W1?k1一起作自由振动，如g图3-8所示，试求其响应。已知W1?W2?W,k1?k2?k,h?100W/k。 3-11 一重块W2自高h处自由落下，然后与弹簧-质量系统k2?W2hx2k2W1x1k1 图3-8 答案：x1?W/k[10.3sin(?n1t??1)?3.913sin(?n2t??2)]， x2?W/k[16.67sin(?n1t??1)?2.418sin(?n2t??2)]； ?n1?0.618kg/W，?n2?1.618kg/W， ?1??6?31?37??,?2??2?30?10??。
3-12 一卡车简化成m1?k?m2系统，如图3-9所示。停放在地上时受到后面以等速v驰来的另一辆车m的撞击。设撞击后，车辆m可视为不动，卡车车轮的质量忽略不计，地面视为光滑，试求撞击后卡车的响应。 vmm1km2x1x2 图3-9 mv1mv1答案：x1?(t?sin?nt)，x2?(t?sin?nt)； m1?m2r?nm1?m2?n ?n?k(m1?m2)m，r??1。 m1m2m2
3-13 如图3-10所示，一刚性跳板，质量为3m，长l，左端以铰链支承于地面，右端通过支架支承于浮船上，支架的弹簧常数为k，阻尼系数为c，浮船质量为m。如果水浪引起一F?F0sin?t的激励力作用于浮船上。试求跳板的最大摆动角度?max。
ι3mθkmcxF0sinωt图3-10 F0k2??2c答案：?max???2。 ?ml(2k??2m)2?(2?c)2
3-14 试确定图3-11所示系统的稳态响应。 k1ωk2mem2m1 图3-12 (k2??2m2)me?2cos?t 答案：x1?222m1m2(?2??n)(???)1n2k2me?2cos?t x2?2222m1m2(???n1)(???n2)
3-15 确定图3-13所示系统的稳态响应。假定T(t)?Tsin?t。 T ( t )大齿轮小齿轮kθJmJ1kr齿条 图3-32
4 多自由度系统振动
4-1对指定的广义坐标?1，?2，?3，求图示三级摆，当第一、二两质量上作用有简谐激振力稳态响应，其中F0是常数，??2F0sin?t时的22g。 5l??1??4???5F0??答案：??2???5?sin?t
4mg????6??3???
4-2图示一无质量均质简支梁，弯曲刚性常数为EJ，上有集中质量m1＝m2＝m3＝m，在第一个质量上作用有激振力Pcos?t。假设各阶主阵型阻尼比?i?0.01(i＝1,2,3)。已知激振频率??1.8768EJ，求各质量的稳态响应。 ml3
4-3在图示系统中，各质量只能沿铅垂方向运动。在质量4m上作用有铅垂激振力P0cos?t，求系统的无阻尼强迫振动的稳态响应。又若考虑到各弹性元件中的阻尼，假设振型阻尼比
?i?0.02(i＝1,2,3)，?2?1.25k，求系统的稳态响应。 m
4-5如图所示的汽车在Ic?mab的情形下的固有频率，设a＝2.3m，b＝0.94m，
m?5.4?103Kg，m1＝m2＝650Kg，K1?K2?35KN/m，前后轮的轮胎刚度均为K＝
1200KN/m。
答案：
p1?2.978Hz，p2?4.658Hz， p3?43.592Hz，p4?43.596Hz。
4-6如图所示的三自由度系统，若J1?2J2，
J2?2J3kt1?2kt2kt2?2kt3，求系统的固有
频率及响应。
??1??0.573?????kt答案：??2???1.125?
J????1.551??3???
4-7一发电机厂的汽轮机及其隔振系统的简化模型如图所示，
（1）导出对x－y－θ坐标的振动微分方程，并求系统的固有频率和主振型。设
1s2?b?s，K1?K2?K，Io?9ms2，o点为重心，m为汽轮机的重量。 4?(0)???条件下的响应。 ?(0)?y?0，??(0)?0，y（2）计算在x(0)?y(0)??(0)?x0s1?答案：
振动微分方程：
??3Kx?6Ks??0x?m????3Ky?0y ?m??9ms2????6Ksx?27Ks2??0?固有频率：
p1?K3K5K，p2?，p3? mmm
4-8研究一个无阻尼三自由度系统：
?1??4?10??x1??F1(t)?x?200???????????????010x??12?1x?F(t)???2????2??2??002??????????3????x??0?14??x3??F3(t)?
其中{F(t)}为瞬时激振向量。 （a） 求固有频率；
（b） 确定模态向量和模态矩阵；
（c） 证明模态向量相对于矩阵M和K是正交的。 答案：
222固有频率：?1?1，?2?2，?3?3
1??11??模态矩阵：u?20?2 ????1?11??证明略。
4-9如图所示弹簧质量系统，如m1?m2?m3?m，
K1?K2?K3?K，
求其各阶固有频率及主阵型。 答案：
??1??0.445?????K频率：??2???1.247?
????1.802?m?3????0.445?1.2471.802???主阵型：{A}??0.8020.555?2.247?
?1.0001.0001.000???
4-10求如图所示的弹簧质量系统的固有频率及主阵型。设K1?6K，K2?K，
M?4m。
答案： 频率：?1?K，?2??3??4?2mK，m?5?3K m?1?1?主阵型：{A}??1??1?1??21??1111??0?211?
?00?31?000?2???111
4-11如图所示的弹簧质量系统，求系统在F1(t)?F0?(t)，F2(t)?F3(t)?0，
F4(t)??F0?(t)作用下的响应。设m1?m2?m3?m4?m，K1?K2?K3?K，?(t)为
单位阶跃函数。
答案：
固有频率：p1?0，p2?
K2KK，p3?，p4?2?2 mmm?x1??1.457(1?cosp2t)?0.0429(1?cosp4t)??x????2?F0?0.6.35(1?cosp2t)?0.1036(1?cosp4t)?????? ?x3?K??0.6035(1?cosp2t)?0.1036(1?cosp4t)????x4????1.457(1?cosp2t)?0.0429(1?cosp4t)??2?24-12图示有阻尼弹簧质量系统，如m1?m2?m3?m，K1?K2?K3?K，各质量上作用
外力F1?F2?F3?Fsin?t（其中??1.25K），各阶正则振型的相对阻尼系数m?1N??2N??3N???0.01，试用叠加法求各质量的强迫振动的稳态响应。
答案：
K m?0.398??10.896??0.064?F?F?F????{x}??0.717?sin(?t??1)??4.849?sin(?t??2)???0.080?sin(?t??3)
K?K?K????0.894?8.737?????0.035??1?0.445
4-13一轴盘扭振系统如图所示，给定初始条件为：
????????0； （1）?10??0，?20?0，?30???0，?102030?????0。求系统的响应。 ???，?（2）?10??20??30?0，?203010答案：
2K3K2，p2? II??1???0cosp2t?????（1）??2???0?
??????cospt?2??3??0??31?2t?sinp2t?sinp3t?p2p3??1????2????（2）??2???2t?sinp3t?
p3???6???3??2t?3sinpt?1sinpt?23??p2p3??2固有频率：p1?0，p2?
4-14证明模态向量相对于矩阵M和K是正交的
4-15 说明模态分析法求解自由振动和强迫振动的部骤