s?1，单个向量?，x??0
?相关???0
?1,?2相关?a1:b1?a2:b2???an:bn
s?2，?1,?2相关?对应分量成比例
①向量个数s=维数n，则?1,?,?n线性相（无）关??1??n????0 A???1,?2,?,?n?，Ax?0有非零解?A?0
如果s?n，则?1,?2,?,?s一定相关
Ax?0的方程个数n?未知数个数s ②如果?1,?2,?,?s无关，则它的每一个部分组都无关
③如果?1,?2,?,?s无关，而?1,?2,?,?s,?相关，则???1,?2,?,?s
证明：设c1,?,cs,c不全为0，使得c1?1???cs?s?c??0
则其中c?0，否则c1,?,cs不全为0，c1?1???cs?s?0，与条件?1,?,?s无关矛
盾。于是???cc1?1???s?s。 cc ④当???1,?,?s时，表示方式唯一??1??s无关
（表示方式不唯一??1??s相关）
⑤若?1,?,?t??1,?,?s，并且t?s，则?1,?,?t一定线性相关。 证明：记A???1,?,?s?，B???1,?,?t?，
则存在s?t矩阵C，使得 B?AC。
Cx?0有s个方程，t个未知数，s?t，有非零解?，C??0。
则B??AC??0，即?也是Bx?0的非零解，从而?1,?,?t线性相关。
各性质的逆否形式
①如果?1,?2,?,?s无关，则s?n。
②如果?1,?2,?,?s有相关的部分组，则它自己一定也相关。
③如果?1??s无关，而????1,?,?s，则?1,?,?s?无关。
⑤如果?1??t??1??s，?1??t无关，则t?s。
推论：若两个无关向量组?1??s与?1??t等价，则s?t。
极大无关组
一个线性无关部分组?I?，若#?I?等于秩?1,?2,?4,?6??I?，?I?就一定是极大无关组 ①?1,?2,?,?s无关?? ??1,?2,?,?s??s
②???1,?2,?,?s? ? ??1,?2,?,?s,???? ??1,?,?s? 另一种说法： 取?1,?2,?,?s的一个极大无关组?I?
?I?也是?1,?2,?,?s,?的极大无关组??I?,?相关。 证明：???1,?,?s????I???I?,?相关。 ? ??1,?,?s,?????? ??1,?,?s?,???1??s /?1,?,?s?? ??1,?,?s??1,?? ③?可用?1,?,?s唯一表示?? ??1,?,?s,?? ?? ??1,?,?s??s ④?1,?,?t??1,?,?s?? ??1,?,?s,?1,?,?t??? ??1,?,?s?
?? ??1,?,?t??? ??1,?,?s?
⑤?1,?,?s?
?1,?,?t?? ??1,?,?s??? ??1??s,?1??t??? ??1,?,?t?
矩阵的秩的简单性质 0?r?A??mi?nm,n? r?A??0?A?0 A行满秩：r?A??m A列满秩：r?A??n n阶矩阵A满秩：r?A??n
A满秩?A的行（列）向量组线性无关 ?A?0 ?A可逆
?Ax?0只有零解，Ax??唯一解。
矩阵在运算中秩的变化
初等变换保持矩阵的秩 ①rAT?r?A?
②c?0时，r?cA??r?A? ③r?A?B??r?A??r?B? ④r?AB??min?r?A?,r?B??
⑤A可逆时，r?AB??r?B?
弱化条件：如果A列满秩，则??AB????B? 证：下面证ABx?0与Bx?0同解。 ?是ABx?0的解?AB??0
?B??0??是Bx?0的解
??B可逆时，r?AB??r?A?
⑥若AB?0，则r?A??r?B??n（A的列数，B的行数） ⑦A列满秩时r?AB??r?B?
B行满秩时r?AB??r?A?
⑧r?AB??n?r?A??r?B?
解的性质
1．Ax?0的解的性质。
如果?1,?2,?,?e是一组解，则它们的任意线性组合c1?1是解。
?i,A?i?0?A?c1?1?c2?2???ce?e??0 2．Ax?????0?
①如果?1,?2,?,?e是Ax??的一组解，则
c1?1?c2?2???ce?e也是Ax??的解?c1?c2???ce?1 c1?1?c2?2???ce?e是Ax?0的解?c1?c2???ce?0 A?i??c2?2???ce?e一定也
???i
A?c1?1?c2?2???ce?e??c1A?1?c2A?2???ceA?e ??c1?c2???ce??
特别的： 当?1,?2是Ax??的两个解时，?1??2是Ax?0的解 ②如果?0是Ax??的解，则n维向量?也是Ax??的解??解的情况判别
方程：Ax??，即x1?1?x2?2???xn?n?? 有解????1,?2,?,?n
???A|?????A?????1,?2,?,?n,??????1,?2,?,?n?
无解???A|?????A? 唯一解???A|?????A??n
无穷多解???A|?????A??n
??0是Ax?0的解。
方程个数m：
??A|???m,??A??m
①当??A??m时，??A|???m，有解
②当m?n时，??A??n，不会是唯一解 对于齐次线性方程组Ax?0，
只有零解???A??n（即A列满秩） （有非零解???A??n）
特征值特征向量
?是A的特征值??是A的特征多项式xE?A的根。
两种特殊情形：
（1）A是上（下）三角矩阵，对角矩阵时，特征值即对角线上的元素。
?? 1? A??0?0? xE?A?*? 20*???? ? 3???*x?? 20?*??x?? 3??x?? 1??x?? 2??x?? 3?
x?? 100 （2）r?A??1时：A的特征值为0,0,?,0,tr?A? 特征值的性质
命题：n阶矩阵A的特征值?的重数?n?r?? E?A? 命题：设A的特征值为? 1,? 2,?,? n，则 ①? 1? 2?? n?A ②? 1?? 2???? n?tr?A? 命题：设?是A的特征向量，特征值为?，即A????，则 ①对于A的每个多项式f?A?，f?A???f?x??
②当A可逆时，A???11??，A*??|A|??