2?r(?,?)?(acos?cos?,acos?sin?,asin?)，(?,?)?(0,2?)?(??2,2)?R. (1.16)
其中a?0. 由于
r??a(?cos?sin?,cos?cos?,0)，r??a(?sin?cos?,?sin?sin?,cos?)，
ru?rv?a2cos?(cos?cos?,cos?sin?,sin?)?0，
所以球面是正则曲面.
问题：球面至少需要几个坐标卡才能将它覆盖？(参见习题2)
zf(v)?x?f(v),??z?g(v).ux图3.4 r(u,v)y 例1.3 旋转面(revolution surface)
设C:x?f(v),z?g(v)(v?(a,b))是xOz平面上一条曲线，其中f(v)?0. 将C绕z轴旋转得到的旋转面S参数方程为
r(u,v)??f(v)cosu,f(v)sinu,g(v)?，(u,v)?(0,2?)?(a,b)?R. (1.18)
2旋转面S上的u-曲线称为纬线圆，v-曲线称为经线. 因为
ru?f(v)??sinu,cosu,0?，rv??f?(v)cosu,f?(v)sinu,g?(v)?，
ru?rv?f(v)?g?(v)cosu,g?(v)sinu,?f?(v)?，|ru?rv|?f(v)f?2(v)?g?2(v)， 所以当C是正则曲线，并且f(v)?0时，S是正则曲面.
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zxy例1.4 正螺面(hericoid) 图3.5 z ?设两条直线L1和L2垂直相交. 将直线L1一方面绕L2作匀速转动，同时沿L2作匀速滑动，L1的运动轨迹叫做正螺面(螺旋面). 取初始位置的直线L1为x轴，L2为z轴，建立右手直角坐标系. 则正螺面的参数方程为
r(u,v)??ucosv,usinv,av?，(u,v)?R2. (1.19)
由
ru??cosv,sinv,0?，rv???usinv,ucosv,a?，ru?rv??asinv,?acosv,u??0
可知正螺面是正则曲面.
a(u)a(u) 例1.5 直纹面(ruled surface)
简单来说，直纹面就是由单参数直线族?lu|u?(a,b)?构成的曲面.
设C:a?a(u) (u?(a,b))是一条空间正则曲线. 在C上对应于参数u?(a,b)的每一点有一
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条直线Lu，其方向向量为l(u). 这条直线的参数方程可以写成
Lu:r(v;u)?a(u)?vl(u).
让u在区间(a,b)内变动，所有这些直线就拼成一个曲面S，称为直纹面. 它的参数方程为
r?r(u,v)?a(u)?vl(u)，(u,v)?(a,b)?R. (1.20)
曲线C称为该直纹面的准线(directrix)，而这个单参数直线族中的每一条直线Lu都称为直纹面的一条直母线(generating line)，也就是直纹面S的v-曲线.
为了保证直纹面的正则性，要求
ru?rv???a?(u)?vl?(u)???l(u)?0. (1.21)
因为直母线的方向向量l(u)?0，通过参数变换u?u，v?v|l(u)|，可设|l(u)|?1. 再通过选取新的准线C:a(u)?a(u)??(u)l(u)，其中?(u)是待定的函数，使得直母线处处与准线垂直相交，即a?(u)?l(u)?0. 因为
a??l??a????l??l???l?a??l???，
只须取
?(u)???a?(u)?l(u)du
即可.
1. 当l(u)?c为常向量时，所有的直母线互相平行，直纹面S称为柱面(cylindrical surface). 2. 当所有的直母线都经过一个定点时，直纹面S称为锥面(cone).
3. 当l(u)//a?(u)时，S称为切线曲面(tangent surface)，由准线C:a?a(u)的所有切线构成. 这3种直纹面有共同的特征，在§3.6还要进一步讨论. 课外作业：习题2，5
§ 3.2 切平面和法线
一、曲面的切空间，切平面和法线
3设S:r?r(u,v)是E中一个正则曲面，(u,v)??是曲面上点的曲纹坐标. 设p(u0,v0)是S上任意一个固定点. 则S上过p点的一条可微(参数)曲线C:r?a(t)可以表示为
a?r?:(??,?)?S:ta(t)?r(u(t),v(t))， (2.2)
其中
?:(??,?)??:t?u(t),v(t)? (2.1)
是?中一条可微曲线(不一定是正则曲线)，满足u(0)?u0，v(0)?v0. 因此
r?(0)?r(u(0),v(0))?r(u0,v0)，
正是p点的位置向量. 曲线C在p点的切向量为
a?(0)?ru(u0,v0)u?(0)?rv(u0,v0)v?(0). (2.3)
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v???r(u0,v0)v?v0r(u0,v0)z?u?u0Duxy 定义2.1 曲面S上过p(u0,v0)点的任意一条连续可微曲线在该点的切向量称为曲面S在p点的一个切向量(tangent vector).
命题 曲面S在p点的切向量全体记为TpS，它是一个2维实向量空间，?ru(u0,v0),rv(u0,v0)?是TpS的一个基. 事实上，TpS??aru(u0,v0)?brv(u0,v0)|a,b?(tangent space).
证明 记V??aru(u0,v0)?brv(u0,v0)|a,b?图3.1 ?，称为曲面S在p点的切空间
?. 由(2.3)可见TpS?V. 反之，对任意
X?aru(u0,v0)?brv(u0,v0)?V，
令a(t)?r(u0?at,v0?bt). 则a(t)是过p(u0,v0)的可微曲线，并且
a?(0)?aru(u0,v0)?brv(u0,v0)?X.
所以X?TpS. 因此V?TpS，从而TpS?V.
显然V按照向量的加法和数乘构成一个向量空间. 由于ru(u0,v0),rv(u0,v0)线性无关，它们构成V的基. □
3在空间E中，经过点p(u,v)?S，以两个不共线向量ru(u,v),rv(u,v)为方向向量的平面称为
曲面S在p点的切平面(tangent plane). 切平面的参数方程为
X(?,?)?r(u,v)??ru(u,v)??rv(u,v)，(?,?)?它的单位法向量(unit normal vector)为
n(u,v)?2. (2.6)
ru?rv(u,v). (2.7)
|ru?rv|经过点p(u,v)?S且垂直于S在p点的切平面的直线称为曲面S在p点的法线(normal line). 它的
参数方程为
X(t)?r(u,v)?tn(u,v)，t?. (2.8)
曲面S在p点的切空间、切平面、法线这三个概念都是与参数选择无关的几何概念. (为什么？) 曲面上的自然标架：?r(u,v);ru(u,v),rv(u.v),n(u,v)?.
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nrvruzx图3.6 y 二、连续可微函数的等值面
设D?E3是一个区域，f(x,y,z)是定义在D上的连续可微函数. 对于一个常数c?，集合
f?1(c)??(x,y,z)?E3|f(x,y,z)?c?称为函数f的等值面. 如果在f?1(c)的每一点，都有
?f:??fx,fy,fz??0， (2.9)
则等值面f方程
?1(c)是一个正则曲面. 事实上，设在p(x0,y0,z0)?f?1(c)，有fz(x0,y0,z0)?0，则
f(x,y,z)?c (2.10)
在p点的邻近确定了一个隐函数z?g(x,y)，使得
f(x,y,g(x,y))?c，?x,y.
于是等值面f?1(c)局部地可以用参数方程表示为
r?r(x,y)??x,y,g(x,y)?. (2.11)
由于rx?ry??gx,?gy,1?0，等值面f???1(c)是正则曲面.
在等值面上每一点p，梯度向量?f(x,y,g(x,y))是一个法向量，即是与切平面垂直的向量.事实上，由(2.11)可得切空间的基底rx?(1,0,gx),ry?(0,1,gy). 由(2.10)两边分别对x,y求偏导数并注意z?g(x,y)，得fx?fzgx?0，fy?fzgy?0，即有
???f,fxy,fz???1,0,gx??0，?fx,fy,fz???0,1,gy??0.
三、微分dr的几何意义
设曲面S的参数方程为r?r(u,v). 微分得到
dr(u,v)?ru(u,v)du?rv(u,v)dv. (2.13)
将u,v,du,dv看作4个独立的变量，则对于(2.13)中du,dv的不同取值，就得到不同的切向量.有时也用比值du:dv来表示曲面上的一个切方向. 自然，这时要求du,dv不能全为0.
变量du,dv是切向量dr(u,v)关于切空间TpS的基底?ru(u,v),rv(u,v)?的分量，因此是向量空间TpS上的线性函数，即du,dv?TpS(对偶空间). 事实上，按照定义
?du:TpS?R:X?X1ru?X2rv
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du(X)?X1.