P(A)?1?P(A)
若A?B ?P(B?A)?P(B)?P(A)
对任意两个事件A, B, 有 P(B?A)?P(B)?P(AB)
加法公式：对任意两个事件A, B, 有
P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB) P(A?B)?P(A)?P(B)
P(?Ai)??P(Ai)?i?1i?1nn1?i?j?n?P(AA)ij?1?i?j?k?n?P(AAA)???(?1)ijknn?1P(A1A2?An)
3．条件概率
P?BA??
乘法公式
P(AB) P(A)P(AB)?P(A)P?BA?(P(A)?0)
P(A1A2?An)?P(A1)P?A2A1??P?AnA1A2?An?1?(P(A1A2?An?1)?0)
全概率公式
P(A)??P(ABi) ??P(Bi)?P(ABi)
i?1i?1nn
Bayes公式
P(BkA)?P(Bk)P(ABk)P(ABk) ?n
P(A)?P(Bi)P(ABi)i?1
4．随机变量及其分布
分布函数计算
P(a?X?b)?P(X?b)?P(X?a)
?F(b)?F(a)
5．离散型随机变量
(1) 0 – 1 分布
P(X?k)?pk(1?p)1?k,k?0,1
(2) 二项分布 B(n,p) 若P ( A ) = p
kkP(X?k)?Cnp(1?p)n?k,k?0,1,?,n
*Possion定理
limnpn???0
n??有
limCp(1?pn)n??knknn?kk!
k?0,1,2,??e???k
(3) Poisson 分布 P(?)
??P(X?k)?e?kk!,k?0,1,2,?
6．连续型随机变量
(1) 均匀分布 U(a,b)
?1?f(x)??b?a??0a?x?b其他
?0,??x?aF(x)??,
b?a???1
(2) 指数分布 E(?)
??x???e,x?0 f(x)???其他?0,x?0?0, F(x)????x1?e,x?0?
(3) 正态分布 N (? , ? 2 )
f(x)?1e2???(x??)22?2???x???
F(x)?12???x??e?(t??)22?2dt
*N (0,1) — 标准正态分布
?1?(x)?e2?x22 ???x???
?t22
?(x)?12??x??edt???x???
7.多维随机变量及其分布
二维随机变量( X ,Y )的分布函数
F(x,y)??x?????yf(u,v)dvdu
边缘分布函数与边缘密度函数
FX(x)??x?????????f(u,v)dvdu
fX(x)??f(x,v)dv
??yFY(y)??
???????f(u,v)dudv
fY(y)??f(u,y)du
???? 8.连续型二维随机变量
(1) 区域G 上的均匀分布，U ( G )
?1?,(x,y)?Gf(x,y)??A
?其他?0,
(2)
二维正态分布
f(x,y)?12??1?21??2??e?(x??1)2(x??1)(y??2)(y??2)2??2????2?1?22(1??2)??22???1?1
???x???,???y???
9.
二维随机变量的 条件分布
f(x,y)?fX(x)fYX(yx)
?fY(y)fXY(xy)fX(x)?0 fY(y)?0
??fX(x)??f(x,y)dy??fXY(xy)fY(y)dy
??????fY(y)??f(x,y)dx??fYX(yx)fX(x)dx
????????
fYX(yx)fX(x)f(x,y) ? fXY(xy) ?fY(y)fY(y)fXY(xy)fY(y)f(x,y) ? fYX(yx) ?fX(x)fX(x)
10.随机变量的数字特征
数学期望
E(X)??xkpk
k?1??
E(X)??xf(x)dx
????
随机变量函数的数学期望
X 的 k 阶原点矩
E(Xk)
X 的 k 阶绝对原点矩
E(|X|k)
X 的 k 阶中心矩
E((X?E(X))k)
X 的 方差
E((X?E(X))2)?D(X)
X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩
E(XkYl)
X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩
E(X?E(X))k(Y?E(Y))l
X ,Y 的 二阶混合原点矩
??E(XY)
X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差
E?(X?E(X))(Y?E(Y))?
X ,Y 的相关系数
?(X?E(X))(Y?E(Y))????XY E???D(X)D(Y)??