的长=∴
=4π．
【点评】本题考查切线的判定、平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、弧长公式，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，证明三角形是等边三角形是解题的突破点，属于中考常考题型．
26．（10分）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，点P是△ABC内一点，且∠PAC+∠PCA=，连接PB，试探究PA、PB、PC满足的等量关系．
（1）当α=60°时，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACP′，连接PP′，如图1所示．由△ABP≌△ACP′可以证得△APP′是等边三角形，再由∠PAC+∠PCA=30°可得∠APC的大小为 150 度，进而得到△CPP′是直角三角形，这样可以得到PA、PB、PC满足的等量关系为 PA2+PC2=PB2 ；
（2）如图2，当α=120°时，参考（1）中的方法，探究PA、PB、PC满足的等量关系，并给出证明；
（3）PA、PB、PC满足的等量关系为 4PA2?sin2+PC2=PB2 ．
【考点】KY：三角形综合题．
【分析】（1）根据旋转变换的性质得到△PAP′为等边三角形，得到∠P′PC=90°，根据勾股定理解答即可；
（2）如图2，作将△ABP绕点A逆时针旋转120°得到△ACP′，连接PP′，作AD⊥PP′于D，根据余弦的定义得到PP′= PA，根据勾股定理解答即可；
（3）与（2）类似，根据旋转变换的性质、勾股定理和余弦、正弦的关系计算即
第31页（共53页）
可．
【解答】解：（1）∵△ABP≌△ACP′， ∴AP=AP′，
由旋转变换的性质可知，∠PAP′=60°，P′C=PB， ∴△PAP′为等边三角形， ∴∠APP′=60°，
∵∠PAC+∠PCA==30°，
∴∠APC=150°，
∴∠P′PC=90°， ∴PP′2+PC2=P′C2， ∴PA2+PC2=PB2，
故答案为：150，PA2+PC2=PB2；
（2）如图2，作将△ABP绕点A逆时针旋转120°得到△ACP′，连接PP′， 作AD⊥PP′于D，
由旋转变换的性质可知，∠PAP′=120°，P′C=PB， ∴∠APP′=30°，
∵∵∠PAC+∠PCA==60°，
∴∠APC=120°， ∴∠P′PC=90°， ∴PP′2+PC2=P′C2， ∵∠APP′=30°，
∴PD=PA，
∴PP′= PA，
∴3PA2+PC2=PB2；
（3）如图2，与（2）的方法类似，
作将△ABP绕点A逆时针旋转α得到△ACP′，连接PP′， 作AD⊥PP′于D，
由旋转变换的性质可知，∠PAP′=α，P′C=PB，
第32页（共53页）
∴∠APP′=90°﹣，
∵∵∠PAC+∠PCA=，
∴∠APC=180°﹣，
∴∠P′PC=（180°﹣）﹣（90°﹣）=90°，
∴PP′2+PC2=P′C2，
∵∠APP′=90°﹣，
∴PD=PA?cos（90°﹣）=PA?sin，
∴PP′=2PA?sin，
22 ∴4PAsin+PC2=PB2，
故答案为：4PA2sin2+PC2=PB2．
【点评】本题考查的是旋转变换的性质、等边三角形的性质、勾股定理的应用，掌握等边三角形的性质、旋转变换的性质、灵活运用类比思想是解题的关键．
27．（12分）某宾馆有客房50间，当每间客房每天的定价为220元时，客房会全部住满；当每间客房每天的定价增加10元时，就会有一间客房空闲，设每间客房每天的定价增加x元时，客房入住数为y间．
（1）求y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；
（2）如果每间客房入住后每天的各种支出为40元，不考虑其他因素，则该宾馆每间客房每天的定价为多少时利润最大？ 【考点】HE：二次函数的应用．
【专题】536：二次函数的应用．
【分析】（1）客房入住数为=50﹣每间增加x元后空出的房间数，以此等量关系求解即可；
第33页（共53页）
（2）宾馆每天的利润=每天客房的入住数×（每间客房的定价﹣每天的各种支出）． 【解答】解：（1）由题意可得，
y=50﹣= ，
即y与x的函数关系式是：y=﹣
x+50；
（2）当每间客房每天的定价增加x元时，设宾馆的利润为w元，
则w=（﹣x+50）（220+x﹣40）
=﹣ ，
当x=﹣
=160
时，w有最大值，
故这一天宾馆每间客房的定价为：220+160=380（元）， 即当宾馆每间客房的定价为380元时，宾馆利润最大．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是审清楚题目中隐含的等量关系，列出相应的方程．
28．（12分）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E是BC边的中点，点P在线段AD上，过P作PF⊥AE于F，设PA=x．
（1）求证：△PFA∽△ABE；
（2）当点P在线段AD上运动时，设PA=x，是否存在实数x，使得以点P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由；
（3）探究：当以D为圆心，DP为半径的⊙D与线段AE只有一个公共点时，请
直接写出x满足的条件： x=或0＜x＜1 ．
【考点】MR：圆的综合题．
第34页（共53页）
【专题】16 ：压轴题．
【分析】（1）根据正方形的性质，结合已知条件可以证明两个角对应相等，从而证明三角形相似；
（2）由于对应关系不确定，所以应针对不同的对应关系分情况考虑：①当∠PEF=∠EAB时，则得到四边形ABEP为矩形，从而求得x的值；②当∠PEF=∠AEB时，再结合（1）中的结论，得到等腰△APE．再根据等腰三角形的三线合一得到F是AE的中点，运用勾股定理和相似三角形的性质进行求解．
（3）首先计算圆D与线段相切时，x的值，在画出圆D过E时，半径r的值，确定x的值，半径比这时大时符合题意，根据图形确定x的取值范围． 【解答】（1）证明：∵矩形ABCD， ∴∠ABE=90°，AD∥BC， ∴∠PAF=∠AEB， 又∵PF⊥AE， ∴∠PFA=90°=∠ABE，
∴△PFA∽△ABE． …（4分） （2）解：分三种情况：
①若△EFP∽△ABE，如图1，则∠PEF=∠EAB， ∴PE∥AB，
∴四边形ABEP为矩形，
∴PA=EB=3，即x=3． …（6分） ②若△PFE∽△ABE，则∠PEF=∠AEB， ∵AD∥BC ∴∠PAF=∠AEB， ∴∠PEF=∠PAF． ∴PE=PA． ∵PF⊥AE，
∴点F为AE的中点， Rt△ABE中，AB=4，BE=3， ∴AE=5，
第35页（共53页）