目 录
第三章 曲面的第一基本形式 ................................................................................................................... 27
§ 3.1 正则参数曲面 ............................................................................................................................. 27
一、参数曲面 ............................................................................................................................... 27 二、参数变换 ............................................................................................................................... 28 三、正则曲面 ............................................................................................................................... 29 四、正则曲面的例子 ................................................................................................................... 30 § 3.2 切平面和法线 ............................................................................................................................. 33
一、曲面的切空间，切平面和法线 ........................................................................................... 33 二、连续可微函数的等值面 ....................................................................................................... 35 三、微分dr的几何意义 ............................................................................................................. 35 § 3.3 第一基本形式 ............................................................................................................................. 36 § 3.4 曲面上正交参数曲线网的存在性 ............................................................................................. 39 § 3.5 保长对应和保角对应 ............................................................................................................... 40
一、曲面到曲面的连续可微映射 ............................................................................................... 40 二、切映射 ................................................................................................................................... 41 三、保长对应(等距对应) ............................................................................................................ 42 四、保角对应(共形对应) ............................................................................................................ 45 § 3.6 可展曲面 ..................................................................................................................................... 46
第三章 曲面的第一基本形式
本章内容：曲面的定义，参数曲线网，切平面，单位法向量，第一基本形式，正交参数网，等距对应和共形对应，可展曲面
计划学时：12学时，含习题课4学时.
难点：正交参数网的存在性，等距对应和共形对应
§ 3.1 正则参数曲面
一、参数曲面
2从平面R的一个区域(region，即连通开集)D到E3中的一个连续映射r:D?S?r(D)?E333的象集S?r(D)称为E中的一个参数曲面(parameterized surface). 在E中取定正交标架
{O;i,j,k}，建立笛卡尔右手直角坐标系. 则参数曲面S可以通过参数(parameter)(u,v)表示成参
数方程
?x?x(u,v),?2?y?y(u,v), (u,v)?D?R， (1.1) ?z?z(u,v),?或写成向量参数方程
r?r(u,v)?x(u,v)i?y(u,v)j?z(u,v)k??x(u,v),y(u,v),z(u,v)?，(u,v)??. (1.2)
为了使用微积分工具，本书中要求向量函数r(u,v)都是3次以上连续可微的.
vr(u0,v0)(u0,v0)rv?v0zu?u0Duxy图3.1 u-曲线：让v?v0固定，u变化，向量r(u,v0)的终点描出的轨迹. v-曲线，参数曲线网.
直观上，参数曲面S就是将平面中的区域D经过伸缩、扭曲等连续变形后放到欧氏空间E中的结果.
曲纹坐标p(?S)?(u,v)(?D)，即Op(u,v)?r(u,v).
一般来说，由(1.1)给出的连续映射并不能保证曲面上的点p(u,v)与该点的参数(u,v)之间是一一对应的. 为了使得曲纹坐标能真正起到坐标的作用，需要对参数曲面加上正则性条件.
定义 设S:r?r(u,v)为E中的参数曲面. 如果在(u0,v0)点，两条参数曲线的切向量
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ru(u0,v0)??r?r，rv(u0,v0)? (1.3)
?u(u0,v0)?v(u0,v0)线性无关，即ru?rv(u0,v0):?ru?rv|(u0,v0)?[ru(u0,v0)]?[rv(u0,v0)]?0，则称(u0,v0)或p0(u0,v0)是S的正则点(regular point). 如果S上每一点都是正则点，则称S是正则参数曲面.
以下总假定S是正则曲面. 在正则曲面上每一点P0(u0,v0)，由于
?yru?rv(u0,v0)??u?yvzuzv,?xuxvzuxu,zvxvyu??yv??0， (1.4)
(u0,v0)通过重新选取正交标架O;i,j,k，不妨设
??x?(x,y):?uxv?(u,v)(u0,v0)yuyv(u,v)00?0.
根据反函数定理，存在(u0,v0)的邻域U?D，使得x?x(u,v),y?y(u,v)有连续可微的反函数
u?f(x,y)，v?g(x,y)，
即有
x(f(x,y),g(x,y))?x,y(f(x,y),g(x,y))?y.
2此时有(x0,y0)??x(u0,v0),y(u0,v0)?的邻域V?R和同胚映射?:V?U. 从而有连续映射
r?r?:V?r(U)?SU|?S. 于是S在P0(u0,v0)的邻域S|U内可用参数方程表示为
r(x,y)?r?u(x,y),v(x,y)???x,y,z(f(x,y),g(x,y))?， (*)
或表示为一个二元函数z?F(x,y)的图像，其中
z?F(x,y)?z?f(x,y),g(x,y)?. (1.5)
上式称为曲面片S|U的Monge形式，或称为S|U的显式方程.
从(*)式可见r:V?S|U:(x,y)?x,y,z(f(x,y),g(x,y))?是一一对应，从而
r?r??1:U?r(U)?S|U?S
也是一一对应. 这说明正则性条件至少保证了r:D?S局部是一一对应. 为了确定起见，以下约定正则曲面S?r(D)与其定义域D之间总是一一对应的，从而参数(u,v)可以作为曲面上点p(u,v)的曲纹坐标.
反之，由显式方程z?z(x,y)表示的曲面总是正则的：如果
r?r(x,y)?r?x,y,z(x,y)?， (1.6)
则rx??1,0,zx?，ry?0,1,zy，从而
??rx?ry???zx,?zy,1??0.
二、参数变换
曲面的定向(orientation)：对于曲面S:r?r(u,v)，规定ru?rv所指的一侧为S的正侧. 由于参数曲面的参数方程中，参数的选择不是唯一的，在进行参数变换(transformation of parameter)时，要求参数变换
u?u(u,v),v?v(u,v) (1.8) 满足：(1) u(u,v),v(u,v)是(u,v)的3次以上连续可微函数；(2)
?(u,v)处处不为零.
?(u,v) 28
这样的参数变换称为可允许的(compatible)参数变换. 当(preserve the orientation)的参数变换.
根据复合函数的求导法则，在新的参数下，
?(u,v)?0时，称为保持定向
?(u,v)ru?ru因此
ru?rv???u?v?u?v， rv?ru?rv?rv.
?u?u?v?v?(u,v)??u?v?u?v??ru?rv. (1.10) ?ru?rv??(u,v)??u?v?v?u?上式说明在可允许的参数变换下，正则性保持不变；在保持定向的参数变换下，曲面片的正侧保持
不变.
三、正则曲面
正则参数曲面在具体应用总是十分方便，十分广泛的. 但是有的曲面不能够用一张正则参数曲面来表示，例如球面.
将E3与R等同，赋予普通的度量拓扑，即以R的标准度量确定的拓扑.
定义1.1 设S是E3?R3的一个子集，具有相对拓扑. 如果对任意一点p?S，存在p在S中的一个邻域U(U?V?S，其中V是p在E3中的邻域)，和R2中的一个区域D，以及同胚
r:D?U:(u,v)33r(u,v)??x(u,v),y(u,v),z(u,v)?，
?1使得r(u,v)是E3中一个正则参数曲面r(D)，则称S是E3中的一张正则曲面(regular surface)，简称曲面. 上述的邻域U和同胚r的逆映射??r合在一起，将(U,?)称为该曲面的一个局部参数化(local parameterization)，或坐标卡(coordinate chart).
注 S的拓扑是作为E的子集从E诱导的相对拓扑，即作为E的拓扑子空间的拓扑. 如果两个局部参数化(U1,?1)，(U2,?2)满足U1?U2??，那么正则参数曲面U1?U2就有两个参数表示r1(u1,v1)和r2(u2,v2). 由此自然产生了参数变换
333?2r1:?1(U1?U2)??2(U1?U2):(u1,v1)(u2,v2).
利用正则参数曲面U1?U2的3次以上连续可微性和正则性，可以证明上述参数变换是可允许的.
U1U1?U2U2r1r2?1?2?2r1D1?1(U1?U2)r(U1?U2)?12D2 直观上看，正则曲面S是由一些正则参数曲面“粘合”而成的. 只有那些与参数的选择无关的
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量才是曲面本身的几何量. 如果一个正则曲面有一族保持定向的局部参数化?(U?,??)|??A?(A为指标集)，使得?U?|??A?构成S的开覆盖，则称该曲面是可定向的(orientable).
除非特别指出，本课程一般是研究正则参数曲面的几何性质，称之为“局部微分几何学”. 以下所说的“曲面”一般都是正则参数曲面，包括习题中出现的“曲面”.
四、正则曲面的例子 zr(u,v)vux图3.2 例1.1 圆柱面(cylinder) x?y?a
r(u,v)，?(acosua,siunv(u,v)?D?R. (1.15)
其中a?0.当D?(0,2?)?R时，圆柱面上少了一条直线
2222yx?a,显然r(u,v)是任意阶连续可微的. 又
y?0,z?v.
如果取D?(??,?)?R，上面的直线在参数曲面上，但是又少了一条直线x??a,y?0,z?v.
ru?(?asinu,acosu,0)，rv?(0,0,1)，ru?rv?(acosu,asinu,0)?0.
所以圆柱面是正则曲面.
圆柱面也可以用一个坐标卡表示：
av?au222?,,lnu?vr(u,v)??2，(u,v)?D?R\\{(0,0)}. ??u?v2u2?v2?所以圆柱面是可定向的. zNr(?,?)??xyS图3.3 22例1.2 球面(sphere) S?(x,y,z)|x?y?z?a
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2?22?，参数方程为