同理，dv(X)?X2.
注. 由于切空间的自然基底?ru,rv?一般不是单位正交的，在把(du,dv)看作切向量在这个基底下的分量计算内积时，不能将它当作笛卡尔坐标系下的分量来进行运算，而应当顾及自然基底?ru,rv?的度量系数(参看下一节). 课外作业：习题1，3，5.
§ 3.3 第一基本形式
设S:r?r(u,v)是E3中一个正则参数曲面. 则
dr(u,v)?ru(u,v)du?rv(u,v)dv (3.1)
是曲面上任意一点r(u,v)处的切向量，这个向量作为E中的向量可以计算它的长度. 令
3E(u,v)?ru(u,v)?ru(u,v):??ru?ru?(u,v)，
F(u,v)??ur?v?r(u,v?)?v?r?ur(，u,Gv)(u,v)??rv?rv?(u,v). (3.2)
这三个函数E,F,G称为曲面S的第一类基本量. 而矩阵
?EF??FG? (3.3) ??称为切空间(关于基底?ru,rv?)的度量矩阵(metric matrix). 由于E3的度量是正定的，这是一个正定矩阵. 事实上，它的2个顺序主子式均?0：
22E?ru?ru?0，EG?F2??ru?ru??rv?rv???ru?rv??ru?rv?0. (Lagrange 恒等式)
利用第一类基本量E,F,G的定义，有
dr?dr?(rudu?rvdv)2?Edu2?2Fdudv?Gdv2.
这是一个关于变量du,dv的二次型，称为曲面S的第一基本形式(first fundamental form)，记为
?EF??du? I?dr?dr?Edu2?2Fdudv?Gdv2?(du,dv)?. (3.4) ????FG??dv?对曲面S作可允许的参数变换
u?u，v?v(u,v)， (3.5) (u,v)并记r(u,v)?r(u(u,v),v(u,v)). 则由微分形式的不变性得
dr?rudu?rvdv?rudu?rvdv. (*)
记参数变换(3.5)的Jacobi矩阵为
u???uJ???u??v?v?u?. (3.10) ?v??v?则有
??ru??ru???J?r?， (3.7, 3.9) ?v??r?v??v??v?u?v???u?u??du,dv???du,dv???u?v???du,dv?J. (3.8)
??v?v??v?uu?ru????u?r????u?v???v因此在新的参数?u,v?下，度量矩阵成为
36
?EF??ru??ru??EF?TT???????ru,rv??J????ru,rv?J?J??J， (3.12)
rrFGFG???v????v?从而第一类基本量之间的关系为
u2?u?v?v2?E?ru2?E???2F?G???u?u?u?u?,???u?u?u?v?u?v?v?F?ru?rv?E?u?v?F??u?v??v?u??G?u?2?u2?u?v?v2G?r?E?2F?G????v?v?v?v?v?.??v?v, (3.13)
在新的参数?u,v?下，第一基本形式保持不变：
?EF??du??EF?T?du??EF??du?I?(du,dv)??(du,dv)JJ?(du,dv)????FG??dv??FG??dv??I.
dv?????????FG???3因此第一基本形式与参数选择无关，也与E的标架选择无关，是一个几何量. 其实，这一结论也可
2由微分形式不变性，也就是(*)式直接得到：I?dr?dr?|dr|.
如果dr?rudu?rvdv和?r?ru?u?rv?v是r(u,v)处的两个切向量，则它们的内积为
dr??r?(d,ud)?v?E?FF?G???du??dv???? (3.15) E?du?u(F?d?u?v)d?vu?. Gd vv因此切向量dr?rudu?rvdv的长度为
Edu2?2Fdudv?Gdv2. (3.16)
两个切向量dr?rudu?rvdv和?r?ru?u?rv?v之间的夹角?(dr,?r)满足
dr??rEdu?u?F(du?v?dv?u)?Gdv?vcos?(dr,?r)??. (3.17)
2222|dr||?r|Edu?2Fdudv?GdvE?u?2F?u?v?G?v |dr|?它们相互正交的充分必要条件是
Edu?u?F(du?v?dv?u)?Gdv?v?0. (3.18)
定理3.1 在参数曲面S:r?r(u,v)上，参数曲线网是正交曲线网?F?0. □ 对于参数曲面S:r?r(u,v)上的一条曲线C:u?u(t),v?v(t),t?[a,b]，它的弧长为
L??|dr|??|r?(u(t),v(t))|dt??aabbba?Eu?2?2Fu?v??Gv?2?(t)dt. (3.21)
定义 称d??EG?F2dudv为曲面S:r?r(u,v), (u,v)?D的面积元素，称
A???d????DDEG?F2dudv (3.18)
为曲面S的面积.
命题 曲面上曲线的弧长L，曲面的面积元素d?以及曲面的面积A都是几何量.
?[a,b]Dr?r1??D1CS ?1???
r137
(u,v)，其中
u?(u,v),v?v(u,v).
则在新参数(u,v)下，S的参数方程r1(u,v)与原参数方程r(u,v)之间满足
r(u,v)?r1(u(u,v),v(u,v))?r1?(u,v).
1. 曲线的参数方程由r?r(u(t),v(t))(t?[a,b])变成了
证明 假设参数变换为?:D?D1:(u,v)r1?r1(u(t),v(t))?r1(u(u(t),v(t)),v(u(t),v(t)))?r1?(u(t),v(t))?r(u(t),v(t))?r.
所以
L1??|dr1|??|dr|?L.
aabb2. 由(3.12)可见，在新参数(u,v)下，第一类基本量E,F,G满足
EF??(u,v)??EF?T22EG?F??J??J??EG?F???(u,v)?. FGFG?????(u,v)?1是?的逆映射?的Jacobi行列式. 另一方面根据二重积分的变量代换公式，
?(u,v)?(u,v)dudv?dudv.
?(u,v)所以在新参数(u,v)下的面积元素
其中
2d??EG?F2dudv?EG?F23. 根据二重积分的变量代换公式，有
?(u,v)?(u,v)dudv?d?.
?(u,v)?(u,v)EG?F2dudv???d??A. □
DA???d????D1D1EG?F2dudv???D例1 求旋转面r(u,v)??f(v)cosu,f(v)sinu,g(v)?的第一基本形式. 解 ru?f(v)??sinu,cosu,0?，rv??f?(v)cosu,f?(v)sinu,g?(v)?. 所以
E(u,v)?f2(v)，F?0，G(u,v)?f?2(v)?g?2(v).
这说明在旋转面上，经线和纬线构成正交曲线网. 第一基本形式为
I?f2(v)du2?[f?2(v)?g?2(v)]dv2. (3.24)
这说明在旋转面上经线(v-曲线)和纬线(u-曲线)构成正交参数曲线网. □
例2 求曲面上参数曲线网的二等分角轨线的微分方程. 解 设正则参数曲面S:r?r(u,v)的第一基本形式是
I?Edu2?2Fdudv?Gdv2.
再设二等分角轨线的切向量为
dr?rudu?rvdv.
由题意，它与u-曲线的夹角要等于它与v-曲线的夹角，而u-曲线的切方向为?v?0，v-曲线的切方向为?u?0，所以
dr?rudr?rv??.
|dr||ru||dr||rv|将dr?rudu?rvdv和|ru|?
E,|rv|?G代入上式，得
G(Edu?Fdv)??E(Fdu?Gdv)，
38
即
E(EG?F)du??G(EG?F)dv.
由于EG?F2?ru?rv2?0，即?EG?F??EG?F??0，所以上式可化简为
Edu?Gdv?0， (3.25)
或等价地，参数曲线网的二等分角轨线的微分方程为
Edu2?Gdv2. □
注 求解一阶常微分方程初值问题
duG，u(v0)?u0((u0,v0)?D) ??dvE得到的解u?f(v)是曲面S上过r(u0,v0)点的一条曲线C:r(v)?r(f(v),v)，在C的每一点r(v)，切方向r?(v)与该点处的两条参数曲线的切方向夹角相等. 固定v0，让初始条件u0变动，就
得到2族这样的曲线，它们就是参数曲线网的二等分角轨线.
课外作业：习题2，5，8
§ 3.4 曲面上正交参数曲线网的存在性
在正交参数曲线网下，第一基本形式比较简单：I?Edu?Gdv. 问题：曲面上是否存在正交参数曲线网？
引理 设??f(u,v)du?g(u,v)dv是定义在区域D?222上的连续可微的1次微分形式，且
?处处不为零. 则对于任意一点(u0,v0)?D，?在(u0,v0)的某个邻域U?D内存在积分因子，即
有定义在U上的非零连续可微函数?(u,v)，使得?(u,v)?是某个定义在U上的连续可微函数F(u,v)的全微分：?(u,v)?f(u,v)du?g(u,v)du??dF(u,v).
引理的证明见附录§1定理1.2.
定理4.1 假定在曲面S:r?r(u,v)上有两个处处线性无关的、连续可微的切向量场a(u,v),
b(u,v). 则对每一点p?S，必有p点的一个邻域U?S，使得在U上存在新的参数(u,v)，满
足ru//a，rv//b.
分析：设
a?a1ru?a2rv，b?b1ru?b2rv. (4.2)
则由a,b线性无关可知
A?a1b1a2?a1b2?a2b1?0. (4.3) b2?u?vu如果这样的可允许参数变换u(u,v),v(u,v)存在，则应有函数?,?使得
ru?即有
?u?uur??v?uvr??a??(a1ru?a2rv)，rv?u???uJ???u??v?v?ur??v?vvr??b??(b1ru?b2rv)， (4.5)
???a1?a2????. (4.7) ?v??b?b2??1?v???a2?. (4.8) ??a1?在上述等式两边取逆矩阵得
J
?1u???u???u??v?v?u?1??b2??v???A????b1?v?39
因此逆参数变换u(u,v),v(u,v)应满足
??du????dv??u?u?v?udu?du??u?v?v?vdv?dv??A1?A1(b2du?b1dv),(?a2du?a1dv). (4.9)
定理4.1的证明：考虑两个1次微分形式
??b2du?b1dv，???a2du?a1dv. (4.10)
由引理可知存在积分因子???(u,v),???(u,v)使得??,??是全微分，即有函数u(u,v)，
v(u,v)使得
u?u?du???udu??vdv??(b2du?b1dv), (4.11) ??v?v?dv??udu??vdv??(?a2du?a1dv).由此可见
u???u??u??v?v?u???b2???v????b1?v??u?v?v?v??a2?. (4.12) ?a1??因为
?u?u?v?u???A?0，
参数变换(u,v)
(u,v)?(u(u,v),v(u,v))是可允许的. 在新的参数(u,v)下，
u?v?u?va?a1ru?a2rv?a1??u??urv??a2??vru??vrv??ur??a?u1?u?a?u2?v?ru??a?v1?u?a?v2?v?rv??Aru//ru.
同理有b//rv. □
注 满足条件的新参数仅是局部存在的，并且不能使得ru?a,rv?b.
定理4.2 在曲面S:r?r(u,v)上每一点p?S，有p点的一个邻域U?S，使得在U上存在新的参数(u,v)，满足F?ru?rv?0.
证明. 取向量场a?ru,b??Fru?Erv. 则a,b线性无关，且a?b?0. □ 注 在曲面S:r?r(u,v)上，令 e1?111ru，e2?b???Fru?Erv?.
2EbE(EG?F)则?e1,e2?是曲面上的单位正交切向量场，称为?ru,rv?的Schmidt正交化.
课外作业：习题1，3
§ 3.5 保长对应和保角对应
一、曲面到曲面的连续可微映射
设有两个曲面S1:r1?r1(u1,v1),(u1,v1)?D1和S2:r2?r2(u2,v2),(u2,v2)?D2. 因为曲面上的点p与它的参数(曲纹坐标)是一一对应的，从曲面S1到曲面S2的映射?:S1?S2可以通过它们的参数表示出来，即有映射?:D1?D2使得??r2?r1?1，或??r2?1?r1.
?
40