机械振动习题集
同济大学机械设计研究所
2004．9
1_简谐运动及其运算
1-1求下列简谐函数的单边复振幅和双边复振幅
) （3）x?3cos(2?t?45?)
341-2通过简谐函数的复数表示，求下列简谐函数之和。 （1）x?2sin(?t??) （2）x?4cos(10?t??（1）x1?2sin(?t??3) x2?3sin?(t?
2?) 3（2）x1?5sin10?t
) 4（3）x1?4sin(2?t?30?) x2?5sin(2?t?60?)
x4?7cos(2?t?38?) x5?2cos(2?t?72?)
答案：
（1）x12?4.359cos(?t?6.6?) （2）x12?3.566cos(10?t?47.52?)
x2?4cos(10?t??x3?3cos(2?t?45?)
（3）x12345?14.776cos(2?t?9.22?)
1-3试计算题1中x(t)的一阶对数和二阶导数对应的复振幅，并给出它们的时间历程。
??bx??cx?f(t)。试计算下列问题 1-4设x(t)、f(t)为同频简谐函数，并且满足a?x（1）已知a?1.5,b?6,c?25,x(t)?10sin(12??37?)，求f(t)
（2）已知a?3,b?7,c?30,f(t)?25sin(7??64?)，求x(t)
1-5简述同向异频简谐振动在不同频率和幅值下合成的不同特点。 1-6利用“振动计算实用工具”，通过变换频率和相位总结垂直方向振动合成的特点。
2_单自由度系统振动
2-1请解释有阻尼衰减振动时的固有圆频率?d为什么总比自由振动时的固有圆频率?n小？ 答案：因为?d?1??2?n，?<1
2-2在欠阻尼自由振动中，把?改成0.9的时候，有人说曲线不过X轴了，这种说法正确么，请说明理由？
答案：?<1为小阻尼的衰减振动，当然过X轴
2-3在单自由度自由振动时候，给定自由振动时的固有圆频率?n,阻尼系数?,初始位移x0,以及初始速度v0,利用本计算工具,请计算有阻尼衰减振动时的固有圆频率?d. 答案：如?n=3rad/s, ?=0.01, x0=-1, v0=0;则?d=2.9985rad/s 2-4 如图2-1所示，一小车（重P）自高h处沿斜面滑下，与缓冲器相撞后，随同缓冲器一起作自由振动。弹簧常数k，斜面倾角为?，小车与斜面之间摩擦力忽略不计。试求小车的振动周期和振幅。 Pkα图2-1 答案：T?2?
hP，A?gkP?P2??2h?sin?? k?k?2-5 两个滑块在光滑的机体槽内滑动（见图2-2），机体在水平面内绕固定轴O以角速度?转动。每个滑块质量为m，各用弹簧常数为k的弹簧支承。试确定其固有频率。
ωkmkm 图2-2 答案：?n?2k??2 m
2-6 如图2-3所示，具有与竖直线成一微小角?的旋转轴的重摆，假设球的重量集中于其质心C处，略去轴承中的摩擦阻力，试确定仅考虑球的重量W时，重摆微小振动的频率。
BlβCA图2-3 答案：?n??g/l
2-7 图2-4所示，竖直杆的顶端带有质量m?1kg时，测得振动频率为1.5Hz。当带有质量m?2kg时，测得振动频率为0.75Hz。略去杆的质量，试求出使该系统成为不稳定平衡状态时顶端质量ms为多少？
W mkιaO 图2-4 答案：ms?3kg
2-8 确定图2-5所示系统的固有频率。圆盘质量为m。
karO图2-5 kx 4k?r?a?答案：?n? 23mr
2-9 确定图2-6系统的固有频率，滑轮质量为M。 2kMrOxm 图2-6 答案：?n?k 4m?3M/2
2-10 确定图2-7系统的固有频率。 Rmr 图2-7 答案：?n?2g 3?R?r?
2-11 一个粘性阻尼单自由度系统，在振动时测出周期为1.8s，相邻两振幅之比为4.2:1。求此系统的无阻尼固有频率。
答案：?n?1.14?
2-12 一个龙门起重机，要求其水平振动在25s内振幅衰减到最大振幅的5%。起重机可简化
成图2-8系统。等效质量m?24500N?s2/m，测得对数衰减??0.10，问起重机水平方向的刚度k至少应达何值。
mk/2图2-8
2-13 某洗衣机重14700N，用四个弹簧对称支承，每个弹簧的弹簧常数为k?80360N/m。
a) 计算此系统的临界阻尼系数cc；
b) 在系统上安装四个阻尼器，每一个阻尼系数为c?1646.4N?s/m。这时，系统自由振动经过多少时间后，振幅衰减到10%；
c) 衰减振动的周期为多少？与不安装阻尼器时的振动周期作比较。 答案：a) cc?43914N?s/m； b) t?0.137s；
c) Td?0.434s 而Tn?0.429s
2-14 一个集中质量为m，摆长为l的单摆连接了一个阻尼系数为c的阻尼器，如图2-9所示，试确定系统的对数衰减率?。 k/2 aιcm图2-9 答案：?? ?ca3m2l2l g2-15 一质量m?2000N?s2/m，以匀速v?3cm/s运动与弹簧k和阻尼c相撞后一起作自由振动，如图2-10所示。已知k?40820N/m，c?1960N?s/m。问质量m在相撞后多少时间达到最大振幅？最大振幅是多少？ xck图2-10 答案：t?0.3s，xmax?0.529cm vm
2-16自由振动时的固有圆频率为1rad/s, 阻尼系数为1, 初始位移和速度均为0, 外界激励频率为0.5rad/s, x\q\=30,利用所给计算工具画出简谐振动以及受Duhamel积分激励的系统(m=40)的瞬态响应与稳态响应的叠加图 答案：