概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率 P(0?X?Y?8)?P(?50?4622 （２）因为
6464??1081084(X?Y)?(50?46)4?P(???)
5.65.65.6?2?(1.69)?1?0.909．
?(X?Y)?(50?46)22?8?(50?46)64?10822)
X~N(50,62)，Y~N(46,42)，所以由
S12?12F?22~F(9,7)．
S2?2得
S12S1262S126242P(2?8.28)?P(22?8.28?2)?P(22?3.68)?0.95．
S2S246S24四、设总体X服从“0—1”分布：
P(X?x)?px(1?p)1?x, x?0或1解：P(Xi．
抽取样本X1,X2,?,Xn，求样本均值X的概率分布，数学期望E(X)及方差D(X)． ，于是有 ?x)?px(1?p)1?x, (x?0或1）??EXi?0?(1?p)?1?p?p ??DXi?p(1?p)
其中i?1,2,?,n.于是有
mmmP(X?)?Cnp(1?p)n?m
n1n1n1nE(X)?E(?Xi)??E(Xi)??????p
ni?1ni?1ni?11n1n1n?p(1?p) D(X)?D(?Xi)?2?D(Xi)?2????ni?1nnni?1ni?1
17 参数的点估计
一、设总体X服从“0—1”分布：
P(X?x)?px(1?p)1?x, x?0或1．
如果取得样本观测值x1,x2,?,xn (xi?0或1)，求参数p的矩估计值与最大似然估计值．
解：(1)
似然函数为L(x,p)??p(1?p)xii?1n1?xi?p?i?1nxin?(1?p)?xii?1n，取对数，有
nlnL(x,p)??xilnp?(n??xi)ln(1?p)．
i?1i?1n令
xi(n??xi)dlnL(x,p)i??1i?1??ln(1?p)?0dpp1?pnn，解得
np??xii?1n，从而得
p的极大似然估计值为
??x． p二、设总体X的概率密度为
??x??1, 0?x?1;f(x;?)??
其它.?0, 其中?>0．如果取得样本X1,X2,?,Xn，求参数?的矩估计量与最大似然估计量．
解：
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概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率
似然函数为L(?)???(xi,?)???xi??1，取对数，有
i?1i?1nnlnL(?)??[ln??(??1)lnxi]．
i?1ndlnL(?)n1nn??(?lnxi)???lnxi?0，求得?令
i?1?d??i?1n????n?lnxii?1的极大似然估计值为 ．
三、设总体X服从?分布，其概率密度为
?????1??xxe, x?0;?f(x;?,?)??????
?0, x?0.? 其中参数?>0，?>0．如果样本观测值为x1,x2,?,xn, （1）求参数?及?的矩估计值；
（2）已知?=?0，求参数?的极大似然估计值． 解：（1）因为E(X)?令?x?t?????x?(x;?,?)dx????0x????1??xxedx ????????t??t11?()edt??????0???????E(X)??x?(x;?,?)dx????2??2??0???0t?e?tdt?????1?．
?????x2????1??xxedx
????令?x?t????t??1?t11?()edt??????0???????2???0t??1e?tdt?????2?． 2?????．
所以，根据矩估计，有
1n1n22E(X)??xi?x，E(X)??xini?1ni?1??(??1)1n2?x，??xi． 即
?2ni?1???1n21n2~2． ?x，2??xi?x??(xi?x)2??亦即
?ni?1ni?1?x2??x??~2 , ?解得 ?~2??（2）由（1），有
．
??0?x，故有??0.
x?X1,X2,X3，证明下列三个统计量
XXXXXXXXX?1?1?2?3, ??2?1?2?3, ??3?1?2?3 ?236244333都是总体均值E(X)??的无偏估计量；并确定哪个估计量更有效．
XXX111111?1)?E(1?2?3)?E(X1)?E(X2)?E(X3)?(??)EX?EX解：因为E(?236236236XXX111111?2)?E(1?2?3)?EX1?EX2?EX3?(??)EX?EX． E( ?244244244四、从总体X中抽取样本
．
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概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率
X1X2X3111111??)?EX1?EX2?EX3?(??)EX?EX． 333333333?1, ??2, ??3都是总体均值EX??的无偏估计量． 所以?XXX111?1)?D(1?2?3)?D(X1)?D(X2)?D(X3) 又因为D(?2364936111?(??)DX?0.39DX．
4936XXX111?2)?D(1?2?3)?DX1?DX2?DX3D( ?24441616111?(??)DX?0.375DX．
41616XXX111111?3)?D(1?2?3)?DX1?DX2?DX3?(??)DX?0.33DXD( ?333999999?3更有效． 所以， ??3)?E(E( ?五、设总体X服从指数分布e(
．
1?)，其中??0，抽取样本X1,X2,?,Xn ，证明：
X2却不是?2的无偏估计量；
(1) 虽然样本均值X是?的无偏估计量，但 (2) 统计量
nX2是?2的无偏估计量． n?11n1n解：E(X)?E(?Xi)??E(Xi)??．
ni?1ni?1
E(X)?D(X)?[E(X)]?222?2n??2．
2由此可见，虽然样本均值X是?的无偏估计量，但X却不是?的无偏估计量．
18 正态总体参数的区间估计·两个正态总体均值差及方差比的区间估计
一、设总体
2X~N(?,?2)，如果样本观测值为
6.54 8.20 6.88 9.02 7.56,
的置信水平为0.95的置信区间，假定：（1）已知?=1.2；（2）未知?．
求总体均值?解：（1）由1???95%，解得??0.05.
2又由题设，有x?7.64，s?1.003，u??1.96，从而由
252有 6.588???8.692，
)． 即 ??(6.588,8.692（2）因为t??t0.025?1.96，所以由
2x??0u????x??05u?，
2x?即
snt????x?2snt?2，
7.64?0.2006?1.96???7.64?0.2006?1.96．
解得 6.395???8.885．
二、设电子元件的寿命服从正态分布
N(?,?2)，抽样检查10个元件，得到样本均值x=1500(h)，
样本标准差s=14（h），求：
（1）总体均值?的置信水平为0.99的置信区间；
（2）用x作为?的估计值，误差绝对值不大于10(h)的概率．
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概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率
解：（1）由1??又由题设
?99%，解得??0.01.
，有x?1500，n?10，
s?14，
?未知，查表得
t??t0.005?2.582故由
x?sst????x?t?，有 n2n21500?1414?2.58???1500??2.58． 1010亦即 1485.6???1514.4．
s14（2）P(x???t?)?P(x???t?)?P(x???10)?1??，
n2102?5?0.025，即??0.05，故 t??10?2.258，查表得77272即
14t??10102，亦即
P(x???10)?1???0.95．
三、设总体
X~N(?,?2)，已知?=?0，要使总体均值?的置信水平为1??的置信区间的长度不大
于l，问需要抽取多大容量的样本？ 解：因为
????x??2所以有 x?进一步有2即4(u?)?n．综u????x?u?．u??l，~N(0,1)，
l2?nn2n2n2n?4(上述，故有
?0lu?)2．
2四、测得16个零件的长度（mm）如下：
12.15 12.12 12.01 12.08 12.09 12.16 12.03 12.01 12.06 12.13 12.07 12.11 12.08 12.01 12.03 12.06
设零件长度服从正态分布，求零件长度标准差的置信水平为0.99的置信区间．如果：
（1）已知总体均值为12.08mm；（2）未知总体均值． 解：x?12.08，s?0.0494，1???0.99，??0.01
（1）P(?(xi?11616i?12.08)2??22????(xi?11616i?12.08)2?2?1?2)?0.99．
?(x置信区间为
i?1i?12.08)2??22????(xi?1i?12.08)2?2?1?2，即
0.0328???0.0848．
（2）未知均值时，有
(n?1)s22??2???(n?1)s2?2?1?2．
故置信区间为
0.0334???0.0892．
五、从甲、乙两个生产蓄电池的工厂的产品中，分别抽取一些样品，测得蓄电池的电容量(A·h) 如下：
甲厂： 144 141 138 142 141 143 138 137；
乙厂： 142 143 139 140 138 141 140 138 142 136. 设两个工厂生产的蓄电池的电容量分别服从正态分布N(?1 （1）电容量的均值差?1
2,?12)及N(?2,?2)，求：
； ??2的置信水平为0.95的置信区间（假定?1??2）
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概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率
2/?2的置信水平为0.95的置信区间．
解：甲厂产品的样本均值为x1?140.5，样本方差为s12?5.75，乙厂产品的样本均值为x1?139.9，样本方差为2s2?4.29．
（1）由题设，有1???0.95，解得??0.05．当自由度k?8?10?2?16时，查表得
t??t0.025?2.12．
（2）电容量的方差比?122又由公式sw?2n1s12?n2s2n1?n2?2，得sw?8?5.75?10?4.29?2.36．
8?10?2，得所求置信区间为
所以由公式x?y?t?sw2
（2）由题设，有1??1111???1??2?x?y?t?sw?n1n2n1n22?1.773??1??2?2.973．
?0.95，解得??0.05． 当自由度k1?8?1?7，k2?10?1?9时，查表可得
F?(k1,k2)?F0.025(7,9)?4.2．
2又由公式F?(k1,k2)1?2?F0.975(k1,k2)?11．所以由公式 ?F0.025(9,7)4.82s12?12?2?2F?(k1,k2)s2?2F21?s122?(k1,k2)s22，
得所求置信区间为
6.57?124.82?6.57． ?2?4.2?4.77?24.77即
?120.328?2?6.645．
?219 假设检验的基本概念·正态总体参数的假设检验 一、进行假设检验时，选取的统计量（ ）。
（1）是样本的函数； （2）不能包含总体分布中的任何参数； （3）可以包含总体分布中的已知参数； （4）其值可以由取定的样本值计算出来。 二、在假设检验问题中，显著性水平?的意义是（ ）。
（1）原假设H0成立，经检验被拒绝的概率； （2）原假设H0成立，经检验不能拒绝的概率； （3）原假设H0不成立，经检验被拒绝的概率；（4）原假设H0不成立，经检验不能拒绝的概率。 三、某切割机正常工作时，切割的金属棒的长度服从正态分布 N(100, 22)．从该切割机切割的一批金
属棒中抽取15根，测得它们的长度(mm)如下：
99 101 96 103 100 98 102 95 97 104 101 99 102 97 100.
（1） 若已知总体方差不变，检验该切割机工作是否正常，即总体均值是否等于100mm（取显著性水 平??0.05）；
（2）若不能确定总体方差是否变化，检验总体均值是否等于100mm（取显著性水平??0.05）．四、从某电工器材厂生产的一批保险丝中抽取10根，测试其熔化时间，得到数据如下：
42 65 75 78 71 59 57 68 55 54. 设这批保险丝的熔化时间服从正态分布，检验总体方差?是否等于12（取显著性水平?五、无线电厂生产某种高频管，其中一项指标服从正态分布 N(?,? 中抽取8个，测得该项指标的数据如下：
68 43 70 65 55 56 60 72.
22
2?0.05）．
)．从该厂生产的一批高频管
?60，检验假设H0: ?2?49, H1: ?2?49（取显著性水平??0.05）；
22 （2）若未知?，检验假设H0: ??49, H1: ??49（取显著性水平??0.05）．
（1）若已知? 30