33 E?S1 S2?E
r1 D1r2
?D2
将映射?:S1?S2通过它们的参数用两个函数表示出来，则有
??u2?f(u1,v1), (5.1)
?v2?g(u1,v1).如果(5.1)中的两个函数都是连续可微的，则称映射?是连续可微的. 这一概念在曲面的可允许参数变换下保持不变，因此与这两个曲面的参数取法无关.
以下总假定映射?有足够的连续可微性.
二、切映射
设两个曲面S1,S2的参数方程分别为r1?r1(u,v),(u,v)?D1和r2?r2(u,v)，(u,v)?D2. 映射?:S1?S2是连续可微的，它的参数表示为??r2? ?:D1?D2:(u,v)r1?1，其中
?(u,v)?(u,v)?(u(u,v),v(u,v)). (5.1)’
则对每一点p?S1，可以通过下面的方法定义一个线性映射
??:TpS1?T?(p)S2:X?a?r1?u?b?r1?v其中
??X，
??X????a?r1?u?b?r1?v?:?a????r1?u??b????r1?v?
?)
uuvv ??a??b?r??a??b?r. (5.9) ?u?v??2?u?u?v??2?v?u?v?u?v?? ?a???u?r2?u??u?r2?v???b???v?r2?u??v?r2?v???(a?u?b?v)(r2上面定义的映射??称为由连续可微映射?诱导的切映射. 由上面的定义可见切映射??把
X?(a??u?b??v)(r1)?TpS1映为
???(a??u?b??v)(r1)??(a??u?b??v)(r2?)?T?(p)S2.
在(5.9)中令a?du,b?dv，可知dr1??r1?udu??r1?vdv?TpS1在切映射??下的象是
uuvv???dr1????du??dv??r2?u???du??dv??r2?v??r2?udu??r2?vdv?d?r2??. (5.9)’ ?u?v?u?vS由于每个切向量X?a?r1?u?b?r1?v?TpS1都是1上的某一过p点的曲线
C:u?u(t)，v?v(t) (5.2)
在p点的切向量：
dX?dt|t?0?r1(u(t),v(t))?，
其中(u(0),v(0))?(u0,v0)为p点的曲纹坐标，且u?(0)?a，v?(0)?b(见(2.3)式)，切映射也可以用另一种方法来定义：?将S1上的曲线C映为S2上的曲线
C:u(t)?u(u(t),v(t))，v(t)?v(u(t),v(t)). (5.3)
定义??X为C在t?0处的切向量，即
d|t?0?r2(u(u(t),v(t)),v(u(t),v(t))? (5.5) ?r2(u(t),v(t))??dtu??u??v??v? ??r2?u??2?v??uu(0)??vv(0)? ?uu(0)??vv(0)???r?? ??(X)?ddtt?0| 41
uuvv ??a??b?r??a??b?r. (5.4) ?u?v??2?u?u?v??2?v在(5.3)’中分别取(a,b)?(1,0)和(a,b)?(0,1)，可得
u?u???u?v?. (5.7) ????r1?u,?r1?v????r2?u,?r2?v???v?v???u?v?因此切映射??在自然基??r1?u,?r1?v?下的矩阵恰好是映射?的Jacobi矩阵. 由此可知在p点切映射
??:TpS1?T?(p)S2是线性同构，当且仅当在p点映射(5.1)’的Jacobi行列式
?(u,v)?(u,v)?0.
p定理5.1 设映射?:S1?S2是(3次以上)连续可微的. 如果在p点切映射??:TpS1?T?(p)S2是线性同构，则分别有p点的邻域U1?S1和?(p)点的邻域U2?S2，?(U1)?U2，以及U1,U2上的参数系(u1,v1)和(u2,v2)，使得映射?|U1的参数表示为
??id:?1??2:(u1,v1)(u2,v2)?(u1,v1)，
?1?1其中?1?r1(U1),?2?r2(U2). 这种参数系称为映射?的适用参数系.
证明 设S1,S2的参数方程分别为r1?r1(u,v)和r2?r2(u,v)，?的参数表示为
?:D1?D2:(u,v)由条件，
?(u,v)?(u,v)?(u(u,v),v(u,v)).
?(u,v)?(u,v)?0. 设p点的曲纹坐标为(u0,v0)，?(p)点的曲纹坐标为(u0,v0).
p?(u,v)?(u,v)?0，且是连续的，存在(u0,v0)在D1中的邻域?1?D1，使得在?1上
?(u,v)?(u,v)在?1上?|?1有连续可微的反函数
由于
??1:?2??1:(u,v)(u,v)?(u(u,v),v(u,v))，
其中?2??(?1)?D2是(u0,v0)在?2中的邻域. 在?1上对曲面U1?r1(?1)?S1作参数变换
?u1?u,v1?v. 在??2上对曲面U2?r2(?2)?S2作参数变换u2?u(u,v),v2?v(u,v). 则在新
的参数下，?的参数表示为
?:?1??2:(u1,v1)(u2,v2)?(u(u,v),v(u,v)???1(u,v)?(u,v)?(u1,v1).
1 S1?U1 U2?S2
?|U
r1 r2
(u,v) D1??1
???2?D2 (u,v)
?1 || || ?
??1
) ? ( u 1 , v 1 1 ?1
(u2,v2)?(u,v)三、保长对应(等距对应)
设?:S1?S2是连续可微映射，(u,v)和(u,v)分别是S1,S2的曲纹坐标.
?的参数表示为
u?u(u,v),v?v(u,v).
因为
42
u???u(du,dv)?(du,dv)??u??v?v?u?v?v??:?(du,dv)J， ?2对于曲面S2上的任意一个二次微分式
?AB??du???A(u,v)du?2B(u,v)dudv?C(u,v)dv?(du,dv)????， (5.11)
BC???dv?我们可定义曲面S1上的一个二次微分式
2?AB?T?du????A(u,v)du?2B(u,v)dudv?C(u,v)dv?(du,dv)J??J??， (5.12)
BC???dv??22其中
uu?v?AB?T?????AB??u?u??uJ???u?v?，??J???u??J?BC???v?v????v?BC?其中A,B,C作为复合函数，是u,v的函数，即
2?v?u?v?vu??AB????u???v??BC?????u?u?v?v?v??. (5.15) ?
uuvA(u,v)?A?u(u,v),v(u,v)???(u,v)??2B?u(u,v),v(u,v)???(u,v)???(u,v)??u?u?uv?C?u(u,v),v(u,v)???(u,v)?,?u2uuuvB(u,v)?A(u(u,v),v(u,v))??(u,v)???(u,v)??B(u(u,v),v(u,v))[??(u,v)???(u,v)??u?v?v?u??(u,v)??(u,v)?]?C(u(u,v),v(u,v))?(u,v)??(u,v)?,?u?u?v?v?v?u?v?vuuvC(u,v)?A?u(u,v),v(u,v)???(u,v)??2B?u(u,v),v(u,v)???(u,v)???(u,v)??v?v?vv?C?u(u,v),v(u,v)???(u,v)?.?v22(5.13)
二次微分式??称为S2上的二次微分式?经过映射?拉回(pull back)到S1上的二次微分式. 简单来说，??就是将
u???u(du,dv)?(du,dv)J?(du,dv)??u??v?v?u?v?v???? ?代入(5.11)右端而得.
22例 曲面S2上的第一基本形式I2?Edu?2Fdudv?Gdv是一个二次微分式. 拉回到S1上，
??(I2)??A??du2?2?B??dudv??C??(u,v)dv2?A??(du,dv)J??B?22B??T?du??J??.C???dv?2
由于I2??dr2?????r2?udu??r2?vdv??，上式可以简单地写成
??(I2)???d?r2???? (*)
定义5.1设映射?:S1?S2是3次以上连续可微的. 如果对每一点p?S1，切映射??都保持切向量的长度，即
??X?X，?X?TpS1，?p?S1.
则称?是从S1到S2的保长对应(correspondence preserving length)，或称等距对应(isometry).
注1. 保持向量长度的线性映射一定保持内积，因此若?:S1?S2是等距对应，则有
43
???X?????Y??X?Y，?X,Y?TpS1，?p?S1.
反之，保持内积的线性映射也一定保持向量的长度. 而且，保长对应也保持连续可微曲线的弧长，即有L(C)?L(?(C)).
注2. 保持内积的线性映射必定是线性同构. 因此对于保长对应?，在每一点p?S1，切映射
??:TpS1?T?(p)S2都是线性同构，从而局部地?是微分同胚，存在适用参数系.
由(5.9)’可知
??r2?u????d?r2??. ???dr1??(du,dv)J???r2???v??利用(*)得到
???dr1?????dr1?????I2?，
22其中I2?Edu?2Fdudv?Gdv是S2的第一基本形式. 于是有
定理5.2设映射?:S1?S2是3次以上连续可微的. 则?是等距对应的充分必要条件是
???I2?????dr1?????dr1???dr1???dr1??I1，
即在对应点，成立
u?EF?T???EF??u ??J???u??J?FGFG????v???v?uu??EF????u??v?v??G????v??F?u?u?v?. □ (5.20) ?v??v?将上式按矩阵乘法算出来，可以得到类似于(5.13)的等式. 如果已知2个曲面S1,S2，是否存在等距对应?:S1?S2？这相当于已知(5.20)中的函数E,F,G,E,F,G，求解未知函数u?u(u,v)，
v?v(u,v)，使得(5.20)成立. 但是(5.20)是非线性一阶偏微分方程组，一般来说求解非常困难.
利用定理5.1，定理5.2和上面的注1，注2容易得到
定理5.3 曲面S1和S2之间存在保长对应的充分必要条件是，可以在S1和S2上选取适当的相同参数系(u,v)，使得在这个参数系下S1和S2有相同的第一基本形式. □
例5.1 证明：螺旋面
S1: r1?(ucosv,usinv,u?v)，(u,v)?与单叶旋转双曲面
2
S2: r2?(?cos?,?sin?,?2?1)，(?,?)?(1,?)?(0,2?)
之间可以建立等距对应.
证明 计算得到S1和S2的第一基本形式分别为
2?2?12I1?2du?2dudv?(1?u)dv，I2?2d???2d?2.
??1对S1作参数变换u?u,v?arctanu?v，这是可允许参数变换. 则
22221?2??1?2u2?duI1??2?du?(1?u)??dv??du2?(1?u2)dv2. 2?221?u?1?u??1?u?2对S2作参数变换??1?u2,??v. 则
2u2?1?u2?2I2?du?(1?u2)dv2?I1. ?22?u?1?u?
44
等距对应?:S1?S2的参数表示为??1?u2,??arctanu?v. □
四、保角对应(共形对应)
定义5.2设映射?:S1?S2是三次以上连续可微的一一对应. 如果
????X,??Y????X,Y?，?X,Y?TpS1，?p?S1， (5.22)
其中X?0,Y?0，则称?是从S1到S2的保角对应，或称共形对应(conformal correspondence).
注 对于保角对应?，在每一点p?S1，切映射??:TpS1?T?(p)S2都是线性同构，否则
????X,??Y?无意义. 因此可以选取适用参数系(u,v)使得映射?就是具有相同参数的点之间的对
应.
引理 设V,W是两个欧氏空间(即带有内积?,?的实向量空间)，A:V?W是线性同构. 如果
A保持向量之间的夹角：?(Au,Av)??(u,v),?u,v?V，则????，使得
2 Au,Av??u,v,?u,v?V. (1)
反之，若????，使得(1)成立，则A保持向量之间的夹角.
证明 取V的单位正交基?e1,令
,en?. 因为A是同构，?Ae1,,Aen?是W的基，且两两正交.
1Aei， i?1,2,n. |Aei|ai?|Aei|?0， ei?则?e1,,en?是W的单位正交基，且
Aei?aiei， i?1,2,n. (2)
对于i?j，由条件，有?(ei?ej,ei)??(aiei?ajej,aiei)，所以
ei?ej,eiaiei?ajej,aieiai1. ???222|ei?ej||ei||aiei?ajej||aiei|ai?aj这说明a1?而(1)成立.
反之，设(1)成立. 则
?an:???0. 于是对?u??i?1uiei?V，有Au??i?1uiAei???i?1uiei，从
nnnAu,Au??2u,u，Av,Av??2v,v，Au,Av??2u,v, ?u,v?V. (3)
从而对任意两个非零向量u,v?V，有
Au,Avu,vcos?(Au,Av)???cos?(u,v). □
|Au||Av||u||v|推论 设映射?:S1?S2是三次以上连续可微的一一对应. 则?是保角对应的充分必要条件是存在S1上的正的连续函数?:S1?其中(u,v)是p点的曲纹坐标.
当函数??1时，?其实就是保长对应. 像前面一样，条件(5.22)’等价于
?:p?(p)，使得
???X?????Y???2(u,v)?X?Y?，?X,Y?TpS1，?p?S1， (5.22)’
???I2?????dr1?????dr1???2?dr1???dr1???2I1， (5.23)
45