两种常用的情况 （1）A,B都分成4块
A???
?A11?A21A12??B11??，B???BA22??21B12?? ?B22? 其中Ai1的列数和B1j的行数相等，Ai2的列数和B2j的行数相关。 AB???AA?AB2221?2111 （2）准对角矩阵
?A11B11?A12B21A11B12?A12B22?? ?A21B12?A22B22??A11??0 ???0??A11??0 ????0?0A2200A2200???0?? ???Akk???0??B11???0??0????????Akk???0?0B22?00??A11B11???0??0?????????Bkk???0?0A22B220????0?? ??AkkBkk??0
矩阵方程与可逆矩阵
两类基本的矩阵方程 （都需求A是方阵，且A?0） ?I?Ax?B ?II?xA?B （I）的解法：
AB???Ex
（II）的解法，先化为Ax?B。
TTT AB?Ex。
??行??TTT?????1 通过逆求解：Ax?B，x?AB
可逆矩阵及其逆矩阵
定义：设A是n阶矩阵，如果存在n阶矩阵H，使得AH?E，且HA?E，则称A是可逆矩阵，称H是A的逆矩阵，证作A。 定理：n阶矩阵A可逆?A?0 求A的方程（初等变换法）
?1?1??EA?1 AE?
伴随矩阵
??行???A11??A12 A*?????A?1n 线性表示
A21A22?A2nAn1???An2?T???A ij?????Ann???
?可以用?1,?2,?,?s线性表示，即?可以表示为?1,?2,?,?s的线性组合，
也就是存在c1,c2,?,cs使得 c1?1?c2?2???cs?s?? 记号：???1,?2,?,?s
线性相关性
线性相关：存在向量?i可用其它向量?1,?,?i?1,?i?1,?,?s线性表示。 线性无关：每个向量?i都不能用其它向量线性表示
定义：如果存在不全为0的c1,c2,?,cs，使得c1?1?c2?2???cs?s?0则称
?1,?2,?,?s线性相关，否则称?1,?2,?,?s线性无关。
即：?1,?2,?,?s线性相（无）关?x1?1???xs?s?0有（无）非零解
???1,?2,?,?s?x?0有（无）非零解
极大无关组和秩
定义：?1,?2,?,?s的一个部分组?I?称为它的一个极大无关组，如果满足： i）?I?线性无关。
ii）?I?再扩大就相关。
?I????1,?2,?,?s ?II???1??s??I?
定义：规定?1,?2,?,?s的秩? ??1,?2,?,?s??#?I?。
如果?1,?2,?,?s每个元素都是零向量，则规定其秩为0。
0?? ??1,?,?s??min?n,s?
有相同线性关系的向量组
定义：两个向量若有相同个数的向量：?1,?2,?,?s,?1,?2,?,?s，并且向量方程 x1,?1?x2?2???xs?s?0与x1?1?x2?2???xs?s?0同解，则称它们有相同的线性关系。
①对应的部分组有一致的相关性。
?1,?2,?4的对应部分组?1,?2,?4，
若?1,?2,?4相关，有不全为0的c1,c2,c4使得 c1?1?c2?2?c4?4?0，
即?c1,c2,0,c4,0,?,0?是x1?1?x2?2???xs?s?0的解， 从而也是x1?1?x2?2???xs?s?0的解，则有 c1?1?c2?2?c4?4?0，
?1,?2,?3也相关。
②极大无关组相对应，从而秩相等。 ③有一致的内在线表示关系。
设：A???1,?2,?,?s?，B???1,?2,?,?s?，则
x1?1?x2?2???xs?s?0 即 Ax?0， x1?1?x2?2???xs?s?0 即 Bx?0。
?1,?2,?,?s与?1,?2,?,?s有相同的线性关系即Ax?0与Bx?0同解。
反之，当Ax?0与Bx?0同解时，A和B的列向量组有相同的线性关系。
矩阵的秩
定理：矩阵A的行向量组的秩=列向量组的秩 规定r?A??行（列）向量组的秩。
r?A?的计算：用初等变换化A为阶梯形矩阵B，则B的非零行数即r?A?。 命题：r?A??A的非零子式阶数的最大值。
方程组的表达形式
?a11x1?a12x2???a1nxn?b1?ax?ax???ax?b?2112222nn2 1．?
????am1x1?am2x2???amnxn?bm 2．Ax?? ?是解?A???
3．x1?1?x2?2???xn?n?? 有解????1,?2,?,?n
基础解系和通解
1．Ax?0有非零解时的基础解系
?1,?2,?,?e是Ax?0的基础解系的条件： ①每个?i都是Ax?0的解
②?1,?2,?,?e线性无关
③Ax?0的每个解???1,?2,?,?e
③l?n???A?
/
通解
①如果?1,?2,?,?e是Ax?0的一个基础解系，则Ax?0的通解为
c1?1?c2?2???ce?e，ci任意
②如果?0是Ax?????0?的一个解，?1,?2,?,?e是Ax?0的基础解系，则Ax??的通解为
?0?c1?1?c2?2???ce?e，ci任意
特征向量与特征值
定义：如果??0，并且A?与?线性相关，则称?是A的一个特征向量。此时，有数?，使得A????，称?为?的特征值。
设A是数量矩阵?E，则对每个n维列向量?，A????，于是，任何非零列向量都是?E的特征向量，特征值都是?。
①特征值有限特征向量无穷多
若A????，A?c???cA??c?????c??
A?1???1???A?c1?1?c2?2??c1A?1?c2A?2???c1?1?c2?2?
A?2???2? ②每个特征向量有唯一特征值，而有许多特征向量有相同的特征值。 ③计算时先求特征值，后求特征向量。
特征向量与特征值计算 A????,??0
???E?A???0,??0
??是??E?A?x?0的非零解 命题：①?是A的特征值?? E?A?0