②?是属于?的特征向量??是?? E?A?x?0的非零解 称多项式xE?A为A的特征多项式。
?是A的特征值??是A的特征多项式xE?A的根。 ?的重数：?作为xE?A的根的重数。
n阶矩阵A的特征值有n个：? 1,? 2,?,? n，可能其中有的不是实数，有的是多重的。 计算步骤：
①求出特征多项式xE?A。 ②求xE?A的根，得特征值。
③对每个特征值? i，求?? iE?A?x?0的非零解，得属于? i的特征向量。
n阶矩阵的相似关系
设A，B是两个n阶矩阵。如果存在n阶可逆矩阵U，使得U记作A~B。
n阶矩阵的对角化
基本定理 A可对角化?A有n个线性无关的特征向量。 设可逆矩阵U???1,?2,?,?n?，则
?1AU?B，则称A与B相似，
??1??0?1 UAU??0??0?0?20000?0???? ??n??0000??1??0???A?,?,?,??U 12n?0??0??2000??00????1?1,?2?2,?,?n?n? ??0?0?n??0 ?A?i??i?i，i?1,2,?,n 判别法则
A可对角化?对于A的每个特征值?，?的重数?n????E?A?。
计算：对每个特征值?i，求出??iE?A?x?0的一个基础解系，把它们合在一起，得到n个线
性无关的特征向量，?1,?,?n。令U???1,?2,?,?n?，则
??1??0?1 UAU??0??0?0?2000??00?，其中?i为?i的特征值。
?0??0?n??0
二次型（实二次型） 二次型及其矩阵
一个n元二次型的一般形式为 f?x1,x2,?,xn???ai?1n2iiix?2?aijxixj
i?j 只有平方项的二次型称为标准二次型。
2222 形如：x1?x2???x2p?xp?1???xp?q的n元二次型称为规范二次型。
对每个n阶实矩阵A，记x??x1,x2,?,xn?，则xAx是一个二次型。
TT f?x1,x2,?,xn??xTAx
称A的秩??A?为这个二次型的秩。 标准二次型的矩阵是对角矩阵。 规范二次型的矩阵是规范对角矩阵。
可逆线性变量替换
设有一个n元二次型f?x1,x2,?,xn?，引进新的一组变量y1,y2,?,yn，并把x1,x2,?,xn用它们表示。
?x1?c11y1?c12y2???c1nyn?c11??x?cy?cy???cy?2?c212112222nn ? （并要求矩阵C???????c??n1?xn?cn1y1?cn2y2???cnnync12?c1n??c22?c2n?是可逆矩阵）
?????cn2?cnn?? 代入f?x1,x2,?,xn?，得到y1,?,yn的一个二次型g?y1,?,yn?这样的操作称为对f?x1?xn?作了一次可逆线性变量替换。
设Y??y1,y2,?,yn?，则上面的变换式可写成
T x?CY
则f?x1?xn??xTAx?YTCTACY?g?y1,?,yn? 于是g?y1,?yn?的矩阵为CAC
T CTAC??T?CTATCT?CTAC
实对称矩阵的合同
两个n阶实对称矩阵A和B，如果存在n阶实可逆矩阵C，值得CAC?B。称A与B合同，记作A~?B。
命题：二次型f?x1?xn??xTAx可用可逆线性变换替换化为
g?y1?yn??YBY?A~?B
TT二次型的标准化和规范化
1．每个二次型都可以用可逆线性变量替换化为标准二次型和规范二次型。
也就是每个实对称矩阵都会同于对角矩阵和规范对角矩阵。 设A是一个实对称矩阵，则存在正交矩阵Q，使得D?Q?1AQ是对角矩阵。
QTAQ?Q?1AQ?D A~D，A~?D
2．标准化和规范化的方法 ①正交变换法 ② 配方法
3．惯性定理与惯性指数
定理：一个二次型用可逆线性变换替换化出的标准形的各个平方项的系数中，大于0的个数和小于0的个数是由原二次型所决定的，分别称为原二次型的正、负惯性指数。
一个二次型化出的规范二次型在形式上是唯一的，也即相应的规范对角矩阵是唯一的。 用矩阵的语言来说：一个实对称矩阵A合同于唯一规范对角矩阵。
定理：二次型的正、负惯性指数在可逆线性变量替换下不变；两个二次型可互相转化的充要条件是它们的正、负惯性指数相等。
实对称矩阵的正（负）惯性指数就等于正（负）特征值的个数。
正定二次型与正定矩阵
定义：一个二次型f?x1,x2,?,xn?称为正定二次型，如果当x1,?,xn不全为0时，
f?x1,x2,?,xn??0。
222 例如，标准二次型f?x1,x2,?,xn??d1x1正定?di?0，?d2x2???dnxni?1,?,n
（必要性“?”，取x1?1，x2???xx?0，此时f?1,0,?,0??d1?0同样可证每个di?0）
TT 实对称矩阵正定即二次型xAx正定，也就是：当x?0时，xAx?0。
?? 1??0 例如实对角矩阵?0??0?0? 2000??00?正定?? i?0，i?1,?,n
?0??0? n??0 定义：设A是一个n阶矩阵，记Ar是A的西北角的r阶小方阵，称Ar为A的第r个顺序主子式（或r阶顺序主子式）。
附录一 内积，正交矩阵，实对称矩阵的对角化
一．向量的内积 1．定义
两个n维实向量?,?的内积是一个数，记作??,??，规定为它们对应分量乘积之和。
?a1??b1??????a2??b2?T 设????,????，则 ??,???a1b1?a2b2???anbn ???
???????a??b??n??n? 2．性质
①对称性：??,?????,??
②双线性性质：??1??2,?????1,?????2,?? ??,?1??2????,?1????,?2? ?c?,???c??,?????,c??
③正交性：??,???0，且??,???0???0 ??,???2a?i i?1n
3．长度与正交 向量?的长度
????,????ai2i?1n
??0???0
?
c??c 单位向量：长度为1的向量
?2????1??0??2??????， ?0?，?1?，?0??0??0???????2?????2? 若??0，则
?1????1 是单位向量，称为?的单位化。 ??? 两个向量?,?如果内积为0：??,???0，称它们是正交的。
如果n维向量组?1,?2,?,?s两两正交，并且每个都是单位向量，则称为单位正交向量组。 例1．如果向量组?1,?2,?,?s两两正交，并且每个向量都不为零向量，则它们线性无关。 证：记A?? ?1,?2,?,?s?，则
??1??0 ATA???0?0?2002?2000?00??0?? 0?2?s?? 则rATA?s,?r?A??s即r??1,?,?s??s。
例2．若A是一个实的矩阵，则rAA?r?A?。
T???? 二．正交矩阵
一个实n阶矩阵A如果满足AA?E，就称为正交矩阵。A?A 定理 A是正交矩阵?A的行向量组是单位正交向量组。
?A的列向量组是单位正交向量组。 例3．正交矩阵A保持内积，即 ?A?,A?????,??
TT?1