出的废品数”，则X的概率分布为
0 1 X 2 3 p
即
34 944 92201220 X p 于是有 0 1 2 3 0.75 0.205 0.041
0.004 EX?0?即
399133?1??2??3??444220220110EX?0?0.75?1?0.205?2?0.041?3?0.004?0.3
X2的分布为
X2 p
即
0 1 4 9 3494492201220 X2 p 于是有
0 1 4 9 0.75 0.205 0.041 0.004 EX2?0?即
39919?1??4??9?? 44422022022EX2?0?0.75?1?0.205?4?0.041?9?0.004?0.4091
从而有
DX?EX2?(EX)2??X解：设X表示“第i次击中”(i
X p 于是有 ?933242471?()??0.3191 22110133100?DX?0.3191?0.565
的分布为
3 ?? ?? 二、 对某一目标进行射击，直至击中为止．如果每次射击命中率为p，求射击次数的数学期望及方差．
?1,2,?)，则X1 2 p i?1?pq pq2 ?n pqn?1 ?? ?? EX??ipqi?1?p?iqi?1i?1qp1 ?p(?qi)??p()???21?qp(1?q)i?19 ?? ?? X2的分布为 X2 p 于是有 1 4 p ?2i?1?pq ipq2 ?n2 pqn?1 ?? ?? EX??ipq2i?1?p[q(?q)?]??p(?qi)??i?1i?1p(1?q)2?p21??? 322p(1?q)pp进一步有
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