即有 u?EF?T???EF??u???J???u??J?FGFG????v??2?v?uu??EF????u??v?v??G????v??F?u?u?v?. ?v??v?所以在适用参数系下，保角对应的条件(5.22)’就简化为 E??2E,综上所述，我们就有下面的定理. F??2F,G??2G. (5.24) 定理5.4设映射?:S1?S2是三次以上连续可微的一一对应. 则?是保角对应的充分必要条件是存在S1上的正的连续函数?:S1??，使得
??I2??2I1， (5.23)
其中I1，I2分别是S1，S2的第一基本形式. □
定理5.5 任意正则参数曲面S必局部共形于平面，即S上任意一点p都有一个邻域U可以与平面上的一个区域建立共形对应. 由此可知任意两个正则参数曲面都可以建立局部共形对应.
推论 任意正则曲面S上均存在局部的等温坐标系，即，局部地可选取参数(u,v)使得
I??2(du2?dv2)，
其中???(u,v)是局部定义的函数.
定理5.5的证明从略. 但是上面的推论是非常重要的，是研究参数曲面常用的方法. 例5.2 球面的Mercator投影 课外作业：习题1
§ 3.6 可展曲面
本节研究一类特殊的直纹面，它们都能够与平面建立局部的等距对应.
图19 考虑下面的三种直纹面：
1. 柱面r(u,v)?a(u)?vl，其中l?0是常向量，(u,v)?(a,b)?
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.
2. 锥面r(u,v)?a?vl(u)，其中a是常向量，(u,v)?(a,b)?(0,?).
3. 切线曲面r(u,v)?a(u)?va?(u)，其中(u,v)?(a,b)?(0,?)，a?(u)?a??(u)?0. 它们的单位法向量分别是
a?(u)?ll?(u)?l(u)a?(u)?a??(u)；2. n?；3. n?.
|a?(u)?l||l?(u)?l(u)||a?(u)?a??(u)|这说明这三种直纹面有相同的特点：沿着一条直母线u?u0切平面相互重合.
1. n?定义6.1 设S为直纹面. 如果它的切平面沿每一条直母线是不变的，则称S为可展曲面. 定理6.1 设直纹面S的方程为r(u,v)?a(u)?vl(u). 则S是可展曲面的充要条件是
a?(u),l(u),l?(u)?0,???u. (6.1)
证明 因为ru(u,v)?a?(u)?vl?(u),rv(u,v)?l(u)，所以 ru?rv?(a??vl?)?l?a??l?vl??l.
由定义，S是可展曲面的充要条件是：对?u0，沿着直母线u?u0，向量ru?rv(u0,v)具有固
d定方向. 由第一章定理2，这等价于?ru?rv(u0,v)??dv?ru?rv(u0,v)??0，即
??a?(u0)?l(u0)?vl?(u0)?l(u0)?????l?(u0)?l(u0)???0， 也就是
??a?(u0)?l(u0)?????l?(u0)?l(u0)???0.
用二重外积公式将上式左端展开，得a?(u0),l?(u0),l(u0)l(u0)?0. 所以上式等价于 a?(u0),l?(u0),l(u0)?0,这就是(6.1). □
注1 如果直纹面S上有2族不同的直母线，那么S只能是单叶双曲面，双曲抛物面或平面. 单叶双曲面x2a2?????u0
yz?b2?c2?1，参数方程为
22r(u,v)??a(cosu?vsinu),b(sinu?vcosu),cv?
??acosu,bsinu?,?0?v?a2y2双曲抛物面x2?2?2z，参数方程为
. siunb,cosc,?uabr(u,v)??a(u?v),b(u?v),2uv???au,bu,0??v?a,?b,2u?.
注2 条件(6.1)与准线取法无关，也与直母线方向向量的长度无关. 定理6.2 局部来说，可展曲面只有柱面、锥面和切线曲面这三类.
证明 设S是可展曲面. 则S是直纹面. 选取直母线的方向向量l(u)为单位向量，并且准线
a(u)处处与直母线垂直，即S的参数方程为
r(u,v)?a(u)?vl(u)，
其中|l(u)|?1，a?(u)?l(u)?0. 由定理6.1，有
?a?(u),l(u),l?(u)??0,即a?(u),l(u),l?(u)处处线性相关.
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?u.
如果l(u)?l?(u)?0，则由l(u)?l?(u)?0可知l(u)是常向量. 此时S是柱面. 假设l(u)?l?(u)?0. 则a?(u)可用l(u),l?(u)线性表示. 由a?(u)?l(u)?0得到
a?(u)??(u)l?(u). (6.2) 令
b(u)?a(u)??(u)l(u). (6.3)
则
r?b(u)?[v??(u)]l(u).
由(6.2)，(6.3)得
b?(u)????(u)l(u).
如果b?(u)?0，则b(u)?c是常向量，从而S是锥面：
r?r(u,v)?c?vl(u)，
其中v?v??(u).
如果b?(u)?0，则b(u)是正则曲线，并且??(u)?0，从而S是切线曲面：
r?r(u,v)?b(u)?vb?(u)，
其中v??[v??(u)]/??(u). □
定理6.3 局部地，可展曲面可以与平面建立保长对应.
证明 根据定理6.2，可展曲面只有柱面，锥面和切线曲面三类. 下面分别证明它们都可以与平面建立保长对应.
1. 柱面r(u,v)?a(u)?vl，(u,v)?(a,b)?直，即柱面的方程为
?取单位常向量l为直母线的方向向量，u为准线C的弧长参数，并且准线a(u)处处与直母线垂???r(u,v)?a(u)?vl，
?2??????????2????其中|l|?1，a?l?0. 于是由ru?a，rv?l可得E?|a|?1，F?a?l?0，G?|l|?1. 所
?22以第一基本形式为I?du?dv. 它与xOy平面r?(u,v,0)有相同的第一基本形式.
2. 锥面r(u,v)?a?vl(u)，(u,v)?(a,b)?(0,?).
.
???由于|l(u)|?0(否则锥面退化为一条直线)，可作参数变换u??|l?(u)|du，v?v. 则
第一基本形式化为I?vdu?dv. 它与xOy平面r?(vcosu,vsinu,0)有相同的第一基本形式.
222????E?v2|l?(u)|2，F?l??l?0，G?|l|2?1. 所以第一基本形式为
?I?v2|l?(u)|2du2?dv2.
取l(u)为单位向量，即|l(u)|?1. 则有l(u)?l?(u)?0. 于是由ru?vl?(u)，rv?l(u)可得
???????????????取u为准线C:a?a(u)的弧长参数，它的Frenet标架为?a;?,?,??，曲率为?.由
?????ru???v??，rv??可得E?1?v2?2(u)，F?1?G. 所以第一基本形式为
I?(1?v2?2(u))du2?2dudv?dv2. (*)
?根据曲线论基本定理，存在平面曲线C1:a1(u)?(x(u),y(u),0)，以u为弧长参数，以?(u)为曲率. 显然C1的切线曲面S1是平面的一部分. 另一方面按照上面同样的方法，S1的第一基本形式也是(*). 所以S与S1是等距的. □
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3. 切线曲面S:r(u,v)?a(u)?va?(u)，其中(u,v)?(a,b)?(0,?)，a?(u)?a??(u)?0.
定义6.2 设{S?}是依赖于参数?的正则曲面族，参数??(a,b). 如果一个正则曲面S满足： (1) ?p?S，有唯一的??(a,b)，使得p?S?，且S与S?在p点有相同的切平面； (2) ???(a,b)，?p?S?S?，使得S与S?在p点有相同的切平面， 则称S是单参数曲面族{S?}的包络(面).
如果包络面存在，则可定义映射?:S?R:(x,y,z)方程
???(x,y,z). 设{S?}由含参数?的
F(x,y,z,?)?0 (6.20)
给出，连续可微地依赖于参数?. 当函数?(x,y,z)不是常值函数时，包络面的方程可由方程组
?F(x,y,z,?)?0, (6.23) ??F?(x,y,z,?)?0消去参数?而得到.
注 可展曲面是它的单参数切平面族的包络. 反过来，可以证明
定理6.4 设S是单参数平面族???:A(?)x?B(?)y?C(?)z?D(?)?0|??(a,b)?的包络. 如果这个平面族关于参数?是连续可微的，则局部来说S是可展曲面.
证明 因为对任意??(a,b)，A(?),B(?),C(?)不全为零，不妨设A(?)?0. 平面??的方程可以改写为
F(x,y,z,?):?x?B(?)y?C(?)z?D(?)?0.
根据(6.23)，包络面S上的点(x,y,z)应满足方程组
?x?B(?)y?C(?)z?D(?)?0, (1) ????B(?)y?C(?)z?D(?)?0.?由此可知S是直纹面.
如果B?(?)?C?(?)?0(??)，则??是平行平面族，包络面不存在. 因此不妨设B?(?)?0. 令??u，z?v. 则由(1)得S的参数方程
B(u)D?(u)C?(u)D?(u)??B(u)C?(u)v??C(u)v?D(u),?v?,v?r(u,v)??????B(u)B(u)B(u)B(u)??D?(u)?C?(u)??B(u)D?(u)?B(u)C?(u)?D(u),?,0?C(u),?,1? ???v??B?(u)?B?(u)??B?(u)?B?(u)?a(u)?vl(u),其中
a?于是
11?BD??B?D,?D?,0?,l??BC??B?C,?C?,B??. B?B?1?????BC???B??C,?C??,B???， ???2BC?BC,?C,BB?BD???B??D?D??0BD??B?D?D?01B??(a?,l,l?)?3BC??B?C?C?B??4BC??B?C?C?B?
B?B?BC???B??C?C??B??BC???B??C?C??B??l?l??1?3B?
?B??D?D??0?B?D?D?0B??0?C?B??40?C?B??0.
B?0?C??B??0?C??B??49